立足核心素養(yǎng)培養(yǎng) 著眼學(xué)生終身發(fā)展
——例談新課標(biāo)初中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容的教學(xué)實(shí)施策略

2022-11-28 10:53:52王東升

遼寧教育 2022年21期

王東升

（阜新市招生考試委員會(huì)辦公室教育服務(wù)中心）

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）發(fā)布后，其基本理念、結(jié)構(gòu)特征、課程內(nèi)容等方面都有調(diào)整變化，其培養(yǎng)目標(biāo)進(jìn)一步完善，課程設(shè)置得到優(yōu)化，強(qiáng)化了育人導(dǎo)向，確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)：以學(xué)生發(fā)展為本，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)學(xué)生“四基”的獲得與發(fā)展，發(fā)展學(xué)生“四能”，形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。在教學(xué)中，教師要了解“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的課程內(nèi)容主要變化，并依據(jù)基本理念，落實(shí)課程內(nèi)容及育人目標(biāo)要求，探究教學(xué)方式與策略。

新課標(biāo)新增11條內(nèi)容，分別是：理解負(fù)數(shù)的意義；知道實(shí)數(shù)由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)組成；能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，能比較實(shí)數(shù)的大小；能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義（這里對(duì)實(shí)數(shù)而言）；能利用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；了解代數(shù)推理；能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義；理解函數(shù)值的意義；知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對(duì)稱軸的關(guān)系；會(huì)求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應(yīng)自變量的值，能解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題；知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系。新課標(biāo)刪除1條內(nèi)容的星號(hào)，是“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”，將此內(nèi)容由選學(xué)調(diào)整為必學(xué)。下面圍繞“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域主要變化，談一談在教學(xué)中要注意的一些問(wèn)題和實(shí)施建議。

一、知道實(shí)數(shù)由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)組成

在初中階段，數(shù)系的擴(kuò)充有兩次，第一次是負(fù)數(shù)的產(chǎn)生，數(shù)系擴(kuò)充到有理數(shù)；第二次是無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生，數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)。每一次數(shù)系的擴(kuò)充，都是對(duì)人類認(rèn)識(shí)的一次挑戰(zhàn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)的組成，關(guān)鍵是理解無(wú)理數(shù)。教師教學(xué)時(shí)可以分成六個(gè)層次進(jìn)行。

第一個(gè)層次：發(fā)現(xiàn)非有理數(shù)。若正方形面積為2，邊長(zhǎng)為a，則a2=2。那么a是什么數(shù)？因?yàn)?2=1，22=4，32=9，……所以，a是介于1~2之間的數(shù)，不可能是整數(shù)；因?yàn)椤Y(jié)果是分?jǐn)?shù)，所以a不可能是分?jǐn)?shù)。這樣，a既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，即a不是（我們熟知的）有理數(shù)。

這樣的數(shù)真的存在嗎？教師可讓學(xué)生把邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形沿對(duì)角線剪開，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)這四個(gè)全等的等腰直角三角形可以拼成一個(gè)較大的正方形，其面積為2。因此，可以確定平方為2的數(shù)是客觀存在的。

第二個(gè)層次：在a2=2中，a是有限小數(shù)還是有限循環(huán)小數(shù)？

邊長(zhǎng)a 1

教師可以繼續(xù)引導(dǎo)：還可以繼續(xù)算下去嗎？a可能是有限小數(shù)嗎？a可能是無(wú)限循環(huán)小數(shù)嗎？

第三個(gè)層次：分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)。有限小數(shù)都可以表示成分?jǐn)?shù)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)也都可以表示成分?jǐn)?shù)。如化為分?jǐn)?shù)：設(shè)則100x，34+x=

因?yàn)閍2=2中的a不可能是分?jǐn)?shù)，所以，a2=2中的a不是有限小數(shù)，也不是無(wú)限循環(huán)小數(shù)。到此，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生給無(wú)理數(shù)下定義了。

第四個(gè)層次：無(wú)理數(shù)的定義。有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)表示；反之，任何有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。而我們把無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù)，把有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。

