在《倍的認識》的教學中促使學生理解所學知識

◇尚仁寶（江蘇：儀征市育才中心小學北區校）

為了學生的理解而教，是教師的教育追求。“理解”是數學課程標準中描述結果目標的一個行為動詞，它是一種有意義的推斷，具有可遷移性。杜威在《我們如何思考》一書中指出：“我們在教育中怎樣強調概念理解的重要性都不過分。”學力課堂的創設指向學生高階思維的培養，學生高階思維的形成從會理解開始，到能夠在體驗中對知識進行建構。如何實現學生的理解、為理解而教？在閱讀了《追求理解的教學設計》一書后，我就《倍的認識》一課的教學進行了思考與嘗試。

《倍的認識》一課是蘇教版小學數學三年級上冊第一單元“兩、三位數乘一位數”中的內容。教材編排了兩道例題教學有關“倍”的含義以及倍數關系的問題，一道例題教學“倍”的概念，主要解決求一個數是另一個數幾倍的問題，另一道例題主要解決求一個數的幾倍是多少的問題。《倍的認識》一課主要教學第一道例題。倍數關系是數學里的一個基本數量關系，“倍”是學生學習相對數量比較的一個重要而又抽象的概念。“倍”在比較中產生，需要先確定一個標準量，再看另一個比較量里有多少個這樣的標準量，就是標準量的幾倍。“倍”的概念的建立，對學生以后學習分數、百分數、比等知識都起著重要作用。怎樣讓學生真正建立并理解“倍”的概念呢？

一、把握學情，為學生的“理解”奠定基礎

美國教育心理學家奧蘇伯爾曾經說過，影響教育心理學的因素紛繁復雜，如果要歸結為一條原理和方法論，那么，我認為：影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么（對學生已有經驗的前測），要探明這一點，并應據此進行教學。只有了解學生“已經知道了什么”“可能存在哪些誤解”，以此為基礎，有針對性地設計教學活動，才能有的放矢，為學生的理解奠定基礎。

在教學《倍的認識》之前，我對所在地區的城鄉兩所學校的85名二年級學生（城區學校51名，農村小學34名）進行了訪談調查。發現約有54.1%的學生在生活中聽說過“倍”，有21.2%的學生對“倍”有初步的了解，能看圖說出誰是誰的幾倍，還有8.2%的學生知道用除法計算誰是誰的幾倍，但對為什么這樣算不清楚。此外，還有學生將“誰是誰的幾倍”與“誰比誰多幾倍”混淆，認為兩者是同樣的意思。可見，學生只是表面了解，對“倍”的概念的本質并不清楚，讓學生在經歷“倍”的概念的形成過程中，理解“倍”的含義是教學的重點。

由此看來，學生“知道”了，并不等于“理解”了。“知道”可以是被告知的，但“理解”一定是需要學習者對相關內容進行自主建構的。學生并非一張白紙，他們總是帶著已有的知識、先前的經驗以及潛在的誤解來學習的，誤解也并非無知。明確了學生的認知起點，清楚他們“從哪里來”，就能更好地設計任務，清晰地指出該“往哪里去”，使理解的獲得成為可能。

二、設計活動，為學生的“理解”提供支撐

深度教學是以學生的學習為中心，以學生的學習效益為追求，以學生的高階思維為核心，學生圍繞具有挑戰性的學習主題與任務，積極參與、深刻體驗,獲得發展的有意義的教與學的過程。學生無法從教師的告知中獲得理解，理解的獲得需要通過精心設計的學習體驗來揭示內容的含義，教師最主要的作用就是為了學生能獲得理解而設計正確的體驗。《倍的認識》一課在把握學情的基礎上，為了讓學生理解“倍”的概念的本質，我設計了以下活動體驗。

（一）從“差比”到“倍比”，提出問題

比較物體數量的多少，學生已經積累了一定的經驗。教學倍的認識，可以充分利用學生已有的認知經驗，在比較物體數量多少的基礎上提出問題，引出倍，實現從“差比”到“倍比”的過渡。

教師創設小豬佩奇的情境直接出示花朵圖，提問：佩奇在奶奶的花園里看到了一些花，從圖中你知道了什么？學生說出三種花的數量后，要求學生比一比這三種花的朵數。在學生比出多少后，引導學生觀察“一一對應”排列后的2朵藍花和6朵黃花，提問：除了比多少，你還能看出什么？比多少后的追問，“逼著”學生說出已有的對“倍”的認識，依據學生的認知經驗，從“差比”過渡到“倍比”。

（二）多元表征，遷移類推

引出倍之后，教師提問：究竟黃花的朵數是藍花的幾倍？你能不能想辦法在圖上表示出來？交流展示學生的方法，有圈一圈的，有分一分的。引導學生發現其中的共同之處：你們怎么想到要2個一圈或2個2個分的？在比一比、說一說中知道把2朵藍花看作一份，黃花是3個2朵，有這樣的3份，黃花的朵數是藍花的3倍。接著追問：你是怎么知道黃花的朵數是藍花的3倍的？引導學生回顧剛才的操作過程，明確把誰看作標準量，怎樣知道比較量里有幾個標準量。

隨后讓學生結合剛才的經驗，自主探究紅花與藍花的倍數關系。在此基礎上，將具體的實物圖隱去，留下集合圈，引導學生認識到“不管藍花有幾朵，只要紅花有幾個藍花的朵數，就是藍花的幾倍”。然后出示2朵藍花和8朵紅花，讓學生用自己的方法找出紅花與藍花的倍數關系，引發學生用算式表征“倍”的需要，并結合圖理解“求一個數是另一個數的幾倍”就是看“一個數”里面有幾個“另一個數”的道理。

