離軸光學系統的畸變分析及焦距測量

程強，胡海翔，李龍響，王孝坤，羅霄，張學軍，2

（1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所中國科學院光學系統先進制造技術重點實驗室，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049）

1 引言

隨著空間光學遙感技術的快速發展，為滿足空間對地觀測高分辨、大視場的成像需求，離軸光學系統已逐漸成為空間光學遙感器的重要發展趨勢。離軸光學系統具有更多的設計自由度，且沒有中心遮攔、調制傳遞函數高等諸多優點，可滿足空間光學遙感器對地觀測的高分辨率、大幅寬需求［1-4］。

在離軸光學系統的畸變分析及測量方面，北京空間機電研究所針對超寬視場的離軸光學系統開展了全視場畸變的一致性校正技術研究，相關研究成果成功應用于兩臺超寬視場離軸系統的裝調校正，取得了良好的效果［5］；中科院長春光機所針對離軸三反光學系統，開展了鏡頭像面畸變標定及相機畸變測量等方面的研究及工程實踐，并應用于某測繪產品鏡頭的高精度標定［6-9］，但其魯棒性不夠理想，針對工程實際中的隨機誤差解算精度和穩定性不足。此外，浙江大學［10］、吉林大學［11］、中科院上海技術物理研究所［12］也對光學系統的畸變分析及測量技術開展了深入研究。

本文介紹的某離軸光學系統，采用時間延遲積分電荷耦合器件（Time Delay Integration Charge Coupled Device，TDICCD）推掃成像，光學系統視場角為0.37°×3.5°，相機最大相對畸變設計值為1.413%。光學系統的畸變將直接影響成像的幾何位置精度，對系統的成像定位造成影響。

本文對離軸光學系統的理論畸變進行了分析，提出了等效焦距概念，對離軸光學系統的相對畸變系數進行了分離，并針對裝調完成的某離軸光學系統，利用多維約束非線性優化方法完成了畸變分析和焦距測量，對相機實際焦平面上特征點的物像對應關系進行解算，提高了系統畸變及焦距的解算精度和穩定性，為相機在軌圖像的快速、高精度畸變校正提供準確輸入。

2 反射光學系統的理論畸變

畸變廣泛存在于各類光學系統中。光學系統產生畸變的原因是在一對物、像共軛平面上，垂直放大率隨視場角的變化而變化，不再保持常量，導致像相對于物失去了相似性。因此，畸變雖然不影響成像的清晰度，卻直接影響成像的幾何位置精度。

隨著光學系統視場角的變大，系統的畸變也隨之變大。對于空間光學遙感器而言，其口徑和視場一般都比較大，且成像精度要求較高，因此必須采取措施來減小甚至消除畸變帶來的影響。

傳統的同軸反射光學系統如Ritchey Chretien（R-C）系統，其所有光學鏡面都關于系統光軸回轉對稱，因此對于視場角相同的物點，不論方向如何，其垂軸放大率都是一樣的。這種情況下，畸變只與像高有關。像高相同的軸外物點，其徑向畸變量是相同的。在像面上，畸變圖像關于光學中心呈中心對稱。此時隨初級畸變系數的不同，畸變分別呈現出枕形畸變和桶形畸變。

而對于離軸反射光學系統，與傳統的R-C系統相比，主、三鏡離軸放置，不關于光軸對稱。因此光學系統的垂軸放大率不但隨視場角大小而改變，而且隨軸外點的離軸角而變化。對軸外物點成像時，如果它們的主光線方向不同，即使其視場角一樣，其垂軸放大率也可能不一樣。因此在像面上，畸變圖像不再關于光學中心對稱，而與離軸光學系統的視場角和離軸角有關，需要針對離軸光學系統的物方二維角度開展系統畸變的仿真分析。

