基于有限體積法研究溢洪道水流最佳湍流模型

陳進輝，林 華

（云南省滇中引水工程建設管理局楚雄分局，云南 楚雄 675000）

1 引言

由于功能正常、成本低、控制洪水的能力和安全系數高，反弧形溢洪道是經常使用的水工結構之一。這些溢洪道最重要的應用之一是控制水庫的高度和容積。 由于其廣泛的應用，反弧形溢洪道已被廣泛研究。

早在2002 年，尹則高等利用有限元方法，在二維空間中，假設存在不可壓縮的紊流，對溢洪道頂部的垂直分量進行了分析。近年來，譚立新等人在2018 年用有限體積法模擬了階梯式溢洪道上的紊流。2020 年，婁詩建等人研究了突發洪水對溢洪道的最大影響。同年，王登贇使用Flow 3D軟件的計算流體力學商業數值模型研究了流量特性，包括流速、水面輪廓、施加在反弧形溢洪道頂部的壓力、壓力垂直分布和基于模型比例的速度，表面粗糙度和細節的影響。馬朋輝等人模擬并對臺階式溢洪道上流速，弗勞德數，消能率等進行了研究。通過對不同湍流模型的數值分析比較，采用有限體積法合理地計算出反形溢洪道的斷面。

2 研究方法

利用Fluent 軟件對反弧形溢洪道流場的物理特性進行了研究。為此，需要使用GAMBIT軟件繪制模型和網格的幾何圖形。Fluent 是一個多用途軟件，用于流體流動、傳熱和化學反應的建模。它具有分析復雜湍流流動的能力，并且基于有限體積法，這是一種非常強大的計算流體力學方法。該軟件使用流體體積（VOF）模型來確定流動的自由表面。有專家學者提供了一個模型來確定兩相流體的公共表面，該模型用于許多水力問題。在研究中，細胞體積的90%是水，其余部分由空氣組成。該軟件中控制溢洪道流量的方程包括連續性方程和Navier-Stokes方程。

為了求解Navier-Stokes 方程，采用了Reynolds 平均法（Rans），將湍流的波動間接地插入方程中。基于連續方程和雷諾平均Navier-Stokes方程求解湍流場，需要采用特定的方法對雷諾應力方程進行建模。湍流模型根據其設計的應用和建立湍流應力與平均速率或其梯度之間關系的微分方程的數量被分類。這些模型包括零方程模型、單方程模型（Spalart-allmaras模型）、雙方程模型、代數應力模型、雷諾應力模型、雷諾應力模型（五方程模型）。在這些模型中，對雙方程模型進行了研究，其結果令人滿意，并簡單運用于反弧形溢洪道。該模型又分為以下幾類：標準k-ω 模型〔剪切應力傳遞（SST）k-ω 模型〕和k-ε模型〔標準k-ε模型、可實現k-ε模型、重整化群（RNG）k-ε模型〕。這些模型能夠解兩個微分方程。在k 的方程中加入了ε或ω 的方程，湍流動能方程表示速度的尺度，湍流動力阻尼率方程ε或ω表示長度的尺度。

k-ω模型：

k方程

ω方程

k-ε模型：

k方程

ε方程

根據實驗信息，上述公式中相關常數取值，如表1所示。

表1 k-ε模型相關常數取值表

這些方程被成功地應用于許多二維壁上邊界層流、通道內流動、自由剪切流動、渦流流動、三維邊界層流等。

2.1 SPSS統計分析方法

使用SPSS 軟件的統計分析方法（P 值）比較了流過反弧形溢洪道的流量參數。 統計分析方法用于確認原假設（顯著差異）或拒絕原假設（顯著差異）。 除非有相反的證明，否則一直強調零假設（H0）的正確性。 顯著性水平（α）是研究人員指定的錯誤水平，作為拒絕零假設（H0）的標準（通常為5%）。P 值稱為決策標準，是拒絕零假設的誤差水平。 如果P值小，則更容易拒絕原假設。在此研究中，該值的量較少證明了數值解的準確性。