上述過程是學生認識倍的核心環節。在教學中，教師通過讓學生在具體的實物圖上畫一畫、圈一圈、分一分進行畫圖表征，結合圖進行語言表征，并進一步用除法算式來表征，通過多元表征，引導學生在遷移類推中，借助“集合圈”，建立“倍”的概念的模型，理解“倍”的內涵。

（三）進行對比，把握本質

比較有利于突顯概念的本質，有助于學生把握概念的內涵。在學生認識了“倍”之后，為了幫助學生把握本質，我設計了三種比較。

1.異中求同

在學生認識了黃花是藍花的3倍，并自主探究了紅花和藍花的倍數關系后，引導學生觀察兩幅圖（圖1、圖2），回顧兩次比較有什么相同的地方。

通過觀察對比，學生發現兩次比較的標準量是一樣的，都是和2朵藍花比，把這2朵藍花看成一份，只要把黃花和紅花分別2朵2朵地圈，有幾個2朵，就是藍花的幾倍。

2．同中取異

教師接著引導：增加1朵藍花，這時候黃花是藍花的幾倍？在學生明確此時黃花的朵數是藍花的2倍的基礎上，繼續比較。（出示圖3、圖4）

教師追問：都是6朵黃花，都是和藍花比，怎么一個是3倍，一個是2倍？學生在比較和交流中明確兩次比較的標準不同了，圖3是把2朵藍花看作一份，圖4則是3朵藍花為一份。

在接下來的列式計算中，教師將這種比較深化下去，對比兩道算式：6÷2＝3和6÷3＝2，為什么一道除以2，一道除以3？使學生進一步理解倍數關系中首先要確定標準量，把標準量看作一份，比較量有幾份，就是標準量的幾倍，感受標準量的重要，掌握找倍數關系的方法。

3.對比“差”與“倍”

教材呈現“倍的認識”這部分內容時，就讓學生聯系相差關系，比一比這三種花的朵數，再由“差比”引出“倍比”。因此，課的開始就為比較“差”與“倍”埋下了伏筆。在課堂教學即將結束時，我有意識地將比差和比倍撂在了學生面前：

求白菜的棵數是蘿卜的幾倍？學生列出10÷2＝5的算式后，追問是怎么想的？明確是想10里面有幾個2,接著出示算式10－2＝8（棵），讓學生說一說這道算式算的是什么？比較差比和倍比：都是和蘿卜比，為什么一道用減法，一道用除法？引導學生明白：比差和比倍雖然比的方法和角度不同，但都是兩個數量進行比較。讓學生體會比差和比倍的相同點，幫助學生形成兩個數量比較的認知結構；讓學生比較兩種數量關系之間的不同點。只有這樣，才能準確把握概念的本質。

三種比較，首先在標準量相同的情況下，引導學生感悟幾份就是幾倍，初步建立“倍”的概念；接著，在不變中找變，體會標準量的重要，掌握找倍數關系的方法，理解“倍”的概念的內涵；最后尋求比差和比倍的相同與不同，在比較中明確概念，把握“倍”的本質，建構對“倍”的理解。

三、多元評估，為學生的“理解”尋求證據

什么樣的證據能說明學生已經完全“理解”？評估證據類型很多，包括表現性任務、課堂上的提問、檢測、教師隨堂觀察、學生的自我評估等等。有相當多的提問和檢測是直接指向基礎知識和基本技能的。而作為獲得“理解”的證據需要學生能夠準確地、靈活地、創造性地運用所學的知識，即表現性任務，它總是包含遷移、能夠表明學生是如何結合實際情況運用知識的。

在《倍的認識》一課中，為了判斷學生是否對“倍”的含義的理解，我設計了兩個表現性任務：1.畫一畫，填一填，表示出自己想研究的倍數關系。要求學生在第一行畫○，第二行畫△，畫好后填一填（）是（）的（）倍，并用算式表示出倍數關系。在學生獨立完成階段，需要學生綜合運用畫圖、語言表述、除法算式多種表征方式展示自己對“倍”的含義的理解。每個學生的理解都具有鮮明的個性，展示交流階段要充分挖掘各種資源，激疑促思。從“把○的個數作標準量”“把△的個數作標準量”“標準量個數是1”“倍數關系是1倍”四個角度進行展示交流，通過學生自己介紹、擋住一部分猜一猜、自主提問等多種方式引導學生在豐富的變式中把握“倍”的本質，理解“倍”的含義。2.“該種什么呢？”這個表現性任務給了學生一個具體的同時具有一定開放性的情境：菜地上有12個空，已經種了8棵白菜和1棵蘿卜，剩下的3個空怎么種，能讓白菜的棵數是蘿卜的幾倍。這里需要學生靈活運用有關“倍”的知識解決實際問題，考查學生是否“理解”。而交流時對“差比”和“倍比”的比較，更是深化了學生的理解。

我們如何使更多的學生真正理解他們所學的知識？教師需要把握學生的認知起點，了解學生的已有經驗，洞悉學生的潛在誤解，精心設計活動體驗，讓學生在體驗中自主建構對知識的理解，并通過各種表現性任務展示自己的理解。學力課堂的“學力”獲得，即學習能力的獲得，是一個人在接受知識、理解知識和運用知識方面能力的獲得，是我們通過活動情境的創設，學習者內外主客體共同作用下所生成的知識、技能、能力和情感的統一體——這就是從理解到建構。