疊牌問題的探究
——一次基于“數(shù)理融合”的研究性學(xué)習(xí)

樊陳衛(wèi) (江蘇省海門中學(xué) 226100)

張景中院士在《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》一書中提到：數(shù)學(xué)在任何具體學(xué)科領(lǐng)域都有可能出色地工作，但是它離開具體學(xué)科之后無法做出貢獻(xiàn)，它必須利用具體學(xué)科為它創(chuàng)造條件[1].這句話揭示了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間存在密切的依存關(guān)系.回顧科學(xué)發(fā)展的歷史，數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系可以說是最為緊密的，數(shù)學(xué)為物理的發(fā)展提供了工具和思想方法，物理為數(shù)學(xué)提供了發(fā)展所必須的動(dòng)力——有價(jià)值的問題.在越來越注重學(xué)科融合的高中理科教學(xué)中，數(shù)學(xué)與物理的融合必然處于極其重要的地位.筆者作為數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中留心數(shù)學(xué)與物理融合教學(xué)的機(jī)會，關(guān)注數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的物理背景、相關(guān)聯(lián)的物理方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，同時(shí)也帶領(lǐng)學(xué)生展開一些物理小探究，在探究中引導(dǎo)學(xué)生利用物理知識和數(shù)學(xué)方法來解決問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會探究的樂趣.以下筆者分享一次基于數(shù)學(xué)物理融合的研究性學(xué)習(xí)的過程.

1 問題提出與嘗試

問題將多米諾骨牌一塊塊疊起來,能否疊成最上面一塊與最下面一塊在豎直方向看沒有一處重合?

意圖這首先是一個(gè)動(dòng)手操作的問題，其次是一個(gè)物理問題.學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐之后獲得對問題的感性認(rèn)識，再從物理力學(xué)、重心的角度來分析問題，最后用數(shù)學(xué)的思維方法找到正確結(jié)論.

動(dòng)手操作之前，多數(shù)學(xué)生對問題結(jié)果保持懷疑的態(tài)度.初步嘗試后，有學(xué)生得到最上層與最下層豎直方向看有少許重合，如圖1，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)用的多米諾骨牌的塊數(shù)越多，重合的面積可以越少，其中內(nèi)在的規(guī)律是怎樣的？

圖1

為方便問題的描述和研究，教師引導(dǎo)學(xué)生作出一些必要且合理的假設(shè)：(1)骨牌是一模一樣且質(zhì)量均勻的；(2)每塊骨牌長為1，高為h，寬為d(0

意圖作出合理的假定，有利于使問題更加明晰；將一些相關(guān)量用字母表示，也便于問題的表達(dá)和研究.

2 等距離前出

多數(shù)學(xué)生嘗試將每塊骨牌較下面那塊等距離前出，教師從此種情形開始引導(dǎo)學(xué)生展開研究.

師：根據(jù)同學(xué)們擺的情況看，基本都是按每塊較下面那塊伸出相等的長度，設(shè)這個(gè)長度為x，那么從力學(xué)的角度，能不能找到x和按這個(gè)方式往上擺最多能擺的塊數(shù)之間的規(guī)律呢？我們研究問題時(shí)，一般以什么情況作為思考的起點(diǎn)？

師：很好！將最簡單的情形作為思考的起點(diǎn)是解決問題的一個(gè)重要方法，從最簡單情形中可以比較容易發(fā)現(xiàn)解決問題的基本原理.這里的基本原理就是某塊上面的骨牌必須保證它們作為整體的重心位置不在這塊骨牌的外側(cè).假如在底面一塊骨牌上疊兩塊骨牌，可以前出多長距離呢？

圖2

師：很好，能進(jìn)一步考慮底面一塊骨牌上疊三塊骨牌，能猜猜每塊可以前出多少長度，累計(jì)前出多少長度？n塊骨牌呢？能證明一下嗎？

意圖先猜后證有利于激發(fā)興趣，培養(yǎng)類比推理的能力，掌握科學(xué)探究的一般思維方法.

學(xué)生經(jīng)過一番猜想與證明活動(dòng)，得到：

3 非等距前出

圖3

師：還是從力學(xué)角度，將這兩塊作為一個(gè)整體，應(yīng)該滿足什么條件？

生：基本原理不變，就是保證上面兩塊骨牌作為整體的重心位置不在底面一塊的外側(cè).

師：很好，將之前解決問題中的思路遷移到了新問題上.能根據(jù)這一點(diǎn)建立對應(yīng)的不等式嗎？

圖4 圖5

師：很好，這里的思路、結(jié)論能用在底面一塊骨牌上疊三塊骨牌的情形嗎？大家嘗試一下.

師：這三塊作為整體的重心如何確定？

圖6

師：很好，當(dāng)n塊骨牌的累計(jì)前出超過1，就可以使得最上面一塊與最下面一塊在豎直方向看沒有一處重合.看看按照剛剛的方法，至少需要幾塊可以實(shí)現(xiàn).