第五個(gè)層次：無(wú)理數(shù)的形式。初中階段無(wú)理數(shù)的常見(jiàn)形式有4個(gè)：一是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)類，如0.1010010001……（兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）；二是常數(shù)類，如π、2π等；三是根式類，如2、3等；四是三角函數(shù)值類，多數(shù)角度的銳角三角函數(shù)值。學(xué)生以后還會(huì)認(rèn)識(shí)到常數(shù)類的無(wú)理數(shù)，如自然常數(shù)e。

第六個(gè)層次：數(shù)學(xué)發(fā)展史中的無(wú)理數(shù)。公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)：一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的。這一不可公度性與畢氏學(xué)派的“萬(wàn)物皆為數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相徑庭。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明了有理數(shù)并沒(méi)有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，并對(duì)以后2000多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，促使人們從依靠直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向依靠證明，推動(dòng)了公理幾何學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分思想萌芽。直到17世紀(jì)還有一些數(shù)學(xué)家不承認(rèn)無(wú)理數(shù)。1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)。

教師讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展史的這些關(guān)鍵片段是數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的一個(gè)環(huán)節(jié)。著名數(shù)學(xué)家M·克萊因十分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的重要價(jià)值。他曾說(shuō)：“課本中的字斟句酌的敘述，未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過(guò)程中的斗爭(zhēng)、挫折以及在建立一個(gè)可觀的結(jié)構(gòu)之前數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長(zhǎng)的道路。而了解到數(shù)學(xué)家如何跌跤，如何在迷霧中摸索前進(jìn)，并且如何零零碎碎地得到他們的成果，應(yīng)能使面對(duì)難題的人們鼓起勇氣。”

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展史的介紹，可以讓學(xué)生了解到人類在追求真理道路上的艱辛努力和堅(jiān)定信念，也有利于幫助學(xué)生樹立科學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)良好的科學(xué)精神。另外，在數(shù)學(xué)的發(fā)展長(zhǎng)河中，涌現(xiàn)出許多熠熠生輝的數(shù)學(xué)大家，他們或孜孜以求，鍥而不舍；或艱苦卓絕，攻堅(jiān)克難；他們?cè)谟脭?shù)學(xué)成果造福人類的同時(shí)，也為后人留下了寶貴的精神財(cái)富。利用好這些資源，教育才能“培根鑄魂，啟智潤(rùn)心”。

二、了解代數(shù)推理

說(shuō)起推理，人們自然會(huì)想到幾何證明。其實(shí)，不但“圖形與幾何”領(lǐng)域有推理，“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域也都是離不開推理的。可以說(shuō)，推理是一種無(wú)所不在的思維方式。推理有三種形式：演繹推理、歸納推理和類比推理。

例如，任意寫一個(gè)三位數(shù)，交換它的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字，又得到一個(gè)數(shù)字，兩個(gè)數(shù)相減后的結(jié)果有什么規(guī)律？這個(gè)規(guī)律對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)都成立嗎？

教師可先引導(dǎo)學(xué)生寫出一個(gè)三位數(shù)，如123，交換后是321，兩數(shù)相減是321-123=198。然而，一個(gè)數(shù)字是難以確定規(guī)律是什么的：末位是8嗎？是偶數(shù)嗎？是3的倍數(shù)嗎？是9的倍數(shù)嗎？是11的倍數(shù)嗎？需要再寫出一個(gè)三位數(shù)觀察：756，交換后是657，兩數(shù)相減是756-657=99。通過(guò)這樣，使學(xué)生初步把握問(wèn)題的規(guī)律。要“一般證明”此問(wèn)題，還要用字母代替數(shù)，進(jìn)行“符號(hào)運(yùn)算”：100a+10b+c-（100c+10b+a）=99a-99c=99（a-c）。

在解決了本題后，教師當(dāng)然還可以啟發(fā)學(xué)生思考：其他的多位數(shù)會(huì)如何呢？?jī)晌粩?shù)：10a+b-（10b+a）=9a-9b=9（a-b）；四位數(shù)：1000a+100b+10c+d-（1000d+100b+10c+a）=999a-999d=999（a-d）。進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生探索多位數(shù)存在的更一般規(guī)律。

回顧上面的解答過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維所經(jīng)歷的過(guò)程為：先明確數(shù)字關(guān)系，進(jìn)行數(shù)字演算，初步發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律，這是一個(gè)歸納推理的抽象過(guò)程；然后，利用字母表示數(shù)，進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，最后表達(dá)一般規(guī)律，這是一個(gè)演繹推理的證明過(guò)程。教學(xué)中教師要讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)探究過(guò)程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)。

