一次提升“四能”的探究之旅
——從一道三角不等式的教學談起*

李勤儉 (安徽省池州市第一中學 247000)

在高中數學教學中，教師有意識地引導學生進行思考，從數學角度發現和提出問題、分析和解決問題，不僅是新課程標準的要求，也能高效地提高學生自主學習的能力．本文從一個正弦定理推證過程中得到的三角不等式入手，探討如何在解題教學中提升學生的“四能”．

1 發現問題，提出問題

2 分析問題，問題解決

不等式①的左邊看起來比較正常，但右邊就讓人難以接受．看到π，聯想到幾何意義，所以從圓入手也算自然；①式是代數式，理應有代數證法，那么作為三角函數式，可以從三角變換角度去解決；同時，從式子的結構出發，可以看成是余弦函數相關問題，所以從函數角度分析應該也能解決問題．

2.1 幾何證法

在圖1中，圓O是△ABC的外接圓.下面分△ABC是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三種情形證明.

圖1 圖2

證明(1)當△ABC是銳角三角形時，如 圖2，連結BO，AO并延長分別交圓O于點E，F，再連結BF,FC,CE,EA，則BF=2RcosC,FC=2RcosB,BD=2RcosA.

(3)當△ABC是鈍角三角形時，不妨設C>90°，此時可將圖2中的點D與點C對換，轉化為情形(1)，得證.

幾何證法直觀、好理解，但不容易想到.我們再嘗試用代數證法．

2.2 代數證法

先證cosA+cosB+cosC>1 ②．

因為cosA+cosB+cosC

為了證④式，先證下式：

另一方面，在⑤式中，有如下變形:

由②④可得①式得證.

由此還可以順帶得①式的加強式：

2.3 琴生不等式證法

琴生不等式(Jensen Inequality)：

函數f(x)是定義在開區間(a,b)上的凸函數.設λ1,λ2，…，λn是n個正實數，且λ1+λ2+…+λn=1，x1,x2,…,xn是開區間(a,b)上任意n個點，則下面不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≥λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn).這個不等式稱為琴生不等式.(注意:對于凹函數(下凸函數)，上式中的“≥”變為“≤”)

3 再次提出問題

一個問題從提出到解決，并不是思維過程的結束，而往往是新問題的開始.①式是針對余弦函數而言的，那么對于正弦函數、正切函數，相應的結論是什么？又如何證明？

3.1 與正弦函數有關的不等式

經過探討分析得到

3.2 與正切函數有關的不等式

當△ABC是銳角三角形時，

4 幾點感悟

在學習數學的過程中，發現問題往往比證明結論更重要.《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出了“四能”[2]，因此教師需要適時、適度地引導學生發現、提出一些數學問題，進而分析和解決問題，促進學生數學水平的提高.

(1)引導學生學會提出問題的方法應成為教學中的一個重要內容.本文由余弦函數的一個優美的不等關系，運用合情推理的方法拓展到了與正弦和正切函數相關的性質.如何引導學生學會提出問題，也許比幫助學生解決問題更有意義.

(2)對一個問題的解決進行多角度思考是數學探究的基本思路.文中對不等式①的證法進行了多角度的思考，得到了很好的思維體驗.這意味著教師在教學過程中如何進行多角度的思考，以及如何引導學生多角度思考是值得探索的一個課題．

(3)要在解決問題的過程中進行邏輯推理等核心素養的培養.本文在探討的過程中，包含了很多較深刻的分析與推理，使得學生在過程中學習，在過程中提高.

(4)探究無止境.文中通過探究得到了八個關系式，它們的應用又可作為新的探討課題.

在這一探討的旅程中，學生得到了很好的思維能力的訓練，以及分析問題和解決問題的能力訓練，體會到數學的嚴謹美、和諧美，提高了學習數學的興趣.這不正是新課程理念所要求的嗎？