等邊三角形的拓展探究

江蘇鹽城市大豐區(qū)萬盈初級(jí)中學(xué)（224100）王 剛

等邊三角形是初中階段學(xué)習(xí)的重要三角形，等邊三角形既是等腰三角形，又是正多邊形，是一種完美的三角形。等邊三角形三邊相等，三個(gè)角相等。等邊三角形是擁有三條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，同時(shí)也是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞中心點(diǎn)至少旋轉(zhuǎn)120°后能與自身重合。幾何圖形的拓展探究是近幾年中考數(shù)學(xué)命題的方向之一，此類題常作為中考數(shù)學(xué)的壓軸題，它一方面考查學(xué)生對(duì)幾何圖形的性質(zhì)的掌握情況，另一方面考查學(xué)生的探究能力。此類題常與旋轉(zhuǎn)、平移、翻折等圖形變換相結(jié)合，探索角度、線段的數(shù)量關(guān)系、線段長(zhǎng)和圖形的形狀等。

一、探索圖形變化中的角度

在圖形的形狀、平分某一個(gè)角、垂直或平行關(guān)系、某條線段的中點(diǎn)等原始條件不變的情況下，隨著某一條直線或一個(gè)動(dòng)點(diǎn)處于不同的位置（如在圖形的內(nèi)部、邊上或外部等），圖形發(fā)生了變化，而其中某個(gè)角的角度始終不變，這就是變化中不變的量，在等邊三角形中就存在這種情況。

［例1］△ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BP=BA，0° <∠PBC<180°，DB平分∠PBC，且DB=DA。

（1）當(dāng)BP與BA重合時(shí)（如圖1），求∠BPD的度數(shù)；

圖1

（2）當(dāng)BP在∠ABC的內(nèi)部時(shí)（如圖2），求∠BPD的度數(shù)；

圖2

（3）當(dāng)BP在∠ABC的外部時(shí)，請(qǐng)你直接寫出∠BPD的度數(shù)。

解析：（1）∵△ABC是等邊三角形，BD平分∠PBC，∴∠PBD=∠CBD=30°，∵DB=DA，∴∠PBD=∠BPD=30°。

（2）連接CD，由“SAS”可證△PBD≌△CBD，可得∠BPD=∠BCD，由“SSS”可證△BCD≌△ACD，可得∠BCD=∠ACD==30°，即可求解。如圖3，連接CD，∵點(diǎn)D在∠PBC的平分線上，∴∠PBD=∠CBD，∵△ABC是等邊三角形，∴BA=BC=AC，∠ACB=60°，∵BP=BA，∴BP=BC，∵BD=BD，∴△PBD≌△CBD（SAS），∴∠BPD=∠BCD，∵DB=DA，BC=AC，CD=CD，∴△BCD≌△ACD（SSS），∴∠BCD=∠ACD==30°，∴∠BPD=30°。

圖3

（3）分三種情況進(jìn)行討論，由全等三角形的性質(zhì)可求解。

如圖4，連接CD，∵AD=BD，CD=CD，BC=AC，∴△ACD≌△BCD（SSS），∴∠ACD=∠BCD=30°，∵BD=BD，∠PBD=∠CBD，PB=BA=BC，∴△PBD≌△CBD（SAS），∴∠BPD=∠BCD=30°。

圖4

如圖5，連接CD，∵AD=BD，CD=CD，BC=AC，∴△ACD≌△BCD（SSS），∴∠ACD=∠BCD=30°，∵BD=BD，∠PBD=∠CBD，PB=BA=BC，∴△PBD≌△CBD（SAS）∴∠BPD=∠BCD=30°。

圖5

如圖6，連接CD，∵AD=BD，CD=CD，BC=AC，∴△ACD≌△BCD（SSS），∴∠ACD=∠BCD==150°，∵BD=BD，∠PBD=∠CBD，PB=BA=BC，∴△PBD≌△CBD（SAS），∴∠BPD=∠BCD=150°。

圖6

評(píng)注：雖然線段BP相對(duì)于△ABC的位置發(fā)生了5 種變化，但是∠BPD的度數(shù)在前4 種圖形中都沒有發(fā)生變化，只在第5 種圖形中發(fā)生了變化，其原因在于題中的原始條件：DB平分∠PBC，PB=BA，DA=DB始終不變。解題的思路都是一樣的，都分別利用了“SSS”“SAS”證明兩個(gè)三角形全等。