歸納推理也稱歸納，其本質(zhì)是通過(guò)對(duì)部分事物的研究，推斷更大范圍中事物的整體特征，它是從個(gè)別事物中概括出一般原理和性質(zhì)的思維方式，是從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程。如通過(guò)3+5=5+3等，可歸納得到加法的交換律a+b=b+a。再如，通過(guò)4×等，可歸納得二次根式的乘法法則歸納是尋找和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的主要手段。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師也可以常用類比的方式，如可以利用學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，來(lái)引導(dǎo)他們學(xué)習(xí)分式的性質(zhì)。同時(shí)，教師也要注意，類比只是合情的猜測(cè)，其結(jié)論是否正確，還有待于進(jìn)一步的證明。如我們知道積的乘方運(yùn)算法則為（ab）2=a2b2，在之后學(xué)習(xí)二項(xiàng)式乘方時(shí)，一些學(xué)生就容易“類比”地認(rèn)為（a+b）2=a2+b2，這是錯(cuò)誤的。

雖然由類比推理發(fā)現(xiàn)的結(jié)果不一定正確，但是“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”，很多科學(xué)上的發(fā)明和創(chuàng)造正是需要打破常規(guī)，大膽設(shè)想，才能得到豐碩的成果。

三、能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義

教學(xué)中，教師要依托現(xiàn)實(shí)的情境來(lái)幫助學(xué)生理解方程的意義。如可創(chuàng)設(shè)這樣的現(xiàn)實(shí)情境：一家商店將某種服裝按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？

分析可知，該題中所涉及的四個(gè)關(guān)鍵數(shù)量有如圖1所示的關(guān)系，它們之間形成了A，B兩個(gè)循環(huán)。

圖1

若設(shè)每件服裝的成本為x元，在A循環(huán)中，（1+40%）x·80%=售價(jià)，在B循環(huán)中，售價(jià)-x=15。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，以任意一個(gè)數(shù)量為聯(lián)系節(jié)點(diǎn)，A，B兩個(gè)循環(huán)中的數(shù)量就聯(lián)系在一起，都可以形成含有未知數(shù)的等式，即方程。

若設(shè)每件服裝的成本為x元，根據(jù)題意，根據(jù)不同的等量關(guān)系可以得到不同的方程：（1+40%）x·80%-x=15（以利潤(rùn)為等量），（1+40%）x·80%=15+x（以售價(jià)為等量），（1+40%）x·80%-15=x（以成本為等量），（1+40%）x=（15+x）/80%（以標(biāo)價(jià)為等量），80%=（15+x）/（1+40%）x（以折扣為等量）。

因此可以說(shuō)，方程就是“同一個(gè)量（或等量）的兩種不同表達(dá)”，這樣的認(rèn)識(shí)，也有助于學(xué)生對(duì)列方程的思考。對(duì)于方程的定義，教材的描述一般為：含有未知數(shù)的等式叫做方程。針對(duì)方程這個(gè)“定義”，有的教師提出：x=2是方程嗎？說(shuō)x=2是方程的，理由是從“含有未知數(shù)的等式叫做方程”的定義來(lái)看。也有另一種認(rèn)識(shí)，華東師范大學(xué)張奠宙教授指出：僅根據(jù)定義“含有未知數(shù)的等式叫方程”就會(huì)出現(xiàn)“x=1，x-x=0是不是方程”這樣的怪問(wèn)題，其實(shí)這句話只談了方程的表面。方程的本質(zhì)是為了求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立一種等式關(guān)系。既然方程的本意就是要求未知數(shù)，如果x=1，未知數(shù)已經(jīng)求出來(lái)了，也就沒(méi)有方程的問(wèn)題了。這類問(wèn)題與我們學(xué)習(xí)方程知識(shí)沒(méi)有關(guān)系。在方程概念的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)?shù)问剑⒅貙?shí)質(zhì)。

