線性代數教學中的課程思政實踐路徑

馬巧云，曹 潔，蘇克勤，曹殿立

(河南農業大學 信息與管理科學學院，鄭州 450046)

課程思政作為當前高校思政工作的新理念、新模式，是各方高度關注的理論和實踐問題。各學科發展歷程中科學家們展現出的堅持不懈、嚴謹治學、獻身事業的科學精神和愛國情懷，為構建思政教育、能力培養和專業需求的課程體系及教學內容奠定了基礎。課程思政要求教師將價值觀引領融入到專業知識傳授和專業能力培養中，在傳授專業課程知識和培養學生解決問題能力的同時，注重提升學生的思想政治素質和人格魅力。

線性代數是為高校低年級學生開設的一門數學類公共基礎課程。該課程具有概念公式多、內容抽象、課時少等特點，授課對象為高校低年級學生，其往往比較重視數學基礎課程的學習，授課教師較多，能夠凝聚集體智慧，有利于開展課程思政。經過近年來對線性代數課程思政的探索和實踐，河南農業大學線性代數課程組依托線性代數在線開放課程教材建設和MOOC平臺建設，建立了融思政元素為一體的線性代數課程知識體系。通過不斷挖掘線性代數課程思政元素，完善教學資源建設，極大提升了教師的思政意識與教學能力。學生也在學習線性代數理論知識的同時，培養了解決相關問題的能力。

1 線性代數教學中的課程思政實踐路徑

1.1 教師以身作則、率先垂范，影響和激勵學生

課程思政必須首先從教師自身的責任和努力做起，要求教師在思想政治、道德品質和學識學風等方面以身作則，率先垂范。針對疫情期間線性代數線上教學，課程組教師積極研討如何科學設計教學環節、激發學生的學習動力和自律意識，嘗試了“直播+任務+答疑”“任務+答疑+直播”“自主學習+直播(答疑)”等不同的在線教學方式，對在線教學課程、教學資源、授課方式、教學工作要求等做出了詳細安排，并積極挖掘教學素材，探索疫情期間線上教學的改革和實踐模式，堅持每周二下午例會反饋，同時交流線上教學情況，包括授課進度、課程思政元素選取、課堂教學設計、重難點處理、作業布置與批改、在線測試題發布與跟蹤等一系列教學設計。在責任驅動下，經課程組教師共同努力，線性代數課程建設取得了驕人成績。例如，線性代數課程組已建設成為省級優秀基層教學組織，線性代數MOOC配套教材已由中國農業出版社出版發行，榮獲疫情期間線上教學優秀課程一等獎、河南省本科教育線上教學優秀課程、河南省線上線下混合式教學優秀課程等。

教師不僅是知識的傳授者，更是學生精神道德的價值引領者。教師的一言一行無不給學生留下深刻印象，有時甚至影響學生一生。17世紀法國數學家費馬提出的費馬大定理，聲稱紙張太小但沒有留下證明過程，讓眾多挑戰者苦苦追尋了300多年[1]。教師自身對課程的熱愛、對學生的公正評價和對科學的尊重都直接影響著學生的學習效果。隨著課程思政的深入，教師積極主動地將課程教學與思政教學相結合，在分析線性代數課程特點時，改變過去總結的“概念多、性質多、定理多、抽象難學”，將線性代數課程特點歸納為“真、善、美”。真，體現在所給結論都有嚴密論證，這也是性質多、定理多的原因；善，體現在門檻低、用途廣，門檻低意味著容易入門，且不需要很深的數學基礎，用途廣說明對學習者幫助大；美，既體現在概念對象的形式簡潔和整齊，如行列式、矩陣等，又體現在運算方法的規律性強和計算方便，如方程組的求解、特征值特征向量的計算等。教師對課程教學付出的深厚情感，通過以理服人和以情動人, 真正實現了價值觀教育和專業知識傳授雙管齊下。

