關(guān)注高考數(shù)學(xué)新題型“多選題”之導(dǎo)數(shù)部分

江蘇省外國語學(xué)校（215100）何 慧

高考數(shù)學(xué)選擇題出現(xiàn)新題型“多選題”，這比以前的“單選題”增加了難度，不便于直接運用排除法迅速獲解。基于此，筆者對導(dǎo)數(shù)部分“多選題”進(jìn)行歸類解析，以便學(xué)生熟悉新題型，增強解題體驗，不斷積累解題經(jīng)驗。

類型一、以“多選題”的形式考查函數(shù)的極值點

［例1］（多選題）（2021 年北京師大附中期中考試試題）下列函數(shù)中，存在極值點的是（ ）。

對于選項B，函數(shù)y=根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，當(dāng)x<0 時，函數(shù)y=2|x|單調(diào)遞減，當(dāng)x>0 時，函數(shù)y=2|x|單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=2|x|在x=0處取得極小值。

對于選項C，函數(shù)y=?2x3?x，則y′=?6x2?1 <0，所以函數(shù)y=?2x3?x在R 上單調(diào)遞減，沒有極值點。

綜上，應(yīng)選B，D，E。

評注：一般地，分析f(x)是否存在極值點，不是考查方程f′(x)=0是否有解，而是考查導(dǎo)函數(shù)在某點附近左右兩側(cè)的單調(diào)性是否相反，即考查導(dǎo)函數(shù)是否存在變號零點。

類型二、以“多選題”的形式考查導(dǎo)函數(shù)的圖像與函數(shù)的性質(zhì)

［例2］（多選題）（2021 年山東省日照實驗高級中學(xué)階段性考試試題）函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖像如圖1 所示，以下命題錯誤的是（ ）。

圖1

A.?3是函數(shù)y=f(x)的極值點

B.?1是函數(shù)y=f(x)的最小值點

C.y=f(x)在區(qū)間(?3,1)上單調(diào)遞增

D.y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零

解析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像可知，當(dāng)x∈(?∞,?3)時，f′(x) <0，在x∈(?3,1)時，f′(x) >0，所以函數(shù)y=f(x)在(?∞,?3)上單調(diào)遞減，在(?3,1)上單調(diào)遞增，則x=?3是函數(shù)y=f(x)的極值點。

因為函數(shù)y=f(x)在(?3,1)上單調(diào)遞增，所以?1不是函數(shù)y=f(x)的最小值點。

因為函數(shù)y=f(x)在x=0 處的導(dǎo)數(shù)大于0，所以y=f(x)在x=0處切線的斜率大于0。

綜上，命題錯誤的選項為B，D。

評注：以圖為載體考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題切入點是認(rèn)真觀察圖形特點。

類型三、以“多選題”的形式考查函數(shù)的單調(diào)性與極值

［例3］（多選題）（2020 年山東省泰安第二中學(xué)月 考題）設(shè)f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知

評注：本題還可以靈活運用特例法獲解。取適合題意的函數(shù)f(x)=2，則易知A，B 錯誤，又多選，故選C，D。

類型五、以“多選題”的形式考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

［例5］（多選題）（2021 年北京師大附中試題）設(shè)函數(shù)f(x)=

則函數(shù)g(x)（即xf(x)）在()1,+∞上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減。故函數(shù)g(x)（即xf(x)）的極小值為g(1)=f(1)=故選A，B，C。

評注：本題的解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析函數(shù)xf(x)的單調(diào)性和極值，從而需要考慮導(dǎo)數(shù)的運算法則。對題設(shè)條件x2f′(x)+xf(x)=lnx進(jìn)行適當(dāng)變形，有利于問題的分析與求解。，則下列說法正確的是（ ）。

A.f(x)定義域是(0,+∞)

B.x∈(0,1)時，f(x)圖像位于x軸下方

C.f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間

D.f(x)有且僅有兩個極值點

E.f(x)在區(qū)間（1，2）上有最大值

類型四、以“多選題”的形式考查導(dǎo)函數(shù)與不等式的交匯

［例4］（多選題）（2020 年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)試題）定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且(x+1)f′(x)?f(x)

因為(x+1)f′(x)?f(x)g(2)>g(3)，整理得2f(2)?3f(1) <5，f(3)?2f(1) <7，故A錯誤，C正確。

據(jù)此可知，f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，故選項C正確；f(x)有且僅有1 個極小值點，故選項D 不正確；f(x)在區(qū)間（1，2）上先減后增，沒有最大值，所以選項E不正確。

綜上，應(yīng)選B，C。

評注：本題還可以借助數(shù)形結(jié)合法加以巧解。先根據(jù)導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，再畫出函數(shù)的大致圖像，最后觀察圖像即可確定結(jié)論。

類型六、以“多選題”的形式考查導(dǎo)數(shù)與其他知識的綜合運用

［例6］（多選題）（2020 年山東省棗莊市高三訓(xùn)練題）關(guān)于函數(shù)f(x)=+lnx，下列判斷正確的是（ ）。

A.x=2是f(x)的極大值點

B.函數(shù)y=f(x)?x有且只有1個零點

C.存在正實數(shù)k，使得f(x)>kx恒成立

D.對任意兩個正實數(shù)x1，x2，且x2>x1，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2>4

設(shè)函數(shù)h(x)=x?xlnx?4（x>0），則h′(x)=?lnx，易知函數(shù)h(x) 在(0,1) 上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以h(x) ≤h(1)=?3 <0，g′(x) <0，函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。又當(dāng)x→+∞時，g(x)>0且g(x) →0，所以根據(jù)（?）式可得k≤0，這顯然與k為正實數(shù)矛盾。故不存在正實數(shù)k，使得f(x)>kx恒成立，故選項C錯誤。

（4）由（1）知，f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，x=2 是f(x)的極小值點。由于任意兩個正實數(shù)x1，x2，且x2>x1，f(x1)=f(x2)，故0

由于t>1，則tlnt>0，故證2t2?2 ?4tlnt>0(t>1（)??）。

綜上，應(yīng)選B，D。

評注：本題設(shè)計較好，側(cè)重考查由導(dǎo)數(shù)知識求解函數(shù)的極值點、零點問題以及函數(shù)與不等式的綜合問題，其中選項C，D 難度較大，對學(xué)生分析與解決問題的能力有較好的考查。