當(dāng)然，教師應(yīng)該了解，x=2是不是方程還要看場(chǎng)合，在現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材體系，如在初中拋物線的“對(duì)稱軸方程”或高中解析幾何的“直線方程”中，我們還得把x=2說(shuō)成是方程。在這里，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧“打折銷售”的例子：為什么題中會(huì)產(chǎn)生A，B兩個(gè)循環(huán)呢？只有一個(gè)循環(huán)行嗎？如把題目改為：商店將某種服裝100元賣出，每件獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？其實(shí)這就是加減法的問(wèn)題，沒(méi)必要列方程。東北師范大學(xué)史寧中教授指出：方程一定是在講兩個(gè)故事。所謂兩個(gè)故事，就是兩個(gè)等量關(guān)系，這樣就可以用兩種不同的形式表示同一個(gè)量，也把這個(gè)叫做“算兩次”。

四、理解函數(shù)值的意義

對(duì)于函數(shù)值的意義，可以從以下四個(gè)方面來(lái)理解。

一是從代數(shù)的角度看。函數(shù)值就是與其自變量取值相對(duì)應(yīng)的因變量的值。例如，對(duì)于一次函數(shù)y=3x+4，當(dāng)x=5時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y=19。

二是從幾何的角度看。函數(shù)值就是函數(shù)圖象上某點(diǎn)的縱坐標(biāo)。例如，一次函數(shù)圖象交x軸于點(diǎn)A（3,0），交y軸于點(diǎn)B。若是函數(shù)值為正，則自變量x的取值范圍是x<3。即圖象上縱坐標(biāo)為正的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值。

三是實(shí)際問(wèn)題中具有實(shí)際意義。例如，甲、乙兩人在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步600米，先到終點(diǎn)的人原地休息。已知甲先出發(fā)2秒。在跑步過(guò)程中，甲、乙兩人的距離y（米）與乙出發(fā)的時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖2所示，則b值是多少？

圖2

分析可知，所求圖2中b的值就是“乙出發(fā)100秒時(shí)兩人的距離”，故應(yīng)先求得甲、乙兩人的速度。

解：t=0時(shí)，y=8，即乙即將出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)出發(fā)2秒，甲、乙兩人距離為8米。所以米/秒。

在乙出發(fā)后，兩人距離先變小后變大，說(shuō)明乙速大于甲速，且在t=100秒時(shí)，兩人距離增至最大，說(shuō)明乙已經(jīng)到達(dá)終點(diǎn)，原地休息。所以秒。此時(shí)兩人距離b=6×100-（8+4×100）=192米。當(dāng)然，由于所求兩人距離是乙走了600米時(shí)兩人的距離，所以，不求乙的速度也可以。圖象上點(diǎn)（a，0）的縱坐標(biāo)0的實(shí)際意義是“甲乙兩人距離為零”，即乙追上了甲。

四是從函數(shù)值的特征角度看。首先，與自變量的取值一一對(duì)應(yīng)。對(duì)于每一個(gè)確定的自變量的值，都有唯一的函數(shù)值與其對(duì)應(yīng)。即對(duì)于y=f（x）而言，一個(gè)x，有唯一的y與之對(duì)應(yīng)；不同的x，對(duì)應(yīng)的y可能相同。其次，其變化特征體現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)。隨著自變量的取值的增大，函數(shù)值可能隨之增大，也可能隨之減小，也可能在某個(gè)范圍內(nèi)增大，在另一個(gè)范圍內(nèi)減小。即函數(shù)會(huì)表現(xiàn)出單調(diào)遞增，或單調(diào)遞減，或奇函數(shù)，或偶函數(shù)等性質(zhì)。

五、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

教師先要引導(dǎo)學(xué)生了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系內(nèi)容。寬泛地說(shuō)，一元二次方程的求根公式也是“根與系數(shù)的關(guān)系”，即根與系數(shù)的關(guān)系可以分為兩個(gè)方面：一個(gè)是用系數(shù)表示根—求根公式；另一個(gè)是用根表示系數(shù)——韋達(dá)定理。其中，求根公式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)

韋達(dá)定理：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，利用求根公式可得（這是現(xiàn)行教材給出的教學(xué)順序）。當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，即若x2+px+q=0的兩個(gè)根為x1，x2，利用求根公式可得，x1+x2=-p，x1x2=q。