1.2 結合數學故事傳遞人文情懷、培養優秀品格

第一，挖掘古今中外數學家故事，增強學生科學報國信念，培養優秀品格。線性代數的發展歷程揭示了古今中外一代又一代數學家們前仆后繼、勤奮努力、嚴謹治學、獻身事業的科學精神和愛國情懷[2]，在介紹線性代數發展史時，對數學家李善蘭、韋達、笛卡爾、阿貝爾、伽羅華、華羅庚等人的相關資料進行介紹，并對我國數學家作專題討論，如為什么說李善蘭是中國近代科學先驅？為什么說華羅庚是中國現代數學之父？同學們通過積極閱讀并參與討論交流，加深了對數學家的了解和尊重。“代數”在中國最早標識為“阿爾熱巴拉”，源自對拉丁文“Algebra”的漢語音譯。1859年，李善蘭首次將“Algebra”譯成“代數”，取意“以符號代替數字”，他的翻譯因能結合中國傳統科學知識及目標受眾的認知能力而非常流行。例如，他在翻譯《幾何原本》《代數學》《代微積拾級》《談天》《重學》《圓錐曲線說》等西方近代科學著作時創譯的許多科學名詞，如“代數”“常數”“函數”“方程”“微分”“積分”“級數”“有理數”“無理數”等都廣為流行，沿用至今。李善蘭自幼酷愛數學，自學了《九章算術》、徐光啟翻譯的《幾何原本》前六卷、李冶的《測圓海鏡》和戴震的《勾股割圓記》等數學相關著作。鴉片戰爭爆發后，李善蘭萌生科學救國思想，并發出慨嘆：“嗚呼！今歐羅巴各國日益強盛，為中國邊患。推原其故，制器精也，推原制器之精，算學明也。”“異日(中國)人人習算，制器日精，以威海外各國，令震攝，奉朝貢。”從此，他全身心投入科學研究，在尖錐術、垛積術和素數論方面取得卓越成就，并著有《方圓闡幽》《弧矢啟秘》《對數探源》《四元解》《麟德術解》等。其中尖錐術創立于西方解析幾何和微積分還沒傳入中國的1845年，尖錐曲線相當于處理代數問題的幾何模型，其實質是直線、拋物線、立方拋物線等的方程問題，尖錐求積術相當于冪函數的定積分公式和逐項積分法則；結合尖錐求積術，得到了π的無窮級數表達式，各種三角函數和反三角函數的展開式，以及對數函數的展開式。垛積術從我國傳統垛積問題出發，研究高階等差數列的求和問題，提出了馳名中外的組合公式“李善蘭恒等式”。素數論研究自然數是否為素數的判別法，包括屢乘求一法、天元求一法、小數回還法和準根分級法，證明了費馬素數定理，并指出其逆不真[3]。李善蘭恒等式是中國近代史上唯一一個以中國人名字命名的數學公式，代表著十九世紀中國數學界的最大成就。然而李善蘭恒等式是總結歸納出來的，沒有給出證明。20世紀30年代起，李善蘭恒等式不斷引起數學界的廣泛興趣并進行補正。1954年，匈牙利數學家圖蘭·帕爾來華訪問，在報告李善蘭恒等式的證明時，坐在臺下的華羅庚面對中國人發現的定理而證明人卻不是中國人的這一境況觸動很深，當晚回去后就開始挑燈夜戰、冥思苦想，終于趕在圖蘭·帕爾離華前給出李善蘭恒等式的另一證明[4]。李善蘭、華羅庚在數學上做出的杰出貢獻和他們強烈的科學報國意識，都為我們樹立了榜樣。學習數學既要有雄心壯志，又要有持久的熱誠，還要有應用所學知識服務于人民的意識，勤奮和積累是成功的鑰匙。