二、探究圖形變化中線段的數(shù)量關(guān)系

在“手拉手”模型中，有一個(gè)頂點(diǎn)重合的一大一小兩個(gè)等邊三角形，將不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)分別聯(lián)結(jié)，無論兩個(gè)等邊三角形如何旋轉(zhuǎn)，都可以利用全等三角形得到聯(lián)結(jié)所得的兩條線段相等。在“角含半角”的模型中，一個(gè)角是另一個(gè)角的一半，且這兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合，無論這兩個(gè)角如何旋轉(zhuǎn)，都可以利用全等三角形得到一條線段等于另兩條線段的和。

［例2］如圖7，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，△BDC是等腰三角形且BD=CD，∠BDC=120°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=60°，交邊AB，AC于M，N兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使得CE=BM，連接MN，DE。

圖7

（1）試說明：①△MBD≌△ECD；②MN=BM+NC；

（2）若點(diǎn)M是AB的延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，N是CA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上，其他條件不變，探究線段BM，MN，NC之間的關(guān)系，并說明理由。

解析：（1）①如圖8，延長(zhǎng)AC至E，使得CE=BM，并連接DE。∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD與△ECD中，∵BD=CD，∠MBD=∠ECD，EC=BM，∴△MBD≌△ECD（SAS）。

圖8

②∵△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC?∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∵∠MDN=∠NDE=60°，在△DMN與△DEN中，DM=DE，∠MDN=∠NDE，DN=DN，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=EN，又∵NE=NC+CE，BM=CE，∴MN=BM+NC；

（2）結(jié)論：MN=NC?BM。

理由：如圖9，在CA上截取CE=BM?！摺鰽BC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中，∵EC=BM，∠MBD=∠DCE，BD=DC，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DE=DM，在△MDN和△EDN中，∵ND=ND，∠EDN=∠MDN，MD=ED，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC?CE=NC?BM。

圖9

評(píng)注：已知或求證一條線段等于另兩條線段的和，一般采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”，即在較長(zhǎng)線段上截取一條線段，使之等于其中一條較短線段，然后通過三角形全等得到截剩下的線段等于另一條線段，或者將其中一條較短的線段延長(zhǎng)，使延長(zhǎng)部分的線段等于另一條較短線段，然后通過三角形全等得到延長(zhǎng)后的線段等于長(zhǎng)線段。

三、探究圖形變化中三角形的形狀

在等邊三角形每邊依次取相等的線段，分別聯(lián)結(jié)這三個(gè)“分點(diǎn)”與對(duì)角頂點(diǎn)形成三條線段，這三條線段圍成的三角形是等邊三角形，或者在等邊三角形每邊依次取相等的線段，順次聯(lián)結(jié)這三個(gè)“分點(diǎn)”所得的三角形仍是等邊三角形；兩個(gè)大小不等的等邊三角形，其中一個(gè)頂點(diǎn)重合，然后將不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)聯(lián)結(jié)，得到兩條線段，再取兩條線段的中點(diǎn)，兩中點(diǎn)與重合的頂點(diǎn)形成的三角形仍是等邊三角形。

［例3］如圖10，△ABC，△CDE都是等邊三角形，AD，BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是線段AD，BE的中點(diǎn)。

圖10

（1）求證：△ACD≌△BCE；

（2）求∠DOE的度數(shù)；

（3）試判斷△MNC的形狀，并說明理由。

解析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，根據(jù)“SAS”即可證明△ACD≌△BCE。

∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和

∴△ACD≌△BCE（SAS）。

（2）根據(jù)全等求出∠ADC=∠BEC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADE+∠BED的值。

∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE是等邊三角形，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60° +∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°，∴∠DOE=180° ?（∠ADE+∠BED）=60°。

（3）求 出AM=BN，根 據(jù)“SAS”證△ACM≌△BCN，推出CM=CN，求出∠NCM=60°。

∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC，又∵點(diǎn)M，N分別是線段AD，BE的中點(diǎn)，∴AM=AD，BN=BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，AC=BC，∠CAM=∠CBN，AM=BN，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等邊三角形。

評(píng)注：在解答第（2）問的過程中，使用了“8”字形圖形，因?yàn)閷?duì)頂角相等，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可得剩下的兩個(gè)角的和相等。判定一個(gè)三角形的形狀，一般考慮它可能為等腰三角形、等邊三角形或直角三角形。根據(jù)三角形的大致形狀，要判斷一個(gè)三角形為等邊三角形，一般通過“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”來判定。

等邊三角形的拓展探究，還包括探究圖形變化中線段的長(zhǎng)、探究圖形變化中的內(nèi)接正三角形。它們都是以等邊三角形為背景，構(gòu)造圖形的變化、運(yùn)動(dòng)，在圖形的變化過程中，探究其中不變的量，如角度、數(shù)量關(guān)系或圖形形狀等，一方面考查學(xué)生的畫圖能力，另一方面考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力，以及考查學(xué)生能否利用相同的方法解決不同的問題。