一道教材習題引發的教學思考*

唐 毅 劉曉麗

(江蘇省鎮江第一中學 212016)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》要求“提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界．”“提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式．”[1]“讀-研-寫”能夠很好地讓學生在用數學眼光觀察世界的基礎上，用數學思維思考并用數學語言表達，可以有效地豐富學生的學習活動，讓深度學習發生，進而發展學生的核心素養．

解三角形是高考中的基本考點之一，難度適中，常與三角恒等變換、平面幾何、向量、基本不等式等相關知識交匯與綜合，能較好地考查學生的數學運算素養、建模求解能力和化歸與轉化思想．而破解三角形問題的關鍵是尋找切入點，借助已有知識、經驗，激活思維，落實四基，培育素養．特別是高三備考階段，對于難度系數不大的模塊，如何改變“枯燥無味”的課堂環境？如何營造積極的課堂氛圍？本文以一道教材習題的教學為例進行闡釋．

1 習題呈現

此題三角形外形簡潔，內涵豐富，思考空間大．

2 背景

高三備考中“回歸教材”必不可少．上題出現在單元檢測中，從學生的解答情況來看，大部分學生選擇使用正、余弦定理的常規解法；從得分率來看，本班得分率只有89.93%，對于基礎較好的班級來說，這樣的基礎題得分并不理想．究其原因是部分學生的方法過于單一，缺少對問題的追根溯源和對基本解題活動經驗的積累．但此時如果教師繼續講解原題，大部分學生并不感興趣，對于此題筆者的處理是“不詳解”，但課堂上作變式訓練，對解題視角進行多維度的探究與思考，以激發全體學生學習的積極性，營造良好的課堂氛圍．從課堂效果來看，超出了筆者的預期，課堂上學生積極思考，認真傾聽，追根溯源，詳細記錄．

3 變式探究

本題考查解三角形問題，題目平和簡潔，蘊含的數學知識、方法、技能豐富，是一道值得深入探究的題目，與上述教材習題相似度較高．課堂實踐具體如下：

視角1——正、余弦定理

評析由于所給的已知條件是一些邊角關系，大部分學生首選常規思路——正弦和余弦定理．解法1巧用中點，借助余弦定理實現轉化與化歸，求得AD的長．解法2巧用“互補角”，“互補角”在教材11.1節的例6證明角平分線定理時使用過．再結合正、余弦定理，解方程求得AD．但AD的兩解需要綜合三角形邊角關系“大邊對大角，小邊對小角”的原理進行取舍，是學生的難點和易錯點．利用正、余弦定理建立邊角關系，有利于培育學生的邏輯推理和數學運算素養．

視角2——坐標化

視角3——等面積

評析由于中點的出現，兩個小三角形面積相等，利用斜三角形面積公式得AB=2，再結合大三角形面積，算兩次，可以求得AD的長．這里有助于學生數學運算核心素養的發展．

視角4——平面向量

評析向量集“數”與“形”于一身，是溝通幾何、三角、代數的天然橋梁．蘇教版教材中余弦定理的獲得也是基于平面向量的背景，這里可以將三角形中的邊角關系還原到向量背景中探究，簡化運算．將三角形問題轉化為平面向量，能培育學生的數形結合思想，促進直觀想象數學素養的發展．

視角5——平面幾何

評析處理平面幾何問題時經常要引入輔助線，這對學生邏輯推理和直觀想象素養要求較高．倍長中線以及構造直角三角形，都是學生初中研究的重點內容．解法7倍長中線再結合正弦定理一步到位求得AD長．解法8通過平面幾何知識構造直角三角形，借助三角形全等求得AD長；也可以分別過B和D作AC的垂線(或者分別過C和D作AB的垂線)，“斜化直”構造直角三角形．關注幾何圖形，可以避開復雜運算，有助于培育學生的邏輯推理、直觀想象素養．

一節課愉快且充實地度過，學生再次詳細地經歷了解三角形問題的常見突破視角(圖8)的思考過程．下課時部分學生觸類而通，興奮地告訴筆者，對于教材的第14題他還有很多解法，如利用互補角、坐標化、平面幾何等等，課堂效率明顯提高．

4 幾點思考

教學實踐中，筆者經歷了“青澀—成熟—骨干”的成長過程，也遇見過“迷茫”，迷茫于面對高考的重壓，學生總想著“節約”時間多做題，“節約”甚至到了課堂，主要體現在：老師講評作業(或練習)，學生不想“浪費”時間聽，特別是自己做對的題目．面對這樣一種“課堂現象”，筆者反復思考，如何改變學生“不聽講”的狀態？如何讓學生主動思考？通過數學課堂學生到底獲得了什么？如何讓學生自然生成解法？[2]

(1)多傾聽，再激活

解題不僅僅要“解答正確”，還要追求思路清晰、推理嚴謹、表達流暢、過程簡捷．適當優化課堂教學活動，從不同角度審視題目，多視角、多層面地思考與探究，激活舊知，開拓思路，掌握規律，積累解題經驗，完善數學學習過程．解題切入口也要適合學情，順應學生的思維自然地開展，讓學生感受到自己的思考是有效的，增強學生學習數學的自信心．從學生的已有知識積累和解題經驗出發，從“淺層次”著手，層層遞進，不斷“喚醒”學生，不斷地把數學知識與技能轉化為分析問題、解決問題的能力，提升數學素養．

(2)常反思，勤總結

高三學生對解三角形題目往往不屑于深究，但從整體來看，并沒有達到應有的學習結果．試想，如果本節課筆者仍在原題上切入互補角、坐標化、平面幾何、向量等解三角形的常用方法，大部分學生會覺得自己已經做對了，不需要再繼續研究了，可能一節課下來學生的知識增長幾乎為零．數學知識的內部縱橫交錯，即使問題成功解決也需要反思回顧，加強對問題的深層研究，為數學思維和數學交流創造機會．

(3)重過程，育素養

本文的例題解答方法較多，但不同方法之間所用的思維、運算、表述、時間、書寫等成本大不相同．對比不同的解決方案，能優化解題思路、提高解題效率，同時發展核心素養．當然，核心素養的發展不是一蹴而就的，它貫穿于每一個教學環節之中，教師的每一次教學活動都應該為發展學生的核心素養做出應有的貢獻．我們要學習課程標準，研讀教材，揭示數學知識內部規律、聯系，明晰訓練方向，研究學生得失，提升學生能力；調整課堂教學策略，優化課堂教學環節.

數學教學“讀-研-寫”在行動，具體地說就是：引領學生學會主動思考，學會傾聽和閱讀老師或同伴的想法及過程，并以此為契機深入研究，將數學理解、解題回顧和方法反思等用自己的語言形成文字表達，及時總結研究成果．后期學生通過閱讀自己的寫作內容，能很快地進行思維上的銜接和聯系，有助于延續性學習，促進深度學習．本文提及的問題不難，但仍需我們從中反思，希望能為數學教學提供一點借鑒．