其實(shí)，韋達(dá)定理還可以從另一種途徑來(lái)認(rèn)識(shí)。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2。則ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2，比較恒等式同次冪項(xiàng)系數(shù)，得b=-a（x1+x2），c=這恰是“韋達(dá)定理”的實(shí)際發(fā)展軌跡）。教師可以利用這個(gè)思路來(lái)引導(dǎo)學(xué)生研究一元三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。

然后，教師要把握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的“了解”層次的教學(xué)要求。依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于“了解”層次的教學(xué)要求，現(xiàn)行北師大版初中數(shù)學(xué)九年上冊(cè)教材中設(shè)計(jì)的部分練習(xí)如下：

（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：x2-3x-1=0，3x2+2x-5=0；

（3）寫出一個(gè)以4和-7為根的一元二次方程；

（4）已知方程5x2+mx-6=0的一個(gè)根為2，求它的另一個(gè)根及m的值。

在實(shí)際教學(xué)和評(píng)價(jià)中，仍存在隨意拔高教學(xué)要求的現(xiàn)象，如已知一元二次方程（有實(shí)數(shù)根），求兩根的平方和、立方和、倒數(shù)和差的絕對(duì)值等。而這些內(nèi)容其實(shí)是高中階段（人教B版必修一）的教學(xué)要求。

關(guān)于“了解”的層次要求，新課標(biāo)是這樣解釋的，了解：知道，初步認(rèn)識(shí)；從具體事例中知道或舉例說(shuō)明對(duì)象的有關(guān)特征；根據(jù)對(duì)象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說(shuō)明對(duì)象。可見(jiàn)，上面所列舉的“課外練習(xí)”，明顯超出了新課標(biāo)中“了解”的層次要求。教師如果無(wú)視要求，在教學(xué)、評(píng)價(jià)中隨意拔高，那么教學(xué)將走進(jìn)誤區(qū)。

教師還要關(guān)注一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的育人價(jià)值：一是發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力。教師若只是知道一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，則也不過(guò)是多掌握了一個(gè)“定理”而已。教學(xué)中，若能引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去猜想、去歸納這個(gè)“關(guān)系”，無(wú)疑會(huì)培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題的“數(shù)學(xué)眼光”。二是促進(jìn)學(xué)生積累用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行一般性推理的經(jīng)驗(yàn)。初中學(xué)生的思維正處在“抽象表達(dá)”發(fā)展的關(guān)鍵階段，韋達(dá)定理的探索、論證及表達(dá)過(guò)程，恰好能幫助學(xué)生感悟符號(hào)表達(dá)對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的作用，提高用抽象的“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”表達(dá)問(wèn)題的能力。

此外，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系發(fā)展史。在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，韋達(dá)定理也是引人關(guān)注的。在1615年出版的《方程的理解與修正》一書中，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)給出了形如-x2+px=q（p，q>0）的一元二次方程的兩根之和等于p，兩根之積等于q。不過(guò)，韋達(dá)并沒(méi)有考慮方程有重根或負(fù)根的情況，定理僅適合有兩個(gè)不相同的正實(shí)根的情形。到1629年，吉拉爾出版了《代數(shù)新發(fā)明》一書，書中討論了一般n次方程根與系數(shù)的關(guān)系。他認(rèn)為，方程的根可以是負(fù)數(shù)或虛數(shù)，并提出：一個(gè)n次方程應(yīng)該有n個(gè)根。這就是現(xiàn)在大家熟知的代數(shù)基本定理。吉拉爾在韋達(dá)的基礎(chǔ)上給出了他的證明。直至18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉首次給出方程x2+px+q=0的韋達(dá)定理的嚴(yán)格證明。19世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家華里斯沿用了歐拉的證明，并完善了求根公式。

從韋達(dá)定理的發(fā)展史我們不難看出，它的發(fā)展過(guò)程是間斷的、不完整的、極具探索性的。從歷史發(fā)展的角度來(lái)看，教學(xué)應(yīng)秉承數(shù)學(xué)史發(fā)展的軌跡，通過(guò)觀察、歸納、推理、證明的方式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理。從數(shù)學(xué)思想的角度來(lái)看，在學(xué)習(xí)韋達(dá)定理時(shí)學(xué)生應(yīng)著重體會(huì)整體性思想，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)體現(xiàn)歸納思想。