反思題目通法 突出變換引領(lǐng)
——2021年南通市中考試題第25題賞析*

張 俊 (山東省淄博市周村區(qū)城北中學(xué) 255300)

時(shí)翠萍 (山東省淄博市周村區(qū)第二中學(xué) 255300)

筆者近來(lái)研究2021年南通市中考試題第25題時(shí)，發(fā)現(xiàn)該題以最基本的圖形變換“軸對(duì)稱(chēng)”為背景，漸次生長(zhǎng)，思路開(kāi)闊，是一道值得回味的題目，特撰文與大家交流．

1 原題呈現(xiàn)

如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上(不與端點(diǎn)A，D重合)，點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連結(jié)CF，設(shè)∠ABE=α．

圖1

(1)求∠BCF的大小(用含α的式子表示)；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AF，垂足為G，連結(jié)DG．判斷DG與CF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，連結(jié)BF，HF．當(dāng)△BFH為等腰三角形時(shí)，求sinα的值．

2 思路突破

2.1 基于對(duì)稱(chēng)變換，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形

圖2

2.2 導(dǎo)角突破難點(diǎn)，多維角度探尋

如圖2，對(duì)于第(2)問(wèn)，學(xué)生可以直觀判斷出DG與CF的位置關(guān)系，但如果要說(shuō)明理由，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，此時(shí)題目已經(jīng)進(jìn)入寬進(jìn)難出的環(huán)節(jié)．那么突破的方向在哪里呢？在此問(wèn)中，有一個(gè)“知識(shí)坎”很多學(xué)生未能逾越，導(dǎo)致問(wèn)題探究無(wú)法進(jìn)行到下一步.在這里我們有必要細(xì)細(xì)品味一下：在圖2中，很多學(xué)生憑直觀猜測(cè)出了△CGF是等腰直角三角形，但一直無(wú)法說(shuō)明∠AFC=135°(這里考查了學(xué)生利用帶有字母的角的導(dǎo)角能力)．如圖3，基于前面的分析我們可以得到∠AFB=90°-α，∠BFC=∠BCF=45°+α，所以可得∠AFC=∠AFB+∠BFC=90°-α+45°+α=135°．從而可以看到，盡管點(diǎn)F的位置是變化的，但∠AFC始終是一個(gè)定角．那該問(wèn)題的本質(zhì)在哪里？因?yàn)锽A=BF=BC，所以點(diǎn)F在以點(diǎn)B為圓心、BA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)定弦對(duì)定角，可知∠AFC始終為135°．解決了這一問(wèn)題，就為后面的探究做好了鋪墊．

圖3

圖4 圖5

思路3 如圖6，從點(diǎn)共圓的角度，連結(jié)對(duì)角線(xiàn)AC.因?yàn)椤螦DC=∠AGC=90°，所以點(diǎn)A，D，G，C在以AC中點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓上．在同圓中，可得∠DGA=∠ACD=45°，即∠CFG=∠DGA=45°，故DG∥CF．

圖6 圖7

思路4 如圖7，從構(gòu)造全等三角形角度來(lái)思考，在AG上截取AH=CG.因?yàn)椤螦MD=∠CMG，∠ADM=∠CGM=90°，所以∠DAH=∠DCG．又有AD=CD，所以△DAH≌△DCG，可得∠ADH=∠CDG，HD=GD．因?yàn)椤螦DH+∠HDM=90°，所以∠HDG=90°，此時(shí)△HDG是等腰直角三角形，故∠DGH=45°，即∠CFG=∠DGH=45°，從而DG∥CF．

2.3 始于分類(lèi)討論，終于轉(zhuǎn)化分析

第(3)問(wèn)以旋轉(zhuǎn)為背景，重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論的思想．本題的難度還是在分類(lèi)后的驗(yàn)證上，對(duì)學(xué)生的說(shuō)理能力要求較高．如圖8，對(duì)于△BFH為等腰三角形，我們考慮：①當(dāng)BF=BH時(shí)，由于△BAE≌△BCH，所以BH=BE，又因?yàn)锽A=BF，這時(shí)出現(xiàn)了BE=BA，在Rt△BAE中是不可能的，顯然這種情況不存在．②當(dāng)BF=HF時(shí)，∠FBH=∠FHB=90°-α，可得∠BFH=2α，由于∠ABF=2α，所以此時(shí)AB∥FH，即點(diǎn)F與點(diǎn)C要重合，則需要點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，與題意不相符，因此這種情況也不存在．相比第①種情況的驗(yàn)證，第②種情況的驗(yàn)證要求學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐评碚f(shuō)明，綜合性較強(qiáng)．結(jié)合上述分析，只有一種可能是BH=FH，此時(shí)解決問(wèn)題的方向又在哪里？

圖8

3 深入思考

圖9

第(2)問(wèn)的思路2是基于“8”字相似的成對(duì)存在性，如圖5，若△ADM∽△CGM，則必有△DMG∽△AMC，本身構(gòu)成這樣相似的點(diǎn)D，G，A，C與思路3的四點(diǎn)共圓是一致的．

