序貫Lq似然比型檢驗及其應用

李俞利，胡宏昌

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

序貫方法的特點是：在抽樣時不預先指定子樣的容量，而是要求給出一組停止采樣的規則。每新抽取一個子樣后立即考察一下，按給定的停止采樣規則來決定是停止采樣還是繼續采樣，如果采樣一旦停止，就按此時所給出的n個觀察作為一個固定子樣容量的問題進行統計推斷——參數估計或假設檢驗。應用序貫方法進行的檢驗，稱為序貫檢驗。序貫分析奠基人瓦爾德(A.Wald)提出的“序貫概率比檢驗”(參見文獻[1])至今仍然是序貫分析中很重要的領域，成果豐碩，如：文獻[2]系統地討論了序貫分析的檢驗和置信區間等問題；文獻[3]利用廣義序貫概率比檢驗方法研究了兩個不同分布族的檢驗問題；文獻[4]深入闡述了二元響應模型的序貫概率比檢驗統計量與分類證據之間的關系。關于序貫檢驗的應用成果參見文獻[5～7]等，其它相關成果參見文獻[8～9]等。文獻[10]提出了具有穩健性的Lq似然比型(簡記為LqRT)檢驗方法，得到了檢驗統計量的漸近分布。本文基于序貫概率比檢驗和LqRT檢驗方法，首次提出了序貫Lq似然比型檢驗方法，并對其進行初步研究。

1 序貫Lq似然比型檢驗方法

設ξ1,ξ2,…,ξn是取自總體ξ獨立同分布的隨機變量序列，ξ的概率函數為f(x;θ)，x=(x1,x2,…,xn)為樣本觀測值，Θ0和Θ1為原假設和備擇假設的參數空間，則LqRT檢驗的統計量(參見文獻[11])為

(1)

(2)

對此簡單假設檢驗的序貫問題，類似于序貫概率比檢驗方法，我們提出了序貫LqRT檢驗法，其實施的步驟是：

設x1是子樣的第一個觀察，計算λ1(x1)，如果λ1(x1)≥B，則停止觀察，并拒絕原假設H0；相對地，如果λ1(x1)≤A，則停止觀察，并接受原假設H0；最后，如果A<λ1(x1)

類似地計算λ2(x1,x2)，如果λ2(x1,x2)≥B，則停止觀察，并拒絕原假設H0；相對地，如果λ2(x1,x2)≤A，則停止觀察，并接受原假設H0；最后，如果A<λ2(x1,x2)

如果由n-1個觀察不能作出停止繼續觀察并拒絕或接受假設H0的決定，則繼續抽取第n個觀察xn，并計算λn(x1,…,xn).如果λn(x1,…,xn)≥B，則停止抽樣并拒絕H0；如果λn(x1,…,xn)≤A，則停止抽樣并接受H0；最后，如果A<λn(x1,…,xn)

這一檢驗假設的全過程稱為序貫LqRT檢驗，其停止法則是τ*=inf{n∶≥1,λn?(A,B)}.這里兩個邊界A和B(A

(3)

(4)

在這里，子樣x是一個無限觀察序列x=(x1,x2,…).如果N(x)=n，則它表示對這個無限子樣序列只需進行n次觀察，獲得(x1,x2,…,xn)后采樣就終止。且基于這n個觀察進行統計推斷，如果λn(x1,…,xn)≥B則拒絕H0；如果λn(x1,…,xn)≤A則接受H0.如果N是一個以概率1終止的停止規則，即P{N<∞}=1，則它表示對幾乎所有的子樣序列x只需作有限次觀察后采樣終止。

2 序貫Lq似然比型(LqRT)檢驗的性質

本節研究序貫LqRT檢驗的性質。若記

Z=Lqf(ξ,θ1)-Lqf(ξ,θ0)-C(θ1,q)+C(θ0,q),

Zi=Lqf(ξi,θ1)-Lqf(ξi,θ0)-C(θ1,q)+C(θ0,q).

則隨機游動Z1,Z2,…也是獨立同分布隨機序列，且有

(5)

首先給出邊界A,B與強度(α,β)之間的關系，利用它可以決定檢驗的邊界。

定理1 如果一個以概率1終止的序貫LqRT檢驗，其停止邊界為A,B，強度為(α,β), 則當q→1時有

A≥log(β/(1-α)),B≤log((1-β)/α),0<α,β<1.

