以九連環(huán)游戲助推學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展

◇羅 梅（重慶：重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

隨著課程改革的深入發(fā)展，數(shù)學(xué)教育越來(lái)越重視小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而如何落實(shí)小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，也成了當(dāng)前教師面臨的新挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸形成和發(fā)展的，而以九連環(huán)為載體的數(shù)學(xué)游戲活動(dòng)，一方面可以滿足小學(xué)生的好奇心從而激發(fā)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，另一方面可以將數(shù)學(xué)的抽象知識(shí)具體化，學(xué)生在破解時(shí)感受和領(lǐng)悟九連環(huán)本身的數(shù)學(xué)原理，從而潛移默化地培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，九連環(huán)活動(dòng)是培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。為了落實(shí)小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，本文將深入研究九連環(huán)活動(dòng)如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并提出利用九連環(huán)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的策略。

一、九連環(huán)簡(jiǎn)介

九連環(huán)在我國(guó)的歷史悠久，文獻(xiàn)記載可以追溯到戰(zhàn)國(guó)時(shí)期。《戰(zhàn)國(guó)策·齊策·齊閔王之遇殺》中記載道：“襄王卒，子建立為齊王。君王后事秦謹(jǐn)，與諸侯信。秦始皇嘗使使者遺君王后玉連環(huán)，曰：‘齊多知，而解此環(huán)不？’君王后以示群臣，群臣不知解。君王后椎椎破之，謝秦使，曰：‘謹(jǐn)以解矣！’”從這篇史料中可以看出，我國(guó)在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就有了連環(huán)玩具，到目前為止，九連環(huán)已經(jīng)在我國(guó)流傳了兩千多年。

（一）九連環(huán)的構(gòu)造

九連環(huán)主要由九個(gè)圓環(huán)通過(guò)豎桿依次相連而成，實(shí)物如圖1所示。九連環(huán)具體構(gòu)造部件有：一根長(zhǎng)釵、9個(gè)圓環(huán)、9根豎桿、9個(gè)圓球和一個(gè)底板。

長(zhǎng)釵分為握柄和釵身，釵身中間是空的，釵身上套著九個(gè)圓環(huán)，每個(gè)小圓環(huán)上面都有一個(gè)豎桿，每個(gè)豎桿都落在與它相鄰的圓環(huán)里面，將相鄰兩個(gè)圓環(huán)連接起來(lái)；九根豎桿向下穿過(guò)一個(gè)底板，穿過(guò)底板后豎桿的底部有一個(gè)小圓球?qū)⒌装逄鬃。绱说装蹇梢栽谪Q桿上滑動(dòng)，但是不會(huì)脫離豎桿。左手持柄，釵頭在右，九個(gè)圓環(huán)從右到左地排序：1環(huán)、2環(huán)、……9環(huán)。圓球、底板、圓環(huán)、豎桿和長(zhǎng)釵之間的位置關(guān)系如圖2所示。

（二）九連環(huán)的破解

當(dāng)九連環(huán)的九個(gè)圓環(huán)都在長(zhǎng)釵上時(shí)稱為滿貫；以滿貫位置為初始位置，從1環(huán)開(kāi)始，按順序?qū)A環(huán)從長(zhǎng)釵中卸下，當(dāng)九個(gè)圓環(huán)全部與長(zhǎng)釵分離時(shí)，稱為解脫。解九連環(huán)，就是要將釵與圓環(huán)全部分離開(kāi)來(lái)即算成功。

九連環(huán)中的每個(gè)圓環(huán)相互制約，只有第1個(gè)圓環(huán)可以任意上下。要想下（上）第n個(gè)圓環(huán)，就必須滿足兩個(gè)條件：首先，第n-1個(gè)圓環(huán)需在釵上；其次，第n-1個(gè)圓環(huán)前面的圓環(huán)都不在釵上。要破解九連環(huán)就需要滿足上面的兩個(gè)條件才能把9個(gè)圓環(huán)逐一卸下。如果想將九連環(huán)裝上去，做解下九連環(huán)的逆運(yùn)算即可。

九連環(huán)的破解需不停重復(fù)遞推。在19世紀(jì)，格羅斯通過(guò)演算，證明了解開(kāi)九連環(huán)一共需要三百四十一步，迄今為止尚無(wú)其他更便捷的方案。因此在破解九連環(huán)的過(guò)程當(dāng)中也考驗(yàn)了學(xué)生的耐心與專注力。

二、九連環(huán)游戲在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的作用

2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）對(duì)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行了詳細(xì)說(shuō)明。將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)聚焦在了“三會(huì)”：會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，并闡述了“三會(huì)”在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)，如下表所示。筆者將以此為基礎(chǔ)分析九連環(huán)活動(dòng)對(duì)發(fā)展小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用。

