基于直觀想象與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)培育*
——向量題幾何背景挖掘與構(gòu)造

734500 甘肅省民樂縣第一中學(xué) 趙思博

向量本身兼具“形”與“數(shù)”的雙重特性，是解決代數(shù)問題和幾何問題的有力工具，加上其本身的內(nèi)容十分豐富，命題形式靈活多變，自然成為高考命題的熱點.近年來，高考對向量的綜合運用的考查多與平面幾何、解析幾何、不等式等相結(jié)合進(jìn)行交匯命題，綜合性強，難度較大，學(xué)生在這類問題上得分也不理想.筆者認(rèn)為，向量教學(xué)要逐步讓學(xué)生體會“從形到向量—借助向量運算解決問題—從向量到形”的“三部曲”，更要培養(yǎng)學(xué)生逆向思考，體會“從向量到形—借助幾何直觀優(yōu)化運算—從形到向量”的“三部曲”.根據(jù)教學(xué)實踐和解題研究，筆者闡述解決具有一定幾何背景的向量問題的有效策略.

1 直觀建模，以數(shù)思形解三角形最值問題

評注：此題以向量減法為背景巧妙命題，利用向量的幾何意義把符號表示形式轉(zhuǎn)化為圖形表達(dá)形式，使問題求解變得直觀.在向量的意義及運算體系建立后，要注意強化向量的幾何直觀表示，引導(dǎo)學(xué)生體會通過建立向量符號運算與幾何圖形之間的關(guān)系，形成解決向量題的背景支持.

評注：此題考查平面向量基本定理、平面向量的幾何意義及向量的運算.通過向量加法運算構(gòu)建三角形，使題目形象鮮明，直觀具體，思路豁然開朗.

構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，將向量“圖形化”，借助圖形把問題的本質(zhì)凸顯出來，通過幾何直觀感知數(shù)學(xué)抽象，理解運算對象，使問題變得簡明、形象.

2 構(gòu)圖建系，巧用矩形性質(zhì)以形解數(shù)

圖1

評注：此題以平面向量加法的平行四邊形法則和矩形為幾何背景命題，在易于建立坐標(biāo)系的情況下，優(yōu)先考慮坐標(biāo)運算，向量的坐標(biāo)表示為實現(xiàn)向量運算到數(shù)的運算打下了基礎(chǔ)，建立起了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，在向量問題解決中突出坐標(biāo)法，是要讓學(xué)生感悟用坐標(biāo)法研究幾何問題的程序性和普適性.解法2結(jié)合圖形特征應(yīng)用矩形的性質(zhì)大大簡化了運算，數(shù)形結(jié)合是幾何圖形的代數(shù)表達(dá)，也是代數(shù)表達(dá)式的幾何直觀，作為數(shù)形結(jié)合的兩個方面，兩者都不可或缺.向量教學(xué)中既要重視幾何圖形的代數(shù)表達(dá)，也要關(guān)注代數(shù)表達(dá)式的幾何直觀，利用幾何直觀，發(fā)揮圖形的功能，有助于向量問題的解決.

3 直觀顯化，巧用圓的性質(zhì)避繁就簡

A.1

C.r≤1

評注：此題以平面向量加法的平行四邊形法則和圓為幾何背景命題，解題的關(guān)鍵是能正確分析出曲線C和區(qū)域Ω是什么樣的圖形.面對如此之多的抽象數(shù)學(xué)符號，很多學(xué)生束手無策，若能認(rèn)真分析集合內(nèi)元素的本質(zhì)特征，細(xì)心挖掘其具體意義和幾何背景，將抽象的符號語言直觀顯化，并能數(shù)形結(jié)合分析其數(shù)量關(guān)系，即可順利完成解答.有些數(shù)學(xué)表達(dá)式是有明顯幾何意義的，從幾何圖形的直觀認(rèn)識問題的實質(zhì)，進(jìn)而解決問題往往運算較簡便，但這種方法構(gòu)造性強，需要較高的思維水平和對向量的深入認(rèn)識及理解.

圖2

圖3

評注：本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積與向量的模、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力.對條件進(jìn)行化簡變形，易得出△ABC是正三角形，動點P的軌跡是圓，動點M的軌跡也是圓，解法1運用坐標(biāo)法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值的求法，使學(xué)生對向量運算的認(rèn)識逐步深化，進(jìn)一步體會向量的主要作用要通過運算來實現(xiàn).

解法2利用圓的性質(zhì)得出最值，則更能體現(xiàn)向量運算的幾何解釋.

4 以形助數(shù)，妙用圓的性質(zhì)化動為定

評注：此題以平面向量的坐標(biāo)運算和解析幾何中兩點間的距離為幾何背景命題，巧妙地把向量的坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化為圖形形式，使解題事半功倍，優(yōu)化了解題過程.研究向量問題要樹立數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法統(tǒng)領(lǐng)全局的意識，解決問題時要善于用坐標(biāo)法運算，用幾何眼光觀察與思考，用代數(shù)表達(dá)式的幾何直觀解決問題，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、直觀想象等素養(yǎng)的發(fā)展.

5 深度理解，利用幾何直觀化繁為簡

評注：解法1從坐標(biāo)的角度考慮，先建立平面直角坐標(biāo)系，利用題設(shè)條件得點P的坐標(biāo)x,y與λ，μ之間的關(guān)系，利用|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R得到關(guān)于x,y的不等式組，將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題解答，這是典型的坐標(biāo)法，是研究解析幾何問題最基礎(chǔ)、最常用的方法，完全通過代數(shù)運算，運算量較大，得到最終結(jié)果需要較強的數(shù)學(xué)運算能力，這對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是有利的.解法2從平面向量基本定理入手，結(jié)合三點共線的充要條件去思考構(gòu)成平面點集的區(qū)域圖形的形狀，巧妙地避開了繁雜的運算，不失為一種優(yōu)美解法，但這種方法體現(xiàn)較強的構(gòu)造性，對學(xué)生的思維水平要求較高，要求學(xué)生對向量知識有系統(tǒng)的認(rèn)識和深入的理解.

數(shù)學(xué)問題求解的基本思維方法是從題設(shè)條件出發(fā)尋找解題的方向.在決斷解題方法時，對題設(shè)條件的思維切入點不同，解題的方法也將不盡相同.對于一類有幾何背景的向量題，在尋找解題思路時，應(yīng)牢牢把握向量的兩個基本特征：利用“數(shù)”的特征，可以從向量的線性運算、數(shù)量級、基底分解與坐標(biāo)運算等方面切入，將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算來解決；利用“形”的特征，通過向量的幾何意義及向量的運算將其轉(zhuǎn)化為平面幾何中的問題，直接利用平面幾何中的相關(guān)結(jié)論得到結(jié)果.教師在教學(xué)中，要注重直觀想象與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)，這樣學(xué)生才能熟練地實現(xiàn)向量的符號表示形式向圖形表達(dá)形式、坐標(biāo)表示形式的轉(zhuǎn)化，優(yōu)化向量問題解法.