利用數(shù)學(xué)方法求解物理極值問題

江蘇省南通中學(xué)（226001）朱 華

著名科學(xué)家歐拉說過：“如果宇宙中最大或者最小規(guī)律不出現(xiàn)，那么，宇宙間根本不會發(fā)生任何情況。”從歐拉的描述中，我們可以看出極值問題在物理學(xué)中有著非常重要的意義。在高中物理學(xué)習(xí)中，也經(jīng)常需要求極值。有些時候，根據(jù)題目所給的物理現(xiàn)象，結(jié)合物理概念和規(guī)律進行分析，找到符合題目要求的物理量并不簡單，甚至特別復(fù)雜，但如果換個角度，利用數(shù)學(xué)規(guī)律和方法，就能快速得到結(jié)果。

利用數(shù)學(xué)方法求解物理極值問題，需要根據(jù)物理規(guī)律建立數(shù)學(xué)方程，先將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式，然后利用各物理量間的數(shù)量關(guān)系，選用合適的數(shù)學(xué)規(guī)律求解極值。這種方法，對學(xué)生的物理建模能力、數(shù)學(xué)推演能力有較高要求，如果能夠熟練掌握，則能收到事半功倍的效果。

一、建立一元二次方程，利用根的判別式求極值

一元二次方程的根的判別式在數(shù)學(xué)中通常都是判斷根的情況，放在物理情境中，則能利用方程沒有實數(shù)解時Δ <0 這一規(guī)律，得出不等式，然后求出對應(yīng)的物理量的極值。

［例1］某司機駕駛一輛轎車以大小為v1的速度向前行駛，突然發(fā)現(xiàn)前方s處有一輛以大小為v2的速度向前勻速行駛的貨車，已知v1>v2。由于前方的道路狹窄無法繞過，于是該司機選擇立即減速。已知轎車的加速度大小為a，為了不與前方貨車相撞，求a的取值。

解析：已知初速度和加速度，可以根據(jù)運動學(xué)方程列式

由題意可知兩車如果相撞，則滿足條件

聯(lián)立以上三式可得：

上式可變形為關(guān)于t的二元一次方程，得：

當(dāng)方程沒有實數(shù)解，即Δ=b2?4ac=4(v1?v2)2?8as<0 時，兩車不會相撞，由此可得a>

二、靈活應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)，求解物理最值問題

三角函數(shù)的值域問題在高中數(shù)學(xué)中是考查的熱點，求解方法很多，比如利用均值不等式求值域，合理轉(zhuǎn)化利用有界性求值域，利用單調(diào)性求值域，變換法求值域，等等。但在物理問題中，通常用不到那么復(fù)雜的方法，最常見的就是利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解。

［例2］如圖1 所示，在不光滑地面上停放著一輛小車，小車右側(cè)是一個半徑為R的四分之一圓弧，有質(zhì)量為m的光滑小球無初速度地從圓弧頂端沿圓軌道面滑下，小車在整個過程中始終保持靜止。求小車受到地面的靜摩擦力最大時小球的位置及當(dāng)時靜摩擦力的大小。

圖1

解析：光滑小球在四分之一圓弧軌道上的運動可視為圓周運動。設(shè)當(dāng)小車受到地面的靜摩擦力最大時小球所在位置與圓心O的連線與豎直方向夾角為θ，小球速度大小為v，小球受到的支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律和機械能守恒定律可得：

根據(jù)牛頓第一定律，解得小球?qū)π≤嚨膲毫Υ笮椋?/p>

其在水平方向的分量為：

根據(jù)平衡力性質(zhì)可知，地面對小車的靜摩擦力方向向右，大小為：

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)sin 2θ=1 即θ=45°時，小車受到地面的靜摩擦力最大，此時小球所在位置與圓心的連線與豎直方向夾角為45°，最大靜摩擦力為fmax=3mg/2。

三、建立不定式，利用不定式性質(zhì)求物理問題中的極值

不等式的性質(zhì)，決定了它是解決很多極值問題最簡潔的方式，當(dāng)然，也要具體問題具體分析，當(dāng)無法建立不等式時，就無法使用。在物理問題中，涉及空間關(guān)系、幾何關(guān)系，或者題給限制條件滿足不等式時，可以直接列式，另外就如例1 中的情況，也可以間接構(gòu)建不等式。

［例3］如圖2 所示，是一個離子收集器的原理模擬圖。已知，在矩形ACDG（各邊都足夠長）中存在垂直紙面向里的可調(diào)節(jié)磁感應(yīng)強度的勻強磁場，離子源射出的離子經(jīng)靜電場加速后通過處于A點處的狹縫垂直AG邊和磁場方向進入磁場，然后運動到GA邊被收集器分類收集。若被加速的兩種帶電荷量均為+q的離子質(zhì)量分別為m1和m2，且m1>m2，靜電場電勢差為U，離子進入靜電場時的初速度忽略不計，不考慮離子間的相互作用和重力。