(6)

證明 注意到當q→1時，Lq(u)→logu.于是當λn(ξ1,…,ξn)≥B時，有

(7)

所以對于很小的δ>0，當q∈U(1,δ)時, 有

(8)

Cn={(ξ1,…,ξn)∶N=n,λn(ξ1,…,ξn)≤A},則{ωn}和{Cn}均是互不相容事件，于是

(9)

由于假定它以概率1終止，所以

Pθ1{拒絕H0}=1-β.

(10)

故由(9)和(10)式得α≤e-B(1-β).

類似地，有

(11)

至此結論證畢。

由于α,β一般較小，所以我們可以假定A

A≈log(β/(1-α)),B≈log((1-β)/α).

(12)

類似于序貫概率比檢驗的證明方法，可以得到序貫LqRT檢驗的一些結論，這些結論推廣和類似于序貫概率比檢驗的相應結論。下面我們只列出部分結論，在此略去其證明，定理2～3的證明參見文獻[2]。

定理2 設ξ1,ξ2,…是一列獨立同分布的隨機變量，在假設Hi(i=0,1)之下其概率密度分別為f(x;θi)，記N是所考察的序貫LqRT檢驗的停止隨機變量，則對于使得Pθ{|Z|>0}>0的任何概率密度f(x;θ)，有

1)Pθ{N<∞}=1；

2)存在t0>0，使Eθ{etN}<∞，對-∞

E(SN)=E(g(ξ1))·EN.

Eθi(SN)≈Pθi{接受H0}A+Pθi{拒絕H0}B.,i=0,1.

因此如果Eθi|Z|<∞,EθiZ≠0，由定理3得

(13)

3 模擬算例

3.1 Bernoulli分布中參數p的檢驗

設母體ξ服從Bernoulli分布b(1,p)，p是未知參數，檢驗H0∶p=p0?H1∶p≠p0.

由于b(1,p)分布的概率密度函數為f(x;p)=px(1-p)1-x，因此對于q≠1有

(14)

如令vn為n個觀察的序列中“1”的頻數，則

=aqvn+cqn.

(15)

其中

如果它的停止邊界分別為A,B，則當

Sn=aqvn+cqn≥B

(16)

成立時拒絕原假設H0；當

Sn=aqvn+cqn≤A

(17)

成立時接受原假設H0.由于

=cq+paq.

(18)

所以由(13)和(18)式可得

(19)

現在考慮一個抽樣問題，用p表示這批被驗產品的次品率，假定p0=0.04，p1=0.10，α=0.05，β=0.10，則由(12)式得

A≈ln(β/(1-α))=ln1/9.5=-0.9777,B≈ln((1-β)/α)=ln18=1.2553.

注意到

因此取不同的q值代入(13)式可得到平均子樣容量(有關計算結果見表1):

n=2-1(E0.04(N)+E0.10(N)),

其中

從表1可知，當q越大，平均樣本容量越小。但是，我們的理論結果是在|q-1|較小的條件下得到，因而在實際應用中需要兼顧|q-1|和平均樣本容量的大小，使得二者均較小。在q=1.01時，平均子樣容量為23比序貫概率比檢驗的平均子樣容量71要小得多，抽樣個數可節約近67.6%.

表1 q值與平均子樣容量及νn的邊界的關系

4 結論

上面研究了序貫Lq似然比型檢驗方法邊界與強度之間的關系，進而得到了在Eθi|Z|<∞,EθiZ≠0情況下該檢驗方法的平均子樣容量，并通過實際的算例說明了在選取合適的q值時，序貫Lq似然比型檢驗方法優于序貫概率比檢驗方法。雖然在某種程度上豐富了序貫Lq似然比型檢驗的內容，但是對于序貫Lq似然比型檢驗的研究不僅限于此，本文僅考慮了一種情況下的平均子樣容量，內容還不夠完善，為了得到完整的結論還需進一步的研究。

Sequential Lq-Likehood ratio type test and its applications

LI Yu-li，HU Hong-chang