問題驅動式教學在微課設計中的應用探究
——以“拋物線的光學性質”為例

王禹桐 孔德宏 (云南師范大學數學學院 650500)

微課作為“互聯網+”時代的新產物，在信息技術與教育教學融合的應用中起到了一定的推進作用，近年來受到了教育界的廣泛關注[1].值得注意的是，微課不單純是課堂教學的片段，也不僅僅是錄制教師講解知識點的視頻，由于缺乏實際課堂的互動環節，微課設計更需要注重啟發性和趣味性.

2021年5月，由中國教育技術協會微格教學專業委員會主辦、廣西師范大學承辦的第十屆“華文”全國師范生數學學科教學能力線上測試與展示交流活動采取“線下微課設計+線上直播教學”的方式進行.筆者有幸參與了此次活動，在微課設計中采用“問題驅動”教學模式，借助物理情境創設問題，利用問題串幫助分析問題，將物理情境抽象為數學問題，再將空間問題轉化為平面問題，層層遞進，最后以解決問題為終點.

1 教學內容及目標分析

1.1 內容分析

本次微課內容為“拋物線的光學性質”，選自人教A版普通高中數學教科書(選擇性必修)第一冊第三章《圓錐曲線的方程》的閱讀與思考部分，屬于數學拓展課程.學生在本節課之前已經掌握了圓錐曲線、導數等相關知識，并且結合實例學習了橢圓和雙曲線的光學性質，熟悉“問題導入—分析問題—解決問題—總結”這一教學流程，為本節課學習拋物線的光學性質奠定了基礎.

1.2 教學目標

(1)掌握并證明拋物線的光學性質.

(2)通過觀察、分析、探究等學習方式，經歷將手電筒射出平行光線這一物理情境抽象為數學命題的過程，發展數學抽象能力.

(3)從問題抽象再到實際應用，感受數學與生活的密切聯系.

2 教學過程設計

2.1 問題導入

一個小電珠的光線是向四周發散的，將小電珠放入到手電筒后，發散的光線變成了一段明亮的平行光束.

問題1 為什么會出現如此神奇的現象？

經過觀察發現，手電筒前端是一個旋轉拋物面，即由拋物線繞對稱軸旋轉一周得到的曲面.

追問 同學們能否結合我們之前所學的拋物線的知識解釋該現象？

設計意圖結合生活實際，通過實驗演示提出問題，激發學生探索未知的欲望，啟發學生思考.

2.2 分析問題

問題1 要研究這一物理情境，能否類比橢圓、雙曲線的學習過程將它抽象為一個數學問題呢？

討論 忽略物體的大小、質地、薄厚，近似認為手電筒前端是一個旋轉拋物鏡面，小電珠也近似為一個點光源，光線的傳播路徑用直線代替.

問題2 要研究這一空間問題，能否將它轉化為一個平面問題？

討論 作一個經過小電珠及旋轉拋物鏡面頂點的軸截面，與旋轉拋物面相交的曲線即為拋物線，這樣我們就只需研究在該平面內的拋物線的性質即可.

問題3 初中物理里，光線被光滑的平直鏡面反射的實驗中反射角等于入射角.光線如何被這里的“曲線”鏡面所反射？

問題4 如何證明這個命題？

設計意圖通過實物轉圖形、空間轉平面，再到“翻譯”反射這一過程，層層遞進，讓學生直觀感受數學抽象的過程，能用數學語言描述出命題.抽象過程中運用了“以直代曲”的數學思想.

2.3 解決問題

證明“拋物線的光學性質”是本節課的重點和難點，因此我們既要有通性通法的教學，也要有能發展學生數學思維的教學.本次教學中的解析法和幾何法從不同方向出發，對命題進行了完備的證明.

作出拋物線上任一點P處的切線l，證明：PM平行于x軸(圖1).