“三會(huì)”在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)

九連環(huán)游戲是培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。從九連環(huán)的構(gòu)造入手可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，從九連環(huán)的破解中可以培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)、模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，以此實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)“三會(huì)”的目的（如圖3）。以下將具體分析九連環(huán)活動(dòng)對(duì)學(xué)生空間觀念、推理意識(shí)、模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。

（一）有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間意識(shí)

《課標(biāo)》指出，空間觀念主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)。在進(jìn)行九連環(huán)游戲時(shí)，首先，從九連環(huán)本身的構(gòu)造中能夠抽象出圓、球等基本幾何圖形；其次，九連環(huán)各個(gè)部件之間的位置關(guān)系能夠幫助學(xué)生想象并表達(dá)物體相互之間的位置關(guān)系，比如以底板為參照物，長(zhǎng)釵和圓環(huán)是在底板上面，圓球是在底板下面，這樣學(xué)生在觀察和描述九連環(huán)部件之間的位置關(guān)系時(shí)就會(huì)表達(dá)物體的相對(duì)位置，從而培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念；最后，在操作九連環(huán)上環(huán)和下環(huán)時(shí)能夠幫助學(xué)生感知并描述圖形的運(yùn)動(dòng)。因此，九連環(huán)游戲有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，為學(xué)生形成空間想象力積累經(jīng)驗(yàn)。

（二）有利于培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)

《課標(biāo)》指出，推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感悟。九連環(huán)的破解原理其實(shí)就是數(shù)學(xué)中的遞歸原理，要想下（上）第n個(gè)圓環(huán)，就必須滿足兩個(gè)條件：首先，第n-1個(gè)圓環(huán)需在釵上；其次，第n-1個(gè)圓環(huán)前面的圓環(huán)都不在釵上。九連環(huán)一環(huán)扣一環(huán)，若沒(méi)有滿足上述條件是無(wú)法解開(kāi)九連環(huán)的。

在九連環(huán)游戲過(guò)程中，一方面從破解原理出發(fā)會(huì)發(fā)現(xiàn)：真正解下的第一個(gè)環(huán)實(shí)際上是第9環(huán)，依次類推，接下來(lái)解下的環(huán)是第8環(huán)……第1環(huán)。發(fā)現(xiàn)這一事實(shí)后學(xué)生就可以依據(jù)破解原理依次破解九個(gè)圓環(huán)。在這一過(guò)程中學(xué)生從已知結(jié)論出發(fā)可以得出新的結(jié)論，能夠經(jīng)歷從一般到特殊的論證過(guò)程，有助于學(xué)生感悟邏輯推理的過(guò)程。

另一方面從破解前三環(huán)出發(fā)會(huì)發(fā)現(xiàn)：要解開(kāi)第2環(huán)需要第1環(huán)在釵上，要解開(kāi)第3環(huán)需要第2環(huán)在釵上而第1環(huán)不在釵上，因此破解前三環(huán)只需4步。類比前三環(huán)的破解方法，進(jìn)一步交流討論，猜想或發(fā)現(xiàn)要解開(kāi)第4環(huán)就需要第3環(huán)在釵上，第2環(huán)和第1環(huán)不在釵上。以此類推，得出第5環(huán)……第9環(huán)的破解方法，最終歸納總結(jié)出九連環(huán)的破解原理。因此，破解九連環(huán)的過(guò)程有助于學(xué)生形成有條理的思維習(xí)慣，增強(qiáng)交流能力，形成推理意識(shí)。

（三）有利于培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)

《課標(biāo)》指出，模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。九連環(huán)具有內(nèi)生建模能力，它既包含動(dòng)手操作的問(wèn)題情境，又蘊(yùn)含解決問(wèn)題的相關(guān)規(guī)律，兼具活動(dòng)性與思想性。九連環(huán)的破解思路及步驟蘊(yùn)含著一定的規(guī)律，整個(gè)破解的過(guò)程類似于數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。首先，從九連環(huán)活動(dòng)這一實(shí)際情境中可以將破解九連環(huán)的游戲問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將九連環(huán)自身各個(gè)部件的關(guān)系與結(jié)構(gòu)用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示，比如對(duì)圓環(huán)進(jìn)行編號(hào)，對(duì)圓環(huán)所在釵上的狀態(tài)進(jìn)行編碼等。其次，在分析如何解開(kāi)九連環(huán)時(shí)，可以由淺入深，從三連環(huán)的模型入手，找出規(guī)律，進(jìn)一步借助四連環(huán)、五連環(huán)等驗(yàn)證規(guī)律，若有不同及時(shí)改進(jìn)，從而得到九連環(huán)的破解原理，最終解開(kāi)九連環(huán)，學(xué)生的模型意識(shí)也在破解九連環(huán)的過(guò)程中潛移默化地得到了培養(yǎng)。