師：對的.所以發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，有了理論的指導(dǎo)，一定可以疊出這樣的效果．再試試看?

學(xué)生再次動(dòng)手操作，多數(shù)能達(dá)到問題要求.

師：通過剛剛的研究過程，你們有什么體會？

生：感覺會做一點(diǎn)小研究了.拿到一個(gè)問題后，先動(dòng)手實(shí)踐操作，有了一定感性體驗(yàn)后，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)規(guī)律，再次動(dòng)手實(shí)踐，提升操作的效果，直到實(shí)現(xiàn)研究的目標(biāo).另外，在研究問題的過程中，我們學(xué)到的不同學(xué)科的方法和知識，根據(jù)需要都可以靈活用起來.

師：探究的過程中有什么好的經(jīng)驗(yàn)嗎？

生：可以從簡單的情形入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律或解決問題的辦法后再用這個(gè)規(guī)律或辦法解決復(fù)雜的問題.還有就是在解決問題的過程中要不斷突破自己的思維框架，就像這里不能把自己的思維限制在等距離前出的情形中，要敢于嘗試才有所創(chuàng)新.

4 出人意料的結(jié)論

師：說得好！說到突破思維，其實(shí)這個(gè)問題還有一個(gè)出乎大家意料的結(jié)果——這些骨牌越在下面，前出的幅度越來越小，甚至趨向于0，但累計(jì)前出也就是最上面一塊相對于最底下一塊的偏移要多遠(yuǎn)有多遠(yuǎn)，只要骨牌有足夠多.大家來看：

5 關(guān)于學(xué)科融合的思考

5.1 對學(xué)科融合教學(xué)的理解

如今是一個(gè)知識大爆炸的時(shí)代，科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域都存在著多學(xué)科之間的逐步交叉融合，教育教學(xué)也就出現(xiàn)了相應(yīng)的改革，學(xué)科融合教學(xué)思路助力培養(yǎng)全面發(fā)展的創(chuàng)新型、復(fù)合型人才以滿足社會需要.學(xué)科融合的核心是跨科整合.理科教學(xué)的跨科整合是一種以大學(xué)科為背景，以其思維為導(dǎo)向，立足于本學(xué)科的基礎(chǔ)知識，同時(shí)結(jié)合相關(guān)學(xué)科之間存在的共性聯(lián)系，將不同學(xué)科之間的知識、思想、方法經(jīng)過梳理、選擇、加工、整合后綜合運(yùn)用到課堂教學(xué)中去的各種方式和手段的統(tǒng)稱.課堂教學(xué)、興趣小組的研究性學(xué)習(xí)是實(shí)現(xiàn)跨科整合的重要途徑.

5.2 加強(qiáng)學(xué)科之間的聯(lián)系

教師自身的知識儲備量足夠大，才是實(shí)施學(xué)科知識融合和拓展教學(xué)的基礎(chǔ).在單科教學(xué)的過程中，由于學(xué)科的獨(dú)立性，在本學(xué)科內(nèi)缺少與其他學(xué)科之間的溝通與交流，因此可以通過建立跨學(xué)科備課組、跨學(xué)科聽課等活動(dòng)加強(qiáng)各科教師間的交流和合作.只有教師改變自身原有的知識結(jié)構(gòu)，融入多門學(xué)科知識建立起新的知識網(wǎng)絡(luò)，成為一名綜合型、復(fù)合型教師時(shí)，才能在此基礎(chǔ)之上仔細(xì)研究教材，準(zhǔn)確找出融合拓展的內(nèi)容，進(jìn)行學(xué)科知識融合的拓展教學(xué).

5.3 合理適度拓展教學(xué)

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)所制定的教學(xué)目標(biāo)，對教師教學(xué)起著一定的導(dǎo)向作用.在進(jìn)行學(xué)科知識融合的拓展教學(xué)之前，要緊緊圍繞科學(xué)的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)學(xué)科知識融合的拓展教學(xué)方案.在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上要主次分明，以教學(xué)目標(biāo)中所提到的必須要掌握和了解的知識為主，在此基礎(chǔ)之上才可融合其他學(xué)科知識，拓展的內(nèi)容切不可過多，以免使學(xué)生思路混亂，分不清主次.除了融合拓展的知識內(nèi)容含量，融合拓展的內(nèi)容難度也十分重要.在進(jìn)行教學(xué)方案設(shè)計(jì)之前，教師不僅要對本學(xué)科中學(xué)生的學(xué)情有準(zhǔn)確的掌握，還要熟悉其他學(xué)科的教學(xué)內(nèi)容及進(jìn)度，只有這樣才可結(jié)合“最近發(fā)展區(qū)”理論，恰到好處地融合符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的其他學(xué)科的相關(guān)知識來進(jìn)行拓展教學(xué).