第(3)問(wèn)的第二種思路如同神來(lái)之筆，連結(jié)EC，構(gòu)造的其實(shí)是一對(duì)具有對(duì)稱(chēng)性的全等三角形，△BFH≌△BCE，并且關(guān)于直線(xiàn)BN成軸對(duì)稱(chēng)(圖10)．基于圖形的對(duì)稱(chēng)，聯(lián)想到全等，這其實(shí)就是一種發(fā)現(xiàn)對(duì)稱(chēng)美的過(guò)程．

圖10 圖11

基于本題圖形的變化，我們考慮再進(jìn)行一下變式的生長(zhǎng)：原題點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上運(yùn)動(dòng)，我們讓點(diǎn)E在射線(xiàn)AD上運(yùn)動(dòng)，其他條件保持不變，此時(shí)仍然可以得到DG∥CF(圖11)．

圖12

當(dāng)然本題還有其他方法，這里不再贅述．現(xiàn)在我們改變對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，繼續(xù)思考一下．如圖12，作點(diǎn)C關(guān)于BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連結(jié)BF，作AG⊥FC，垂足為G，連結(jié)DG，求證：DG∥AF．

這里通過(guò)推導(dǎo)角度仍然可得△AGF為等腰直角三角形，連結(jié)AC，此時(shí)△AGF與△ADC是相似的等腰三角形，由旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)性，還可以得出△DAG∽△CAF，進(jìn)而問(wèn)題可以突破．

我們讓該問(wèn)題在此基礎(chǔ)上繼續(xù)生長(zhǎng)．如圖13，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上(不與端點(diǎn)A，D重合)，點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連結(jié)CF，BF，同時(shí)連結(jié)FA，BE并分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連結(jié)DG，設(shè)∠ABE=α．

(1)求∠BGF的大小；

(2)猜想DG與AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

圖13 圖14

4 教學(xué)反思

4.1 重視基本圖形滲透，強(qiáng)化識(shí)圖能力

基本圖形是復(fù)雜圖形組成的基本元素，主要包括教材上的基本事實(shí)和定理及其推論，以及在平時(shí)教學(xué)中獲得的一些典型圖形．學(xué)生之所以解題時(shí)沒(méi)有思路，關(guān)鍵就是沒(méi)有從復(fù)雜的圖形里把基本圖形抽取出來(lái)．正如2021南通市中考第25題，其中蘊(yùn)含的基本圖形非常多，例如旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)存在性，以及“8”字型相似的成對(duì)性、四點(diǎn)共圓等，如果學(xué)生沒(méi)有較強(qiáng)的識(shí)圖能力，是很難突破問(wèn)題的．因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中要為學(xué)生及時(shí)總結(jié)和提煉一些基本圖形，對(duì)其應(yīng)用條件和基本結(jié)論要熟悉．這里要特別注意一點(diǎn)，千萬(wàn)不能讓學(xué)生死記，而要引導(dǎo)學(xué)生從已知條件中挖掘關(guān)鍵條件，找到問(wèn)題的核心，回歸到書(shū)本上最基本的定義和定理，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)基本圖形與數(shù)學(xué)概念的有效結(jié)合．只有這樣潛移默化地不斷滲透，學(xué)生才能逐步形成基本圖形分析觀念，在面對(duì)幾何問(wèn)題時(shí)，主動(dòng)尋找或構(gòu)造頭腦中的基本圖形，運(yùn)用其來(lái)解決問(wèn)題．

4.2 突出幾何變換引領(lǐng)，積累構(gòu)圖經(jīng)驗(yàn)

初中的圖形變換分為兩種，一種是全等變換，主要包含平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)，另一種是相似變換，指的是相似與位似，新課標(biāo)也特別提倡讓圖形運(yùn)動(dòng)起來(lái)，讓學(xué)生在運(yùn)動(dòng)中發(fā)現(xiàn)不變．然而實(shí)際情況是，學(xué)生仍然習(xí)慣于靜態(tài)地去思考問(wèn)題，這導(dǎo)致他們不能深入問(wèn)題的本質(zhì)．比如南通這道中考題，以正方形作為背景，正方形本身就是軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)圖形，從點(diǎn)A與點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)BE對(duì)稱(chēng)入手，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形，然后通過(guò)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似這一變換作為解決問(wèn)題的主線(xiàn)，繼續(xù)生長(zhǎng)，第(3)問(wèn)基于圖形的旋轉(zhuǎn)分類(lèi)思考，最終呈現(xiàn)了一對(duì)對(duì)稱(chēng)性的全等三角形．可以說(shuō)本題始于軸對(duì)稱(chēng)，發(fā)展于旋轉(zhuǎn)，最終止于軸對(duì)稱(chēng)，整個(gè)解答的過(guò)程都突出了幾何變換的統(tǒng)領(lǐng)．因此，在平時(shí)的教學(xué)中，教師要多引導(dǎo)學(xué)生從幾何變換的視角來(lái)分析幾何圖形，通過(guò)這種運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)構(gòu)造出準(zhǔn)確的圖形，這樣學(xué)生就會(huì)站在更高的高度來(lái)認(rèn)識(shí)幾何圖形．長(zhǎng)此以往，可以讓學(xué)生養(yǎng)成從幾何變換的視角來(lái)審視幾何問(wèn)題的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力的提升．