求多項式的最大公因式方法教學中的新看法

馮紅亮，張帆

（1.重慶師范大學數學科學學院，重慶 401331；2.武漢市吳家山第三中學，湖北武漢 430040）

在《高等代數》理論知識學習中，在求解多項式的最大公因式時，通常采用輾轉相除法。[1]。

本文介紹的系數形式向量法，其基本思想來源于輾轉相除法。但是相較于輾轉相除法，在操作實現的形式上做了改變。我們將多項式按照降冪排列，提取各項系數并寫成行向量的形式，缺的項記為0。將行向量組成矩陣，對矩陣作行變換直至僅剩一非零行。由于所做的行變換是在多項式意義下進行的，因此總可以不斷通過此類行變換，將行列式變換至僅剩一非零行。實現形式的改變，帶來了較大的便捷性。在求解多個多項式的最大公因式時可同時進行。在進行最大公因式線性表成時更為簡便快捷。在下文中，若無特殊交代，多項式均為非零多項式。

定義1 設 f（x），g（x）∈P [x]，其中P為多項式系數數域。若d（x）∈P [x]滿足：

（1）d（x）| f（x），d（x）| g（x）；

（2）若h（x）∈P [x] 且h（x）| f（x），h（x）|g（x），則h（x）| d（x）；

則稱d（x）為 f（x）與g（x）的最大公因式。特別地，當 f（x）與g（x）的最大公因式的首項系數為1時，記為（ f（x）g（x））。

注：（1）若 f（x）與g（x）均為零多項式，則其最大公因式為0。

（2）任何首項系數為1的非零多項式與零多項式的最大公因式即為此非零多項式。即首一多項式 f（x）≠0，則（ f（x），0）= f（x）。

命題2 對多項式f（x），g（x）∈P [x]，若存在q（x），r（x）∈P [x]使得f（x）=q（x）·g（x）+r（x），

則 f（x），g（x）和 g（x），r（x）有相同的最大公因式，即（f（x），g（x））=（g（x），r（x））。

證 設（f（x），g（x））=d（x），則 d（x） | f（x），d（x）| g（x）。由r（x）=f（x）-q（x）g（x），可知d（x）| r（x）。從而可得d（x）|（g（x），r（x））。

假設h（x）|g（x），h（x）|r（x）。因為f（x）=q（x）·g（x）+r（x），所以h（x）| f（x）。因此可得 h（x）| d（x）。綜上所述，即有（g（x），r（x））=d（x）

命題證畢。

由命題2可知

（f（x），g（x））=（f（x）-q（x）g（x），g（x））。

上式表明，在求解兩個多項式得最大公因式時，進行如下操作不改變所求的最大公因式。第一步，對其中一個多項式加上或減去另一個多項式的倍式后；第二步，再求解兩者間的最大公因式。該命題是輾轉相除法求解多項式的最大公因式的理論基礎，同時也為本文所介紹的系數形式向量法提供理論依據。

定理3[2]對于P[x]中任意兩個多項式 f（x），g（x），存 在 d（x）∈P[x]使 得 d（x）為 f（x）與 g（x）的最大公因式，且d（x）可以表成 f（x），g（x）的一個組合，即有P[x]中多項式u（x），v（x）使得

d（x）=u（x）f（x）+v（x）g（x）

注：若多項式f（x），g（x）不全為零，則（u（x），v（x））=1。

下面，將以求解三個多項式的最大公因式及其表成為例，介紹系數形式向量法的操作過程。

例1 已知f1（x）=3x2-x2+x+2，f2（x）=3x4-4x3-x2-x-2， f3（x）=3x5+5x4-16x3-6x2-5x-6。 試求（f1（x），f2（x），f3（x）），并求u1（x），u2（x）和u3（x）使得