圖1

問題1 已知∠1=∠2，如何證明射線PM平行于x軸？

問題2 我們還能用什么方法來證明這一命題？

追問 不借助坐標系，又該如何證明拋物線的光學性質？

設計意圖學生對坐標法的過程較為熟悉，因此用坐標的方法，即設點設線，列方程，算線段長度或算向量夾角等較為常規的方法來證明“拋物線的光學性質”是更容易接受的.講解證明思路后(結合思維導圖)，再呈現具體步驟即可.微課中也呈現了另外幾種坐標解法的思路，引導學生進行課后思考.

材料 數學家希爾伯特曾用“漂亮的幾何法”證明了“拋物線的光學性質”，其證明首先承認PM平行于x軸，目的在于證明l確為切線.巧妙之處在于他發現有一條直線可以近似代替入射點附近的曲線，其反射角都等于入射角，此直線即為外角平分線，因此用外角平分線來作為已知條件，突破難點(圖2).

圖2

問題1 要證l為切線，等價于證明什么？

預設回答：即證明直線l與拋物線E有且僅有一個公共點.

問題2 再取l上除P以外的任意點Q，它能不能在E上呢？

問題3 點Q不能在E上，也即點Q到焦點的距離不等于點Q到準線的距離.此時，已知的是角的條件，我們要解決的是距離的問題，能否將距離的問題轉化為角的問題？

設計意圖結合學生的最近發展區，利用坐標的方法證明命題具有普遍性.通過學習數學家的證明思路，開拓學生思維，使學生在了解數學文化的同時，提高學習數學的興趣，樹立善于思考、嚴謹求實的科學精神.幾何法證明“拋物線的光學性質”是一個難點，在微課演示中結合“問題串”“思維導圖”等方式，將難點逐一突破，證明過程自然呈現，學生容易接受，并能提高其數學思維.

2.4 性質應用

例題已知拋物線E：y2=2px內有一點A(a,b)，一光線從點A平行于x軸射出，經過拋物線鏡面反射兩次，設兩次的反射點分別為B,C，當BC最短時，求b的值.[2]

問題1b是什么？

預設回答：它是A的縱坐標，也是B的縱坐標.

問題2 移動點A，直線BC在運動過程中有什么不變性？

預設回答：BC恒過定點.

問題3 該定點是哪個點？

問題4 為什么是焦點？

問題5 什么時候焦點弦最短？

展示阿基米德燒敵船、“天眼”雷達、太陽灶等例子，說明拋物線的光學性質在我們的生活中有著廣泛的應用.

設計意圖借助幾何畫板動態分析例題，利于學生理解、分析問題，通過例題的講解能更深刻地理解“拋物線的光學性質”以及如何運用它解決數學問題.再結合小故事和生活實例使學生更加強烈地感受到數學源于生活、用于生活，要用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界.

2.5 總結

對本節課的總結如圖3.

圖3

說明本節課將生活實際情境轉化為一個數學問題，研究了拋物線的光學性質及其證明，并運用這一性質解決數學問題.今后再遇到類似問題，也可以類比此次分析過程來完成.整個過程體現了“以直代曲”“數形結合”等思想，進而提升了學生的“數學抽象”“數學建模”“邏輯推理”等學科核心素養，也讓學生更加熟悉數學探究的一般步驟.

3 教學反思

情境和問題構成了教學過程的驅動系統.[3]對于情境設計，本節微課通過探究手電筒發出平行光這一實驗作為情境引入，激發學生的學習興趣，并且清楚明確地指向了所要研究的數學對象本質，基本達到情境設計的要求.但仍然存在不足，在分析問題、解決問題等教學過程中，沒有再用到這一情境，由此可見該情境設計并未貫穿教學始終，值得再思考和改進.

問題驅動式教學以學生為中心，以問題為核心，圍繞問題的設置逐步探索，最終達成教學目標.問題驅動式教學需要教師有強烈的問題意識，問題串的設計要滿足在學生思維的最近發展區內、指向明確、銜接性強三個原則.微課由于其自身短小精悍的特點，能在短時間內呈現大量問題，如果在微課教學中仍然采用“滿堂灌”“一言堂”等教學模式，其效果將會大打折扣.因此，若能科學有效地使用“問題驅動”教學模式，定能達到事半功倍的效果.