2.2 方程的二維離散化

為了數值建模的收斂，需要控制方程及其相關關系，以便為軟件定義時間步驟。 為此，應基于網格化措施應用時間步驟以實現可持續性。非恒定流體流動的離散微分方程如下：

求解代數方程有不同的迭代方法，其中采用Gauss-Seidel逐點法。在這種方法中，根據指定的指令計算每個節點的變量值。離散方程為：

其中nb為相鄰節點，Tp計算公式如下：

如果區間時間選擇得當，則式（9）的收斂關系是可以接受的。此研究使用的時間間隔為0.01 s，很好地涵蓋了Gauss-Seidel的收斂條件。

2.3 案例研究

2.3.1 物理模型

基于標準模型由有機玻璃制備的模型尺寸如圖1所示：設計水頭（Hd）= 0.301 m，寬度= 1.83 m，溢洪道壩頂高度（P）=0.8127 cm。

圖1 反弧形溢洪道尺寸及水流參數圖

2.3.2 邊界條件

一般來說，流場數值分析的一個最重要的階段是確定適當的邊界條件，它與問題的物理條件相匹配。對于反形溢洪道的數值模擬，此研究在水面上采用壓力進口和壓力出口，水面下采用速度進口，其余設置為固體壁面的邊界條件。

2.3.3 數值模型驗證

在此研究中，需要對數值研究結果的準確性進行驗證。在進行驗證之前，必須保證湍流模型選擇的有效性、網格劃分的準確性以及它們對結果沒有影響。為了驗證數值模型，采用了適應性較強的非結構化網格劃分方法，并在溢洪道壁面附近做了適當的加密處理，保證計算的準確性。

為了獲得計算反弧形溢洪道流量參數的合適湍流模型，在70 s 內計算了網格劃分為0.006 5 m、步長0.01 s 的數值模型。研究相同條件下的不同湍流模型，與實驗室模型相比，可以獲得最佳和最差的模擬流剖面，如圖2和圖3所示。

圖2 RNG k-ε湍流模型的水流剖面云圖

圖3 標準k-ω湍流模型的水流剖面云圖

3 結果與討論

將數值方法的參數模擬結果與實驗室測量結果進行了比較，根據相對誤差的百分比，選擇最適合的湍流模型進行反弧形溢洪道水流參數的計算。由式（6）可知，相對誤差等于數值方法值與實驗室值之差除以數值方法值的模量。

表2 給出了不同湍流模型下的流量參數和實驗室值的數值結果。

表2 湍流模型分析表

根據表2對不同湍流模型的流型進行研究，RNG k-ε模型得到的流型更接近實驗室模型，而標準k-ω模型與實驗室模型的相似度最小。根據在0.01 s步長時間內的收斂性，可以認為Gauss-Seidel收斂條件是一種比較合適的反弧形溢洪道方程收斂性的選擇。RNG 模型的相對誤差最小，溢洪道斷面與物理模型吻合良好。可以認為，該模型是一種適合于反弧形溢洪道建模的模型。由于物理模型的制作費用較高，且在結果中可以看出尺度效應所帶來的問題，因此建議采用數值模型。研究表明，RNG k-ε湍流模型是最適合于溢洪道水流模擬的模型。在此基礎上，可實現的k-ε模型和其他模型特別是標準k-ω模型在模擬反弧形溢洪道時出現了較大的誤差。正交網格法是一種比較合適的數值模擬方法。在不采用適當湍流模型的情況下，數值方法得到的結果與實驗結果相比，相對誤差要小得多。結果表明，采用RNG k-ε湍流模型，可以提高溢洪道溢流計算結果的準確性。該方法的相對誤差為9.687，表明該方法具有較高的精度。而SPSS 軟件的決策準則（P-value）約為0.000 006，遠低于0.05，因此認為此數值研究具有較高的精度。

4 結論

采用Fluent 軟件和RNG k-ε 湍流模型，研究發現，其精度明顯高于其他模型。通過Fluent 軟件的數值解獲得的流量等于0.117 578 1 m3/s，而使用Flow 3D 軟件獲得的流量等于0.125 208 m3/s。USBR 圖表顯示流量等于0.119 944 m3/s，USACE圖表顯示流量等于0.122 2 m3/s。考慮到上述方法的結果，可以觀察到本研究的結果與USBR 圖的結果非常相似，并且具有較高的精度。數值研究得出的決策準則（P 值）約為0.000 025，這與使用Flow 3D軟件進行的研究結果相比，具有較高的精度。Fluent軟件的數值方法（使用USBR圖形）得出的決策準則（P值）約等于0.001 037，使用USACE圖形得出的決策準則（P值）約等于0.000 138，均低于0.05，證明了此研究中使用的數值方法的高精度。基于上述事實，此研究分析了網格劃分的敏感性，可以得到結論，RNG k-ε湍流模型具有很高的精度。