2.1 離軸光學系統的理論畸變

對離軸光學系統理論畸變的表達式進行推導。定義(x，y)為物方坐標，(X，Y)為像方坐標。已知系統畸變的表達式為：

其中：H為像高，h為物高，β為三階畸變系數，γ為五階畸變系數。

將系統畸變的表達式轉化為直角坐標的形式，即：

則有：

將（3）中兩式展開，可得：

對公式（4）求一階偏導數：

選擇離軸光學系統的物方軸外某視場內的某點(x0，y0)，在其鄰域內進行一階展開，可得：

其 中：A=1+β(3x20+y02)+γ(5x40+6x20y02+y04)，B=2βx0y0+4γ(x30y0+x0y03)，C=2βx0y0+4γ(x30y0+x0y03)，D=1+β(x20+3y02)+γ(x40+6x20y02+5y04)。

式（6）中，理想像點的位置為(X0，Y0)。考慮非線性關系，在X和Y方向的放大率不同，并且有數值大小相等的交叉項存在。其中，主要部分為矩陣中的左上和右下元素，主要影響光學系統在x和y方向的放大率，次要部分是左下和右上部分，主要影響系統的偏流角度。公式可進一步表達為：

其中：

2.2 離軸光學系統的等效焦距

在上述推導的基礎上，定義等效焦距為物方(x0，y0)鄰域所對應的像面上的大小，則兩個方向的等效焦距分別為：

其中，f為等效同軸系統焦距。

由公式（7）和（9）可知，只要解算得到離軸光學系統的高階畸變系數β和γ，即可完成離軸光學系統的畸變分析及焦距測量。

2.3 離軸光學系統的相對畸變分離

結合ZEMAX軟件中的光線追跡數據，利用多項式擬合的方法，解算得到離軸光學系統的理論高階畸變系數。

選取某特殊視場（例如：視場角0°，離軸角4.15°），對離軸和視場方向的角度在全視場范圍內進行歸一化，進一步結合ZEMAX軟件中的像高數據，利用Matlab中的polyfit函數對歸一化后的角度量矩陣和實際像高矩陣進行五階多項式擬合，將系統的相對畸變1.413%進行分離，最終得到光學系統的三階畸變系數β和五階畸變系數γ：

為了驗證上述高階畸變系數擬合的正確性和精度，將β和γ代入等效焦距公式（9），在典型的離軸角和視場角的工況下，與ZEMAX光線追跡的結果進行對比，二者的結果對比如表1所示。

表1中可以看出，當采用五階畸變進行擬合時，最大偏差為+0.366 mm，相對偏差為+0.004 1%，擬合精度基本滿足工程實際需求，接下來將利用上述系統畸變的仿真分析方法對該離軸光學系統的鏡頭畸變及焦距進行測量。

表1 五階畸變系數計算的等效焦距與ZEMAX光線追跡結果的對比Tab.1 Comparison between equivalent focal length calculated by the fifth order distortion coefficient and ZEMAX ray tracing results

3 離軸系統的畸變及焦距測量方法

離軸光學系統的畸變測量原理如圖1所示。將精細刻畫和標定過的網格板精確地放置在離軸光學系統的焦平面上，并且使其刻面的中心與光軸重合。轉動精密轉臺使其上的網格板各刻線到測位，在物方用精密測角儀在轉臺上繞著被測離軸光學系統的入瞳旋轉觀測，測量網格板上不同刻線的實際像對應的物方二維視場角。

圖1 畸變測量原理圖Fig.1 Distortion measurement schematic diagram

具體步驟如下：

（1）經緯儀1對準離軸光學系統的基準棱鏡，經緯儀2放在離軸光學系統的入光口處，利用兩個經緯儀互瞄，不斷調整經緯儀2的角度，使得經緯儀2瞄準離軸光學系統的中心視場，即(α0，0)，α0為系統的離軸角；

（2）將精細刻畫和標定過的網格板大致放在系統的焦平面上，不斷調整網格板的姿態，使得離軸光學系統入光口處的經緯儀2能夠精確地瞄準網格板的中心叉絲，且經緯儀2水平、豎直掃描時能夠與網格板上的特征線完全重合，此時經緯儀2已精確地放置在離軸系統的焦平面上；

