專注一題 通曉一類*

俞杏明 (江蘇省興化中學 225700)

石志群 (江蘇省泰州教育局 225300)

經典試題反復研磨，不僅對試題認識越來越透徹，而且能歸結出這一類問題的解決之道．同時還能實現試題解答者到試題編制者的角色轉換．

1 經典試題永恒零點

例1(2013·江蘇)設函數f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實數．

(1)若f(x)在(1,+∞)上是單調減函數，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范圍；

(2)若g(x)在(-1,+∞)上是單調增函數，試求f(x)的零點個數，并證明你的結論．

圖1

2 微處著手查找關系

3 整體入眼知識遷移

由于參數a的不確定性，因此只能運用極限擬合思想生成函數f(x)的圖象．筆者驚奇地發現，函數(*)的圖象極值點左偏(圖1)．

下面要尋求函數f(x)右零點x2所在區間，可以先尋求x1+x2的一個上界，也就是尋求與函數f(x)共零點且極值點右偏的函數，因此需扭轉函數f(x)的極值點偏移方向[2]．

下面接例1未完的解答繼續作答．

4 內部透視局部放縮

圖2

注意到圖2中，y=ax與y=lnx的圖象在y軸右側較遠處存在空隙，且隨著x的值增大，空隙變大.因此筆者考慮構造中間函數y=mxn(m>0,0

圖3

5 感悟提煉實戰檢驗

細細琢磨，極值點偏移法長于整體思考，中間函數法適合局部放縮，變換主元法精于微觀探查．三種手段能夠使含參函數零點區間得到全方位查找．

例2(2017·課標I)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

解(1)當a≤0時，f(x)在(-∞,+∞)上單調遞減；當a>0時，f(x)在(-∞,-lna)上單調遞減,在(-lna,+∞)上單調遞增．

下面探尋f(x)在(-lna,+∞)上右零點x2所在的區間(圖4)．

圖4

方法1 將f(x)整理為f(x)=a(e2x+ex)-2ex-x．把x看成常數，則a在(0,1)上取越來越小的值時，f(x)越來越小．這表明a在(0,1)上變小時，y=f(x)圖象上每一點均下移，因此x2變大，零點x2為關于a的單調遞減函數．

接例2未完的解答繼續作答．

接例2未完的解答繼續作答．

方法3 把f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(a∈(0,1))整理為f(x)=a(e2x+ex)-(2ex+x)，拆分出兩個函數y=a(e2x+ex)(a∈(0,1))與y=2ex+x,但這兩個函數均為下凸函數，中間過渡函數難以尋求．令ex=t，則f(x)整理為g(t)=a(t2+t)-(2t+lnt)=at2+(a-2)t- lnt．把g(t)拆分為y=at2+(a-2)t(a∈(0,1))與y=lnt，顯然這兩個函數分別為下凸函數與上凸函數．

下面通過中間函數y=t證明g(t)存在右零點．

6 逆向應用編制試題

上述方法手段逆向應用，能夠多渠道生成這類試題．如構造上凸函數y=a(2x+lnx)(a∈(1,+∞))與下凸函數y=x2+x，組合出f(x)=a(2x+lnx)-x2-x，再把f(x)表達式中的字母重新排序，隱藏編制的痕跡，從而有下面這一試題：

例3已知f(x)=alnx-x2+(2a-1)x，當a∈(1,+∞)時,證明函數f(x)有且僅有兩個零點．

還可以進一步隱藏編制的痕跡，在例3中把x換成ex，從而有下面的試題：已知f(x)=ax-e2x+(2a-1)ex，當a∈(1,+∞)時，證明函數f(x)有且僅有兩個零點．