疊牌問題的探究
——一次基于“數理融合”的研究性學習

樊陳衛 (江蘇省海門中學 226100)

張景中院士在《數學與哲學》一書中提到：數學在任何具體學科領域都有可能出色地工作，但是它離開具體學科之后無法做出貢獻，它必須利用具體學科為它創造條件[1].這句話揭示了數學與其他學科之間存在密切的依存關系.回顧科學發展的歷史，數學與物理的關系可以說是最為緊密的，數學為物理的發展提供了工具和思想方法，物理為數學提供了發展所必須的動力——有價值的問題.在越來越注重學科融合的高中理科教學中，數學與物理的融合必然處于極其重要的地位.筆者作為數學教師在日常教學中留心數學與物理融合教學的機會，關注數學知識點的物理背景、相關聯的物理方法在數學中的應用，同時也帶領學生展開一些物理小探究，在探究中引導學生利用物理知識和數學方法來解決問題、發現規律，體會探究的樂趣.以下筆者分享一次基于數學物理融合的研究性學習的過程.

1 問題提出與嘗試

問題將多米諾骨牌一塊塊疊起來,能否疊成最上面一塊與最下面一塊在豎直方向看沒有一處重合?

意圖這首先是一個動手操作的問題，其次是一個物理問題.學生在動手實踐之后獲得對問題的感性認識，再從物理力學、重心的角度來分析問題，最后用數學的思維方法找到正確結論.

動手操作之前，多數學生對問題結果保持懷疑的態度.初步嘗試后，有學生得到最上層與最下層豎直方向看有少許重合，如圖1，同時還發現用的多米諾骨牌的塊數越多，重合的面積可以越少，其中內在的規律是怎樣的？

圖1

為方便問題的描述和研究，教師引導學生作出一些必要且合理的假設：(1)骨牌是一模一樣且質量均勻的；(2)每塊骨牌長為1，高為h，寬為d(0

意圖作出合理的假定，有利于使問題更加明晰；將一些相關量用字母表示，也便于問題的表達和研究.

2 等距離前出

多數學生嘗試將每塊骨牌較下面那塊等距離前出，教師從此種情形開始引導學生展開研究.

師：根據同學們擺的情況看，基本都是按每塊較下面那塊伸出相等的長度，設這個長度為x，那么從力學的角度，能不能找到x和按這個方式往上擺最多能擺的塊數之間的規律呢？我們研究問題時，一般以什么情況作為思考的起點？

師：很好！將最簡單的情形作為思考的起點是解決問題的一個重要方法，從最簡單情形中可以比較容易發現解決問題的基本原理.這里的基本原理就是某塊上面的骨牌必須保證它們作為整體的重心位置不在這塊骨牌的外側.假如在底面一塊骨牌上疊兩塊骨牌，可以前出多長距離呢？

圖2

師：很好，能進一步考慮底面一塊骨牌上疊三塊骨牌，能猜猜每塊可以前出多少長度，累計前出多少長度？n塊骨牌呢？能證明一下嗎？

意圖先猜后證有利于激發興趣，培養類比推理的能力，掌握科學探究的一般思維方法.

學生經過一番猜想與證明活動，得到：

3 非等距前出

圖3

師：還是從力學角度，將這兩塊作為一個整體，應該滿足什么條件？

生：基本原理不變，就是保證上面兩塊骨牌作為整體的重心位置不在底面一塊的外側.

師：很好，將之前解決問題中的思路遷移到了新問題上.能根據這一點建立對應的不等式嗎？

圖4 圖5

師：很好，這里的思路、結論能用在底面一塊骨牌上疊三塊骨牌的情形嗎？大家嘗試一下.

師：這三塊作為整體的重心如何確定？

圖6

師：很好，當n塊骨牌的累計前出超過1，就可以使得最上面一塊與最下面一塊在豎直方向看沒有一處重合.看看按照剛剛的方法，至少需要幾塊可以實現.

師：對的.所以發現了規律，有了理論的指導，一定可以疊出這樣的效果．再試試看?

學生再次動手操作，多數能達到問題要求.

師：通過剛剛的研究過程，你們有什么體會？

生：感覺會做一點小研究了.拿到一個問題后，先動手實踐操作，有了一定感性體驗后，建立數學模型，發現問題的本質規律，再次動手實踐，提升操作的效果，直到實現研究的目標.另外，在研究問題的過程中，我們學到的不同學科的方法和知識，根據需要都可以靈活用起來.

師：探究的過程中有什么好的經驗嗎？

生：可以從簡單的情形入手，發現規律或解決問題的辦法后再用這個規律或辦法解決復雜的問題.還有就是在解決問題的過程中要不斷突破自己的思維框架，就像這里不能把自己的思維限制在等距離前出的情形中，要敢于嘗試才有所創新.

4 出人意料的結論

師：說得好！說到突破思維，其實這個問題還有一個出乎大家意料的結果——這些骨牌越在下面，前出的幅度越來越小，甚至趨向于0，但累計前出也就是最上面一塊相對于最底下一塊的偏移要多遠有多遠，只要骨牌有足夠多.大家來看：

5 關于學科融合的思考

5.1 對學科融合教學的理解

如今是一個知識大爆炸的時代，科學技術的各個領域都存在著多學科之間的逐步交叉融合，教育教學也就出現了相應的改革，學科融合教學思路助力培養全面發展的創新型、復合型人才以滿足社會需要.學科融合的核心是跨科整合.理科教學的跨科整合是一種以大學科為背景，以其思維為導向，立足于本學科的基礎知識，同時結合相關學科之間存在的共性聯系，將不同學科之間的知識、思想、方法經過梳理、選擇、加工、整合后綜合運用到課堂教學中去的各種方式和手段的統稱.課堂教學、興趣小組的研究性學習是實現跨科整合的重要途徑.

5.2 加強學科之間的聯系

教師自身的知識儲備量足夠大，才是實施學科知識融合和拓展教學的基礎.在單科教學的過程中，由于學科的獨立性，在本學科內缺少與其他學科之間的溝通與交流，因此可以通過建立跨學科備課組、跨學科聽課等活動加強各科教師間的交流和合作.只有教師改變自身原有的知識結構，融入多門學科知識建立起新的知識網絡，成為一名綜合型、復合型教師時，才能在此基礎之上仔細研究教材，準確找出融合拓展的內容，進行學科知識融合的拓展教學.

5.3 合理適度拓展教學

根據課程標準所制定的教學目標，對教師教學起著一定的導向作用.在進行學科知識融合的拓展教學之前，要緊緊圍繞科學的教學目標設計學科知識融合的拓展教學方案.在教學內容的設計上要主次分明，以教學目標中所提到的必須要掌握和了解的知識為主，在此基礎之上才可融合其他學科知識，拓展的內容切不可過多，以免使學生思路混亂，分不清主次.除了融合拓展的知識內容含量，融合拓展的內容難度也十分重要.在進行教學方案設計之前，教師不僅要對本學科中學生的學情有準確的掌握，還要熟悉其他學科的教學內容及進度，只有這樣才可結合“最近發展區”理論，恰到好處地融合符合學生認知規律的其他學科的相關知識來進行拓展教學.