著眼全局 正本清源
——對高中“圓”的教學思考

江蘇張家港市暨陽高級中學（215600）季蕓潔

“圓”是學生最熟悉的基本平面幾何圖形之一，也是初、高中數學的重要內容。在具體的教學中，如果不能正確認識“圓”在初、高中數學中的地位，就會偏離正確的教學方向。下面是筆者的一些認識，供同行參考、指正。

一、教學現狀

在高中數學教學中，部分教師延續初中對“圓”的教學要求，單純強調“圓”的幾何性質的學習和應用。例如，對于圓的定義，只介紹“到定點的距離為定值”這一種形式；對于直線與圓的位置關系，只說明利用“點到直線的距離與半徑大小關系”來判斷；對于點與圓的位置關系，只強調通過“點到圓心的距離”與“半徑”的比較來分析。這些都是研究“圓”的重點方法，很多與“圓”有關的問題，利用這些幾何性質可簡潔求解。但是，初、高中數學對“圓”知識的學習側重點不同，初中數學重視的是圓的幾何性質的應用，而高中數學則將“圓”作為解析幾何的基本內容，傾向于用解析法去研究、解決“圓”的相關問題。因此，在高中“圓”的教學中，既要突出圓的幾何性，又要突出圓的代數性。

二、教學改進

在高中數學中，“圓”是解析幾何的基礎，是學生后續學習橢圓、雙曲線、拋物線的基礎，研究這些圓錐曲線的定義、方程以及直線與圓錐曲線的關系都要用到圓。

（一）引申圓的定義

在平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓。除這種定義外，還要引入其他形式的定義，為后期探究橢圓、雙曲線、拋物線打下基礎。

［例1］在平面直角坐標系xOy中，點A(?2,0)，B(2,0)，P是平面內的動點，且PA，PB斜率之積為?1，求點P的軌跡方程。

說明：圓的這種定義形式更能體現利用定義法求曲線方程的基本思路，即求點的軌跡方程，就設點的坐標為(x,y)，再根據題目條件找到x,y的關系，要注意排除不符合條件的點。

［例2］在△ABC中，AB=2，AC=BC，求點C的軌跡方程。

解析：如圖1 所示，以AB的中點O為坐標原點，AB所在的直線為橫軸，建立平面直角坐標系。

圖1

說明：圓的這種定義形式可以簡記為“到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡，且定值不為1”。在這一定義形式下的圓也稱為“阿波羅尼斯圓”。以此為背景的命題在近年的高考試卷中屢見不鮮。

［例3］在平面直角坐標系中，點P(cosθ,sinθ)到直線x?my?2=0 的距離為d。當θ,m變化時，dmax=__________。

解析：假設x=cosθ，y=sinθ，則P(cosθ,sinθ)的軌跡方程為x2+y2=1，即為單位圓，圓心到x?my?2=0的距離為

如圖2 所示，圓x2+y2=1上 的 點P(cosθ,sinθ) 到x?my?2=0 的距離的最大值為，即m=0，dmax=3。

圖2

說明：圓心為點(a,b)，半徑為r的圓的參數方程（θ為參數），此類問題可借助圓的參數方程、三角函數的性質處理。

（二）拓展問題的處理方法

處理橢圓、雙曲線綜合問題的基本方法有坐標法、代入消元法、判別式法，因此教師在“圓”的教學中也要引導學生掌握這些方法。例如在處理直線與圓的位置關系問題時，教師除了講解幾何法，還要介紹代數法，即將直線方程與圓的方程聯立，代入消元得到含x或y的一元二次方程，進而利用判別式及根與系數的關系，整體代換、設而不求解決問題。

［例4］已知方程x2+y2?2x?4y+m=0。

（1）若此方程表示圓，求m的取值范圍；

（2）若（1）中的圓與直線x+2y?4=0 相交于A，B兩點，且原點O在以AB為直徑的圓內，求m的范圍。

解析：（1）由(?2)2+(?4)2?4m>0，即4+1 ?m>0，解得m<5。

（2）將直線x+2y?4=0與圓的方程x2+y2?2x?4y+m=0聯立，消元得(4 ?2y)2+y2?2(4 ?2y)?4y+m=0，整理得5y2?16y+8 +m=0，由Δ=(?16)2?20×(8+m)>0，解得m<

［例5］如圖3，已知圓C：x2+(y?3)2=25 與x軸的負半軸相交于點M。過點M作MA，MB分別與圓C相交于點A，B，且直線MA，MB關于x軸對稱，試問直線AB的斜率是否為定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由。

圖3

說明：本題也可以采用幾何法求解。如圖4，設圓與x軸的正半軸相交于點M′。由MA，MB關于x軸對稱可知，∠AMM′=∠BMM′，所 以M′為的中點，連接CM′，則CM′⊥AB，因為直線CM′的斜率為所以kAB=即直線AB的斜率為定值。幾何法雖然簡潔，但代數法的意義更為重大。

圖4

［例6］如圖5 所示，在直角坐標系xOy中，已知圓O：x2+y2=4，點B，C在圓O上，且關于x軸對稱。

圖5

（1）當點B的橫坐標為的值；

（2）設P為圓O上異于B，C的任意一點，直線PB，PC與時，求x軸分別交于點M，N，證明：|O M|·|ON|為定值。

解析：（1）略；

說明：上述求解體現了解決解析幾何問題的另外一種重要方法，即“設點法”。題目中動態問題的背景是由動點P引起的，故可設出點P的坐標，再將其他相關點的坐標用點P的坐標表示出來，結合題目條件列出相應的關系式，再借助點P在曲線上，利用曲線方程進行消元。這種方法也是處理圓錐曲線問題的重要方法。因此，教師在“圓”的教學過程中要體現這一方法的應用。另外，對本題進行深入探究不難發現該定值即為圓的半徑的平方，感興趣的讀者可自行進行證明。

（三）落實圓的應用

高考命題中既有直接考查圓的題型，又有以圓為解題工具進行間接考查的題型，即通過構造圓的模型來解決問題。因此，在教學中教師要落實圓的應用。

說明：本題條件中并沒有出現圓，但結合向量的模為定值，可構造以向量的模為半徑的圓，從而利用圓的幾何性質簡潔求解。

說明：整體來看，圓的方程不是函數，但從局部來看，單位圓x2+y2=1 在x軸上方的部分可表示為y=，進而轉化為函數，可利用函數的知識方法來研究圓。類似地，y=表示單位圓在x軸下方的部分。

三、教學反思

高中數學教材中各模塊所處的位置并不是獨立的，前后之間都具有一定的關聯，特別是2019 年人民教育出版社出版的新教材，各模塊之間的順序更嚴謹，新教材將圓與橢圓、雙曲線安排在一起，放置在選擇性必修一中。因此在教學中，教師不能孤立地教學某一模塊，應綜合考慮本模塊與前后模塊之間的聯系，為后一模塊的學習奠定基礎，為前面已學模塊創造拓展的空間。