u1（x）f1（x）+u2（x）f2（x）+u3f3（x）=（f1（x），f2（x），f3（x））。

解 第一步：將多項式按照降冪排列，提取各項系數，寫成行向量的形式，其中缺項的系數為0。然后將得到的多項式的系數行向量依次上下擺放成矩陣形式。

對于上述多項式f1（x）， f2（x）， f3（x），其系數矩陣如下：

第二步：對由系數行向量組成的矩陣進行“初等行變換”，直至僅剩一行非零。需要特別指出的是這里的“初等行變換”是進行多項式倍式的行變換。

多項式倍式的行變換，具體操作如下（記矩陣的第j行為lj）：

以例1中系數行向量矩陣的初等行變換為例，將系數行向量矩陣第一行l1的-x倍加到第二行l2。此時，-xl1的系數行向量為

（0 -3 1 -1 2 0）

因此加到第二行后，-xl1+l2的系數行向量為

（0 0 -3 -2 -3 -2）

將系數矩陣第一行l1的-x2倍加到第三行l3。此時，-x2l1的系數行向量為

（-3 1 -1 -2 0 0）

因此加到第三行后，-x2l1+l3的系數行向量為

（0 6 -17 -8 -5 -6）

注意到，我們對多項式的系數行向量矩陣做“初等行變換”的本質是將一個多項式的倍式與另一個多項式進行求和運算[3]。因此，由命題2可得

第三步：求解最大多項式的線性表成。將系數矩陣行變換進行歸結。具體歸結過程如下：

( f1，f2，f3）=( f1，-xf1+f2，-x2f1+f3）

=（f1，（-x+1）f1+f2，（-x2-2x） f1+f3）

=（f1，（-x+1）f1+f2，（-x2-2x+5） f1+f3）

=（-x2+x+1） f1+f2，（-x+1）f1+f2，（-x2+3x）f1-5f2+f3

=（（-x2+2x） f1+（x-1）f2，g（x），（（x2-x）f1-（2x+3）f2+f3）

其中g（x）=（-x3+2x2-x+1）f1+（x2-x+1）f2。從而可得

需要指出的是在進行歸結過程中，一定要明確系數行向量矩陣與多項式的對應關系[4]。在未進行行變換前，系數行向量矩陣與（f1（x），f2（x），f3（x））對應.進行第一次行變換操作后得到的系數行向量矩陣是與

（f1（x），-x f1（x）+f2（x），-x2f1（x）+f3（x））

對應。因此經過一次行變換操作后，矩陣第一行對應的是f1(x)的系數行向量，第二行對應的是-x f1(x)+ f2(x)的系數行向量，第三行對應的是-x2f1（x）+f3（x）的系數行向量。因此，在進行第二次行變換操作后得到的矩陣是與

（f1(x)，f1(x)+（-x f1（x）+f2（x），-2x f1（x））+（-x2f1（x）+f3（x）））相對應。

由第二步矩陣行變換的結果，可得

（-x2+2x）f1+（x-1）f2=3x+2=3( f1，f2，f3）。

更多地有g(x)=0且(x2-x)f1(x)-(2x+3) f2(x)+ f3(x)=0，從而取

即可滿足要求。

注：當對系數行向量矩陣進行行變換時，若最終的非零行形式為(0，0，…，0，c)，其中c為非零常數，則表示該組多項式的最大公因式為1，即多項式互素[5]。

若采用輾轉相除法求解例1，需要進行兩次輾轉相除操作。即先求最大公因式d1(x)=(f1（x），f2（x）)，然后求d(x)=(d1(x)，f3(x))。在求最大公因式的線性表成時，同樣需要進行兩次回代計算。體而言，計算過程相對繁瑣且量大。

例2 判斷多項式 f（x），g（x），h（x），k（x）是否互素，其中f（x）=x4+x3-3x2-4x-1，g（x）=x3+x2-x-1，h（x）=x2-x-1，k（x）=x3-x2+x-2。

解 第一步：將各多項式按照降冪排列，提取多項式的各項系數，寫成行向量的形式并組成矩陣[6]（組成矩陣時，系數行向量的擺放次序不影響結果）：

第二步：對多項式系數行向量組成的矩陣作行變換，至僅剩一非零行。