螞蟻爬行比賽

文／李 娜

在螞蟻王國舉辦的一次爬行比賽中，5只螞蟻分別從1——5 號5 個不同的圓柱體水杯底部點A出發，沿著側面爬行到指定的點B，因為那里有美味的蜂蜜。假設螞蟻可以聽懂指令，不可以直接沿著圓柱某條高爬行，同時，它們的爬行速度相同，且都是沿著最短的路徑，那么，哪只螞蟻最先到達終點呢？

這5 個水杯的底面周長和高標注在圖1 上，長度單位都是cm。螞蟻國王對5 只螞蟻有著不同的要求，其中3 號杯螞蟻需要途徑點C后到達點B，點C到底面的距離為水杯高的；4 號杯中，點B到底面的距離為水杯高的；5 號杯中，點B為CD中點且在杯的內部，提醒5 號螞蟻，別跑錯路線，否則看到吃不到。

圖1

【分析】為了尋找最短路線，我們需要運用轉化與化歸思想，把立體圖形的問題轉化為平面圖形的問題。具體操作：首先，把圓柱的側面沿某條母線展開；其次，利用兩點之間線段最短，確定路線；最后，利用勾股定理來計算。找準展開圖中A、B兩點的相對位置是本題的關鍵。

對于1 號杯，圓柱的底面周長為9cm，高為12cm，側面展開后的矩形如圖2（其中B′為垂直向上爬行的路徑，故舍去。）。因為∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm，所以AB2=AC2+BC2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，螞蟻所爬行的最短路徑是15cm。

圖2

對于2 號杯，側面展開后的矩形如圖3，點A、B的最短距離即為線段AB的長。其中∠C=90°，BC=12cm，AC為底面周長的一半，即9cm，所以AB2=AC2+BC2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，螞蟻爬行的最短路線長為15cm。

圖3

對于3 號杯，我們要區分與2 號杯的不同，知道螞蟻是沿水杯表面爬行1 圈半。因為螞蟻是經過點C后再到達點B，所以類比2號杯側面展開后的矩形，點C位置位于線段AB上，如圖4。其中∠F=90°，AF=6×1.5=9（cm），BF=12cm，由勾股定理得AB2=AF2+BF2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，螞蟻爬行的最短路線長為15cm。

圖4

對于4 號杯，如圖5，因為圓柱的底面周長為18cm，AC為周長的一半，所以AC=9cm。又因為PC=16cm，所以BC=PC=12cm。在Rt△ACB中，因為∠C=90°，所以AB2=AC2+BC2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，螞蟻爬行的最短路線長為15cm。

圖5

對于5 號杯，與4 號杯不同的是蜂蜜在杯子內部，所以螞蟻需要翻進杯內。假設螞蟻在杯外邊緣某一點P處爬進杯內壁，那么求線段AP+PB最短便轉化成我們熟悉的“將軍飲馬”問題了。此時，作點B關于PC的對稱點E，連接AE，即為所求的爬行最短路線，如圖6。因為底邊圓的一半周長為12cm，即AD=12cm，又因為點B是CD的中點，所以CE=CB=3cm，所以DE=9cm。在Rt△AED中，∠ADE=90°，所以AE2=AD2+DE2=92+122=225，所以AE=15cm。因此，螞蟻爬行的最短路線長為15cm。

圖6

比較5 個水杯：1 號杯需要展開圓柱側面完整周長；2 號杯與4 號杯本質一樣，側面展開一半周長即可；3 號杯需要爬行1 圈半，展開周長的1.5 倍；5 號杯與4 號杯要區別杯內壁和外壁。解決問題的關鍵是，先通過觀察決定沿著哪條高母線將圓柱側面展開，然后分析出發點A和目的地點B的具體位置是在展開圖的同側還是分居兩側，最終確定爬行的具體路線。計算發現，原來螞蟻們圍繞高低粗細不同的5 個水杯爬行的距離都是15cm，它們的速度相同，所以爬行時間也相同，最終，大家同時吃到了蜂蜜。