第二，挖掘課程知識在形成和發展中的中國文化，增強文化自信和民族自豪感。線性方程組理論不僅是線性代數的核心，而且是中華古文明的非凡成就之一。大約于東漢初年(公元1世紀)成書的《九章算術》，匯集了我國公元以前的重大數學成果。公元263年，劉徽作注附于此書，第八卷“方程”列出了從二元到六元線性方程組對應的18個實際問題及其解答。對方程組的表示沒有字母和未知數，而是把系數和常數項都放在固定位置上構成籌算圖，相當于現在的矩陣表示；求解使用籌算的遍乘和直除，對應現在對增廣矩陣施行倍法變換和消法變換。解方程組的目標也是“化上三角形”，而西方直到17世紀才有萊布尼茲對線性方程組的研究。盡管國際上習慣把方程組的求解方法稱為高斯消元法，但從歷史上看，我國在線性方程組求解方面領先于歐洲一千多年，已有學者研究證明高斯消元法本質上就是中國古法[5]。

1.3 結合新聞時訊激發學習興趣及科學報國信念

疫情期間，結合疫情數據的統計報表引入矩陣概念，帶領學生觀看人大附中李永樂老師“新型冠狀病毒是如何使人生病的”視頻[6]，這樣做既為講解矩陣的變換做好鋪墊，又讓學生對新型冠狀病毒有所了解，同時還讓學生了解到一個中學數學老師對科學的執著和奉獻。在講解線性方程組時，引入疫情期間的物資調運、人員調配以及藥物配方模型，積極引導學生關注疫情中的數學，關注國內外科研機構及數學愛好者所做的疫情預測數學模型，體會數學的重要性[7]，并介紹一年一度的全國大學生數學競賽和數學建模競賽，激發學生的數學興趣和科學報國信念。線性代數中很多知識點的教學設計，既體現了所學知識的現實應用，又能引導學生關注科學。例如，矩陣舉例可選取特殊數字來銘記歷史、牢記使命，以數字19310918、19212021、19492049等為元素構建2行4列的矩陣，回顧九一八事變、思考中國共產黨的兩個一百年奮斗目標等，從而讓學生更加熱愛祖國。不斷挖掘思政素材，豐富課程資源，發揮線性代數的課程育人功能。

1.4 結合科技前沿啟發科學探索精神

隨著當代信息技術的發展，線性代數的基礎地位越來越受到重視，線性代數應用也越來越普及。例如，5G通信編碼技術的極化碼本質上就是矩陣乘法[8]；密碼學正是基于矩陣乘法、求逆和線性變換發展而來的；圖像壓縮處理通過先在每個像素點上對應一個灰度數字，再將整張圖片表達為矩陣，然后作特征值或奇異值分解實現；隱形飛機設計、手機電磁輻射評估等電磁相關運算，其核心是麥克斯韋方程，最終都可歸結為大規模線性方程組的求解；Google搜索排序，Netflix視頻推薦，機器人中的運動學正解等都離不開線性代數[9]。

線性代數中的矩陣幾乎可用于表示所有對象，學生在以后的學習中會遇到許多形式優美的矩陣，如對角陣、上(下)三角陣、對稱矩陣、稀疏矩陣等，在感受這些優美矩陣的同時，還要學好矩陣的基礎理論，進而增進和培養用矩陣思維解決科學問題的意識和能力。矩陣的分塊是處理階數較高矩陣時的常用技巧，一方面可以使矩陣的結構顯得簡單而清晰，另一方面可將高階矩陣的運算轉化為低階矩陣的運算。當今，復雜社會的網格化管理就可視為矩陣分塊的具體運用，如疫情期間實施網格化排查和網格化管理有效遏制了新冠疫情的大范圍傳播。學生在生活實踐中，遇到任何復雜的、困難的事情時，也可以運用網格化思維解決各種難題。

2 結語

在線性代數教學中，通過有意識地加強課程思政探索與實踐，強化了教師的教書育人作用，提升了學生的數學學習興趣和報效祖國的責任意識。