寓數于形 以形解數
——談“切線不等式”的應用

許榮好 (江蘇省蘇州工業園區星海實驗中學 215124)

1 試題呈現

(1)若函數g(x)=f(x)-f′(x)存在極值，求m的取值范圍；

(2)若函數h(x)=f′(ex)-f′(lnx)，對任意的m∈R，若關于x的不等式h(x)≥m2+k2在(0,+∞)上恒成立，求正整數k的取值集合．

解析 (1)略．

(2)因為h(x)=(2e2x-2mex+m2)+(2ln2x-2mlnx+m2)，所以對任意m∈R，(2e2x-2mex+m2)+(2ln2x-2mlnx+m2)≥m2+k2在(0,+∞)上恒成立，即對任意m∈R，m2-2(ex+lnx)m+(2e2x+2ln2x-k2)≥0在(0, +∞)上恒成立，故Δ=4(ex+lnx)2-4(2e2x+ 2ln2x-k2)≤0在(0,+∞)上恒成立，即k2≤(ex-lnx)2在(0,+∞)上恒成立．

上述解答關鍵是處理k2≤(ex-lnx)2在(0, +∞)上的恒成立問題，難點在于φ(x)=ex-lnx的最小值難以直接通過一次求導直接給出，只能借助于二次求導以及函數零點的相關知識加以解決．一般學生在處理此類問題時，無法像答案這樣完美無缺，考慮周全．學生們迫切地需要一種簡單快速且有效的方法．因此我們可以借助于“切線不等式”來加以解決．

2 “切線不等式”的概念

切線不等式來源于函數f(x)的幾何圖象，通過觀察f(x)的圖象總是在切線y=ax+b的上方(或下方)，從而得到切線不等式f(x)≥ax+b(或f(x)≤ax+b)．在平時的高中數學教學中，常見的切線不等式如圖1所示．

圖1

無論是渾然天成的代數結構，還是優美對稱的幾何直觀，都讓人賞心悅目、拍案叫絕．

3 “切線不等式”的應用

當我們熟悉切線不等式之間的關系及其變形形式后，自然要看看它們在解題實踐中的應用．

3.1 與函數相關的不等式問題

例1(2020山東二模)已知函數f(x)=ex-x2．

(1)求曲線f(x)在x=1處的切線方程；

解析 (1)略．

(2)這個不等式的常規證明較為麻煩，觀察不等式的右邊，發現很像切線不等式的變形，因此采用切線不等式解決此題．

反思回想我們的解題過程，若是不借助切線不等式的變形，此題需要學生進行大量的構造，通過嘗試導數去求解最值進而證明不等式，過程較為繁瑣，操作起來較為困難；相反，若是借助切線不等式，只需要進行簡單的放縮，通過移項和常規求導即可解決，優勢明顯．

(1)求a,b的值；(2)證明：f(x)>1．

解析 (1)略．

3.2 形如的不等式問題

圖2

反思由于觀察到函數圖象是上凸的，利用原函數圖象和切線的位置關系，采用數形結合的方法對原不等式進行放縮，最后由不等式的性質，三個式子相加，證得原命題．此方法既培養了學生對數形結合思想的理解，也減少了復雜的含字母運算．

反思運用“切線不等式”法證明不等式時，需注意已知條件是單變元的和式，特征不等式左邊也是和式，當發現已知條件或特征不等式不符合上述條件時，需要通過適當的轉化后再使用“切線不等式”．

4 反思與展望

雖然高中的試題一直在繼承中創新，但也不回避已經考過的類似試題．此類數學題集中了命題人的智慧，是經過反復打磨的精品，因此在備戰高考時，通過研究各省市的歷年真題，把握高考試題的方向和命題規律，精做題、做精題，這樣才能走出題海，提高效率．不等問題在高考中一直扮演著重要地位，綜合性強，區分度高，是數學學科核心素養高低的分水嶺．在研究函數的過程中，若能利用好“切線不等式”這一有力工具，往往就能出奇制勝，此法對比常規方法而言具有巨大的優越性和間接性．遺憾的是，“切線不等式”這樣的稱呼，教材中并沒有明確給出，至今仍是一個“民間”說法，因此在應用時還需要給出適當的證明，這不免增加了解題的長度．教師在日常教學中，為了提升學生的數學核心素養、提高學生的數學思維品質，應在恰當的時候有針對性地講授一下，以便拓寬學生的解題視野．