牽手函數(shù)同構(gòu) 撥開解題迷霧
——以指數(shù)、對數(shù)函數(shù)同構(gòu)問題為例

福建省南平市高級中學(xué)（353000）葉 燕

構(gòu)造函數(shù)一向備受命題者的青睞，其中函數(shù)同構(gòu)問題更成為近幾年的高考命題熱點，值得教師關(guān)注。2020年山東高考卷數(shù)學(xué)第21題把函數(shù)不等式恒成立與函數(shù)同構(gòu)巧妙對接，成為函數(shù)同構(gòu)的標(biāo)志性試題，掀起的高潮延續(xù)至今。

函數(shù)同構(gòu)一般是對題干中的方程、不等式做合理變形，使得方程或不等式兩邊呈現(xiàn)出相同的結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)相同結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)f(x)，并判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，最后利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性求解。運用函數(shù)同構(gòu)思想解題，能極大地優(yōu)化解題過程，但并非所有的導(dǎo)數(shù)綜合題都能運用函數(shù)同構(gòu)解答。

那么，如何識別哪些題型適合運用函數(shù)同構(gòu)來解題呢？又怎樣才能更好地運用函數(shù)同構(gòu)解題呢？歸類解析就是一種好辦法。為此，本文著重對指、對數(shù)函數(shù)的同構(gòu)問題進(jìn)行歸類解析。

當(dāng)題干或問題同時包含有ex和lnx的結(jié)構(gòu)特征時，可考慮函數(shù)同構(gòu)。對于指數(shù)、對數(shù)函數(shù)同構(gòu)，多數(shù)可歸為如下五種情形。

一、與函數(shù)f(x)= xex同構(gòu)

二、與函數(shù)f(x)=ex + x同構(gòu)

［例3］若不等式xm(ex+x) ≤emx+mxm(x?lnx)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是___________。

解：因為x>0，所以原不等式等價于ex+x≤+mx?mlnx，即ex+x≤emx?mlnx+(mx?mlnx)恒成立。

三、與函數(shù)f (x)=(x + c)ln x 同構(gòu)，其中c為常數(shù)

［例5］已知函數(shù)f(x)=x(ex+1)，g(x)=(x+1)lnx，則下列結(jié)論正確的是（ ）。

解：僅對D選項進(jìn)行分析。

∵g(x2)=(x2+1)lnx2=(elnx2+1)lnx2=f(lnx2)，

∴f(x1)=g(x2)=t(t>0)，

∴f(x1)=f(lnx2)=t，可得x1>0，x2>1，

［例6］實數(shù)x1，x2滿足x1ex1=e3，x2(lnx2?2)=e5則x1x2=__________。

四、與函數(shù)f(x)= x+ln x同構(gòu)

當(dāng)x∈(?2,?1)時，h′(x) >0，h(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(?1,+∞)時，h′(x) <0，h(x)單調(diào)遞減，

∵lna>h(x)max=h(?1)=1，∴a>e。

解法2：因為a>0，所以由f(x)=?2 >0(x>?2)，可得ex+lna+lna>ln(x+2)+2，兩邊加 上x，則ex+lna+(x+lna) >(x+2)+ln(x+2)=eln(x+2)+ln(x+2)，

設(shè)g(x)=ex+x，則g(x+lna) >g[ln(x+2) ]，∵g(x)=ex+x單調(diào)遞增，∴x+lna>ln(x+2)，即lna>ln(x+2) ?x，

當(dāng)x∈(?2,?1)時，h′(x) >0，h(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(?1,+∞)時，h′(x) <0，h(x)單調(diào)遞減，

∵lna>h(x)max=h(?1)=1，∴a>e。

五、與函數(shù)f(x)=同構(gòu)

上述題目若按常規(guī)解法處理，將迷霧重重，相當(dāng)棘手，而運用函數(shù)同構(gòu)思想解決，則可撥云見日，柳暗花明。

在運用函數(shù)同構(gòu)時，應(yīng)當(dāng)明確：

第一，先把相同變量放在同一邊，再由內(nèi)向外同構(gòu)。對內(nèi)同構(gòu)，即通過合理變形實現(xiàn)左、右兩邊各自內(nèi)部同構(gòu)，這是同構(gòu)的重點，也是難點。在例4 的分析中，方程左邊兩處經(jīng)過變形匹配出的“2x+a”，即方程左邊的內(nèi)部同構(gòu)，方程右邊兩處經(jīng)過變形匹配出的“l(fā)nx”，即方程右邊的內(nèi)部同構(gòu)。內(nèi)部同構(gòu)一旦完成，對外同構(gòu)就自然生成。

第二，充分發(fā)揮恒等式“x=elnx和x=ln ex”在同構(gòu)轉(zhuǎn)化中的橋梁作用。同構(gòu)的基本變形方法有兩種：（1）變形為指數(shù)；（2）變形為對數(shù)。而具體的同構(gòu)式，因變形的組合不同，可以有多種，如：

設(shè)a，b都為正數(shù)，若aea+1+b

A.ab>e B.b>ea+1C.abea+1

解：把相同變量放在同一邊，一邊一個，得

第三，同構(gòu)的相互轉(zhuǎn)化。同構(gòu)函數(shù)f(x)=xex和同構(gòu)函數(shù)g(x)=xlnx可以相互轉(zhuǎn)化；同構(gòu)函數(shù)f(x)=ex+x和同構(gòu)函數(shù)g(x)=x+lnx也可以相互轉(zhuǎn)化。而例6和例7的兩種解法，給了最直觀的說明。

在上述題目中，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)唱戲，冪函數(shù)搭臺。下面分析一道冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)齊聚一堂的“恐怖題”，以再次感受運用同構(gòu)思想解題之神奇魅力。