圖2

在實際情境中，由于狹縫存在寬度，且相對于離子的大小來講該寬度不可忽略，因此會造成兩種離子在GA邊上的落點有重疊，從而出現(xiàn)無法完全分離離子的現(xiàn)象。設(shè)GA邊的長度為L，狹縫寬度為d（狹縫右邊沿在點A處），為保證離子能夠完全被分離收集，求狹縫寬度d的最大值。

聯(lián)立①②兩式得兩種離子在磁場中的軌道半徑為別為：

根據(jù)圓周運動規(guī)律分析可知，離子在磁場中的運動軌跡是一個半圓，因此其在GA邊上的落點都在其進入磁場的入射點左側(cè)2R處。由于狹縫的寬度為d，因此落點區(qū)域的寬度也是d。為保證離子能夠完全被分離收集，應(yīng)滿足條件2(R1?R2)≥d④

四、利用求導(dǎo)法求物理問題中的極值

在高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)的極限是基本概念之一，導(dǎo)數(shù)等概念都是在函數(shù)極限的定義上完成的。導(dǎo)數(shù)的求解是求極限的方法：當(dāng)Δx→0 時f(x)有極限，這個極限叫作f(x)在該點（x=x0）的導(dǎo)數(shù)。利用公式可表述為=f′(x)，而這一方法同樣可以在物理求極值問題中得到應(yīng)用。

［例4］如圖3 所示，現(xiàn)有兩個電荷量均為Q的正點電荷固定在A，B兩點，AB=2L，在AB的中垂線上的C點由靜止釋放一個質(zhì)量為m、帶電量為q的正檢驗電荷（重力可忽略不計）。試求檢驗電荷運動的最大加速度及在何處達到最大加速度。

圖3

解析：根據(jù)靜電場的性質(zhì)可知，檢驗電荷在AB的中點處所受合力為0，在AB的中垂線上的任意一點它所受合力的方向均是沿著AB的中垂線方向。如圖4 所示，假設(shè)檢驗電荷運動到D點，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，此時對其受力進行分析可得：

圖4

檢驗電荷的加速度為：

由上式可知，檢驗電荷的加速度a是關(guān)于θ的函數(shù)，令f(θ)=sinθ?sin3θ

則f(θ)的導(dǎo)數(shù)為：

f′(θ)=cosθ?3 sin2θcosθ

令f′(θ)=0，即

cosθ?3 sin2θcosθ=0

五、利用二次函數(shù)求物理問題中的極值

在數(shù)學(xué)中，利用二次函數(shù)求極值常用到配方法和頂點坐標(biāo)法求函數(shù)的極大值或極小值。如果在物理問題中能夠建立關(guān)于待求物理量的二次函數(shù)，即可采用上述方法快速解決極值問題。

［例5］如圖5 所示，在水平桌面上放有一個材質(zhì)均勻的矩形金屬框abcd，其中矩形框的長為2L、寬為L，金屬框的單位長度電阻值為R0。金屬桿MN材質(zhì)、粗細(xì)與金屬框相同，接觸良好地放在金屬框上。有磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場垂直通過金屬框所在平面。現(xiàn)以b點為原點，bc所在直線為x軸建立坐標(biāo)系。若金屬桿MN受到沿x軸正方向的外力從金屬框左端以速度v向右勻速運動，不計摩擦力，求：

（1）通過金屬桿MN的電流與坐標(biāo)x的關(guān)系；

（2）金屬桿MN所受外力的最大值與最小值。

解析：（1）設(shè)金屬桿MN左側(cè)總電阻為R1，右側(cè)總電阻為R2，金屬桿的運動位移為x，根據(jù)題意可得：

在金屬桿MN運動過程中，它切割磁感線，故其相當(dāng)于一個電源，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：

根據(jù)歐姆定律可得整個回路的總電阻為：

通過金屬桿MN的電流為：

聯(lián)立①②③④⑤式可得：

（2）題中金屬桿MN做勻速運動，故外力大小應(yīng)等于金屬桿所受安培力。

由①②④式可得整個回路的總電阻為：

由二次函數(shù)的極值可知，若想外電路總電阻最大，則有：

當(dāng)外電路總電阻最大時，金屬桿MN中通過的電流最小，即所受安培力最小，最小電流為：

最小安培力為：

當(dāng)x=0 或x=2L，即金屬桿MN位于金屬框最左端或最右端時，外電路的總電阻最小，此時金屬桿MN中通過的電流最大，即所受安培力最大，最大電流為：

最大安培力為：

數(shù)學(xué)方法在求解物理極值問題的過程中具有獨特的作用，恰當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法可以使問題化難為易，化繁為簡，提高解題效率，拓展解題思路。想要做到準(zhǔn)確高效，學(xué)生不僅需要具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?，還應(yīng)具有豐富的想象能力。