（四）有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)

《課標(biāo)》指出，應(yīng)用意識(shí)是指有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題。在破解九連環(huán)時(shí)，將其抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的方法解決的這一過(guò)程，能夠幫助學(xué)生意識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)息息相關(guān)，同時(shí)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

三、以九連環(huán)游戲助推學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展

九連環(huán)游戲能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在進(jìn)行九連環(huán)游戲時(shí)，要明確以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的活動(dòng)目標(biāo)，精煉活動(dòng)內(nèi)容，發(fā)展核心素養(yǎng)，還要注重活動(dòng)反思，強(qiáng)化核心素養(yǎng)。

（一）明確游戲目標(biāo)，指向核心素養(yǎng)

九連環(huán)游戲的主體是學(xué)生，但主導(dǎo)者是教師。因此，教師需在活動(dòng)開(kāi)始前明確活動(dòng)目標(biāo)，充分考慮核心素養(yǎng)目標(biāo)在九連環(huán)活動(dòng)中的實(shí)現(xiàn)，即：引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中用數(shù)學(xué)的眼光觀察九連環(huán)，用數(shù)學(xué)的思維破解九連環(huán)，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)九連環(huán)的破解原理，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐精神。同時(shí)，注重九連環(huán)活動(dòng)內(nèi)容與核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)，在制定活動(dòng)目標(biāo)時(shí)將核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)體現(xiàn)在活動(dòng)目標(biāo)中。比如，在認(rèn)識(shí)九連環(huán)過(guò)程中關(guān)注空間觀念的形成，在破解九連環(huán)過(guò)程中關(guān)注推理意識(shí)、模型意識(shí)等的形成。

（二）精煉游戲內(nèi)容，發(fā)展核心素養(yǎng)

教師在明確九連環(huán)活動(dòng)目標(biāo)后，為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的活動(dòng)目標(biāo)，要把握活動(dòng)內(nèi)容與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)。本文前文分析了九連環(huán)的構(gòu)造可以促進(jìn)空間觀念的培養(yǎng)，九連環(huán)的破解可以促進(jìn)推理意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，因此在設(shè)計(jì)活動(dòng)內(nèi)容時(shí)可以從九連環(huán)構(gòu)造和破解兩個(gè)方面入手。

一方面可以從九連環(huán)的構(gòu)造入手，設(shè)計(jì)相關(guān)活動(dòng)。教師可以在開(kāi)展九連環(huán)活動(dòng)之前給學(xué)生布置任務(wù)，讓學(xué)生課下去查找、收集九連環(huán)的相關(guān)信息。在開(kāi)展九連環(huán)活動(dòng)時(shí)，可以讓學(xué)生介紹九連環(huán)的各個(gè)部件、構(gòu)造特點(diǎn)、破解方法，這樣既可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，也能培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

另一方面可以從九連環(huán)的破解入手，設(shè)計(jì)相關(guān)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)、模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。首先將九連環(huán)的破解說(shuō)明書(shū)讓學(xué)生分小組學(xué)習(xí)，然后利用破解說(shuō)明書(shū)破解九連環(huán)，最后請(qǐng)小組匯報(bào)交流，分享經(jīng)驗(yàn)。若學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平較高，可以組織活動(dòng)讓學(xué)生探究九連環(huán)的破解原理，從破解三連環(huán)開(kāi)始，總結(jié)規(guī)律，然后破解四連環(huán)、五連環(huán)……在破解過(guò)程當(dāng)中歸納總結(jié)、提煉模型。

（三）注重游戲反思，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

活動(dòng)反思是學(xué)生對(duì)自己思考過(guò)程和結(jié)果再認(rèn)識(shí)的過(guò)程，在反思過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可以得到提升，從而強(qiáng)化核心素養(yǎng)。比如，在學(xué)生破解完九連環(huán)后，可以引導(dǎo)其思考：在活動(dòng)中我們是如何探索出九連環(huán)的破解原理的？回顧反思具體的操作方法，從而積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)。或者可以請(qǐng)沒(méi)有解開(kāi)九連環(huán)的小組分享失敗的原因，引導(dǎo)學(xué)生自我反思，提高其數(shù)學(xué)思考能力。在九連環(huán)活動(dòng)中既要重視過(guò)程，讓學(xué)生在經(jīng)歷中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也要及時(shí)回顧與反思，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，更有效地落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。