萃取數學史 建構概念課
——以蘇科版八上“平方根”為例*

魏宇亭 (江蘇省邳州市戴莊中學 221347)

1972年第二屆國際數學教育大會(ICME-2)在英國舉行，會上組建了“數學史與數學教學之關系國際研究小組”(簡稱為HPM)．該組織成立后，致力于數學史在數學教學中的應用研究，如美國數學史專家福韋爾指出數學史具有可增加學生的學習動機，有助于學生理解概念等教育價值；美國學者瓊斯認為用數學史進行新課引入可以幫助學生“發現”新概念或新思想方法．史寧中、孔凡哲教授也指出，數學是人類文化的重要組成部分，數學教育是數學文化的教育，而數學史是數學文化的一種載體，數學史融入數學課程有助于學生理解數學．[1]基于上述理論，筆者在徐州市級同課異構活動中，通過萃取數學史建構概念課，執教了蘇科版八上“4.1平方根”一課，得到與會師生的好評．

1 教材分析

1.1 基于知識鏈的教材分析

本課是蘇科版數學八上(以下簡稱為教材)第四章第1節．七年級時，學生已學習了有理數的加、減、乘、除、乘方等運算，能識別簡單的無理數．本學期，學生已學習勾股定理，經歷了運用平方求直角三角形邊長的過程，奠定了學習平方根的基礎．本章將學習實數的概念，八下將學習二次根式，九上將學習解一元二次方程．因此，平方根是重要的概念樞紐，發揮承前啟后的作用，體現課標對重要數學概念螺旋式上升的要求．據此，可繪如圖1所示的結構圖．

圖1

1.2 基于數學史的教材分析

·蘊藏勾股定理的歷史背景

本課教材中設計了如圖2的引圖，要求學生在邊長為1的網格中求AB,A′B′的長，雖然AB,A′B′是矩形的對角線，但實質是運用勾股定理求解，圖形上略顯復雜，會給部分學生帶來識圖困難．因此，抓住勾股定理這一線索，依據HPM的理念，萃取畢達哥拉斯發現勾股定理后提出萬物皆數的數學史，直接創設求直角三角形邊長的情境，劍指學習平方根的必要性，既可達成引圖的目標，又能解決識圖困難，讓學生在傳承有序、自然而然的數學史情境中建立新概念．

圖2

·蘊藏發現無理數的歷史背景

2 教學設計

2.1 跨越時空，引出概念

(1)出示圖3，回顧郵票的圖案是根據勾股定理設計的．

圖3 圖4

(2)出示圖4，數學史：在西方，勾股定理被稱為“畢達哥拉斯定理”，它是古希臘數學家畢達哥拉斯發現的.畢達哥拉斯發現勾股定理后，試著從數學擴大到哲學，用數的觀點解釋世界，經過刻苦實踐，提出了“萬物皆數”的觀點，這里的數是指一個精確的數字，隨后逐漸形成畢達哥拉斯學派．

(3)出示圖5，求直角三角形第三邊長，經歷運算過程，體驗“萬物皆數”的觀點．

(4)出示圖6，數學史：希帕索斯是畢達哥拉斯學派中一個聰明、好學、有獨立思考能力的青年數學家，他在研究勾股定理時，發現了一個大問題．

圖5 圖6 圖7

(5)出示圖7，求腰長為1的等腰直角三角形的斜邊長，用逼近法，感受斜邊的數值特征．

(6)數學史：希帕索斯的發現，打破了畢達哥拉斯萬物皆數的權威，史稱“第一次數學危機”．他堅持真理，并付出了生命的代價．后世數學家在此基礎上定義了新數字，開創了新運算．

設計意圖萃取與畢達哥拉斯和希帕索斯相關的數學史創設情境，在求等腰直角三角形斜邊的問題中，讓學生感受無理數的客觀存在性、數字擴充的現實性、開創運算的必要性，為建構概念奠定思維基礎，用希帕索斯寧死求真的故事對學生進行情感、態度、價值觀的教育，發揮學科育人功效．

2.2 抽象本質，生成概念

·建立互逆，感悟特征

(1)出示圖8左側3題，快速求解．

(2)追問：請舉出相同的例子，有何發現？

(3)出示圖8右側3題，學生思考后，指名回答．

圖8

(4)追問：你有什么發現？

設計意圖建立互逆關系，使學生感悟運算的互逆性及已知冪和指數求底數的運算特征．

(1)指名回答，組織討論，統一意見．

若x2=0，則x=；若x2=-4，則x=．

(2)抽象本質，逐步建構，生成概念．若用字母a表示等號右邊的數字，則可表述為：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根．

(3)追問：若x2=2，則x=．

眾所周知，詞匯知識對于語言學習者，不是“要么至關重要，要么無關緊要”的現象（Laufer,1998)[6]，而是語言知識若干層面和維度的連續體（Laufer&Paribakth,1998,p.367)[7]。多年來，第一語言和第二語言研究者對詞匯知識的構成提出了不同的建議。Richards（1976），Robinson,R.,&Good,T.L.(1987)[8][9]聲稱單詞知識涉及各種亞知識，如形態學和語法知識。還有一些人認為，掌握一個單詞有不同的程度，由被動的接受到主動產出，即能在不同語境不同場景熟練地自由地使用該詞匯。

2.3 列表歸類，探究概念

(1)整理下表，設問：觀察表格，你發現了什么規律？

a9140.1620-4a的平方根±3±12±0.4±20無

(2)學生思考，小組合作，發表意見．

(3)小結：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．

(4)開平方的定義：求一個數的平方根的運算叫開平方．

2.4 例題教學，運用概念

(2)先出示①至③，指名回答；再依次出示④至⑥，討論完成．

2.5 辨析鞏固，深化概念

(1)判斷下列說法是否正確：① -5是25的平方根；② 25的平方根是-5；③ 0的平方根是0；④ 1的平方根是1；⑤ (-3)2的平方根是-3．

(2)學生在獨立思考、小組討論后完成辨析．

設計意圖辨析討論，學生進一步感悟平方根的概念和性質．

2.6 課堂小結，升華概念(略)

2.7 沙場點兵，鞏固概念

組織學生以搶答的形式，解答習題．

(1) 4的平方根是( )．

A.16 B.±4 C.±2 D.8

(2)如果1.2是a的平方根，那么另一個平方根是．

(3)一個實數的平方根是a+3和2a，則a=．

2.8 板書設計

本節課的板書設計如圖9所示．

圖9

3 教學反思

3.1 萃取數學史，創設產生概念的模擬情境

3.2 萃取數學史，建構概念體系的知識鏈條

3.3 萃取數學史，在概念教學中滲透“三會”