（3）將經緯儀2瞄準網格板上的中心叉絲并清零二維角度，利用六維調整機構對離軸光學系統的姿態進行高精度調整，使得經緯儀分別瞄準網格板上的各刻線，以系統的中心視場(α0，0)為基準，在系統工作視場范圍內，記錄網格板上M×N個不同位置時經緯儀的二維角度(α0+α1，β1)，(α0+α1，β2)，…，(α0+αM，βN)。

已知離軸反射系統的離軸角為α0，進一步假設工作視場為2Δα×2Δβ，即離軸角方向的工作視場為（α0-Δα）～（α0+Δα），視場角方向的工作視場為-Δβ～Δβ，則該離軸系統工作視場內的最大空間立體角為，不論針對物方角度還是像方角度，都應采用工作視場內的最大空間立體角進行歸一化，即在公式中，(x，y)為歸一化后的物方角度，(X，Y)為歸一化后的像方角度。物方角度歸一化的計算過程為：

其中：物方真實角度為(xi，yi)，則歸一化后的物方角度為(x，y)。

同理，像方角度歸一化的計算過程見公式，像方真實角度為(Xi，Yi)，則歸一化后的物方角度為(X，Y)。

將公式進一步變形為：

假設等效同軸系統焦距為f'，則可求得所對應的理論像高為：

已知網格板上的各刻線對應的實際二維像高 值 為lx，1，1，ly，1，1，…，lx，M，N，ly，M，N，綜 合 考 慮 離 軸光學系統M×N組理論像高和實際像高，定義評價函數為公式，當評價函數取得最小值時，即可解算得到等效同軸系統焦距為f'、三階畸變系數β和五階畸變系數γ：

4 實驗結果與分析

針對評價函數MF中，采用多維約束非線性優化方法，可以解算得到等效同軸系統焦距為f'，三階畸變系數β和五階畸變系數γ，物方二維角度和網格板上的像高數據見表2，解算結果見式（16），與理論等效同軸系統焦距8 750 mm相比，實測結果的偏差僅為6.378 mm，相對偏差為0.073%。

表2 物方二維角度和網格板上的實際像高數據表Tab.2 Object two dimension angle and actual image height data table on grid plate

在上述研究成果的基礎上，針對在軌圖像畸變校正的應用需求，還開展了探測器上特征點對應地面實際位置的應用研究。如表3所示，針對每片探測器上的3個特征點，基于上述實測的等效同軸系統焦距f'、三階畸變系數β和五階畸變系數γ，由像方角度可以計算得到物方角度，最終計算得到對應的地面實際位置，探測器上3個特征像元對應的地面位置如圖2所示（第1片探測器的第1個特征點標為：點1-1，其余表示相同）。將該方法推廣至離軸光學系統所有的探測器，即可得到離軸系統整個探測器對應的真實地物坐標，為相機在軌圖像的畸變校正提供重要依據，可實現相機在軌圖像準實時畸變校正。

圖2 各片探測器上的特征點與地物坐標的對應關系Fig.2 Corresponding relationship between feature points on each detector and ground object coordinates

表3 每片探測器上的3個特征點坐標Tab.3 Coordinates of three feature points on each detector （mm）

5 結論

本文對離軸光學系統的理論畸變進行了分析，利用高階畸變系數對系統的相對畸變進行了分離，并針對某裝調完成的離軸光學系統，完成了畸變分析測試和焦距測量，與ZEMAX光線追跡的結果相比，等效焦距最大偏差為0.366 m，精度滿足工程實際需求；針對某裝調完成的離軸光學系統完成了畸變分析測試和焦距測量，實測等效同軸系統的焦距偏差僅為6.378 mm，進一步針對相機焦平面上的特征點完成了物像對應關系，為相機在軌圖像的快速、高精度畸變校正提供了準確的輸入。

本文初步實現了離軸光學系統的畸變分析、測試及焦距測量，下一步將綜合考慮網格板的刻畫精度及經緯儀的測角精度，進一步改進優化算法，提高其解算的魯棒性，以期在未來幾十米甚至一百米量級的長焦距離軸光學系統中得到更為廣闊的應用前景。