航空發動機雙轉子系統模態正交性和不平衡響應

黃江博， 廖明夫， 程榮輝, 古遠興, 李 明

(1.西北工業大學 動力與能源學院，西安 200240；2.中國航空發動機集團 沈陽發動機設計研究所，沈陽 110015;3.中國航空發動機集團 中國燃氣渦輪研究院，成都 610500)

渦噴與渦扇航空發動機普遍采用雙轉子結構。隨著性能和推重比不斷提升，發動機工作范圍內存在若干階轉子系統振動模態，轉子系統會頻繁穿越多階臨界轉速，甚至會在臨界轉速位置或鄰域持續運行。這就要求發動機雙轉子系統的動力學設計從“避開共振”向“容忍共振”發展。為此，文獻[1]對單轉子系統，提出了“可容模態”設計理論，即如何保證轉子能夠“容忍共振”的設計理論。

雙轉子系統的動力學特性是轉子系統“可容模態”設計的基礎。在雙轉子系統建模方面，國內外學者也展開了一系列研究，具有重要的參考價值。陳果[2]利用有限元方法針對實際的雙轉子航空發動機,建立了航空發動機雙轉子-支承-機匣耦合動力學模型，采用數值積分分析動力學模型的非線性振動響應。廖明夫等[3-5]建立了考慮陀螺力矩以及中介軸承剛度的雙轉子模型，運用解析方法分析雙轉子的振動特性，并分析了轉速比和相對旋轉方向對雙轉子系統動力學特性的影響規律。張大義等[6]考慮轉、靜子之間的耦合機理，建立了整機動力學模型，并通過數值模擬分析了雙轉子渦扇發動機的動力學特性。路振勇等[7-8]建立了復雜離散動力學模型,對該模型進行結構降維,得到了兩種簡化動力學模型，通過對比臨界轉速和固有振動特性驗證了縮減模型的準確性。高朋等[9]針對航空發動機雙轉子-中介軸承系統建立了簡化動力學模型，考慮了中介軸承分數指數非線性、徑向游隙和參數激勵等因素，研究了中介軸承的本質非線性特性對雙轉子系統非線性振動特性的影響。李巖等[10]建立了考慮中介軸承的雙轉子動力學模型，推導了雙轉子發生“臨界跟隨”現象時參數之間的關系，分析了“臨界跟隨”狀態下轉子系統的動力學特性。Gupta等[11]應用傳遞矩陣法研究了支承剛度，轉速比等參數對雙轉子系統動力學響應的影響。Hou等[12]提出了諧波平衡-交替頻/時域方法來對雙轉子系統復雜激勵下的共振進行分析，將獲得的結果與直接數值模擬結果進行比較，顯示出很好的一致性。Wang等[13]結合有限元法和固定接口模態綜合法，考慮到擠壓膜阻尼器和中間軸承的非線性力，研究并比較了在多個不平衡力作用下，同向和反向旋轉轉子系統的非線性動力響應特性。Wang等[14-15]利用ANSYS有限元商用軟件和固定界面模態綜合法對雙轉子系統建模進行了應用研究，不過在文中并未嚴格證明雙轉子系統的模態正交性。顧家柳[16]求解了柔性單轉子系統的主振型函數，并證明了主振型函數之間的正交性，為模態動平衡奠定了基礎。楊淋智[17]證明了航空發動機雙轉子系統模態正交性，得出在轉速比恒定時雙轉子系統模態滿足正交性的結論，但并未有數值結果進行驗證。

雙轉子系統在運轉時由于是雙頻激勵(激勵頻率不同，比值則為轉速比)，即高壓激勵與低壓激勵，由此在各自的激振頻率上所產生的模態則稱之為高壓激勵模態與低壓激勵模態。這兩組模態的正交性是雙轉子系統動力學特性的核心要素，也是雙轉子系統響應分析、故障診斷和動平衡的理論基礎。關于雙轉子系統模態正交性以及響應的模態分解理論，目前鮮見文獻報道。

為此，本文以一離散雙轉子模型為對象，分析雙轉子系統模態的正交性。所取的模型包含了發動機雙轉子系統的典型結構，例如分叉結構和中介支承結構。利用復模態分析方法，本文證明了，當高壓轉速和低壓轉速之比恒定時，低壓轉子主激勵的模態組是正交的，高壓轉子主激勵的模態組也是正交的。但當轉速比變化時，兩組模態都不正交。即使轉速比恒定，低壓激勵的模態組與高壓激勵的模態組之間不存在正交性。另外，雙轉子系統對低壓轉子不平衡的響應，可按照低壓轉子激勵的模態分解；對高壓轉子不平衡的響應，可按高壓激勵的模態分解。經過模態分解，可得到不平衡響應的統一表達式。結果表明，低壓轉子激勵的模態組與高壓轉子激勵的模態組關于不平衡響應是正交的。從理論上給出了證明，雙轉子系統低壓轉子激勵下的模態振動，只需對低壓轉子進行動平衡即可消除；高壓轉子激勵下的模態振動，只需對高壓轉子進行動平衡即可控制。雙轉子的模態正交性理論為雙轉子模態動平衡奠定了基礎，有助于模態動平衡的工況選取，以及后續延伸的雙轉子不平衡響應求解，對于雙轉子設計初期的動力學特性計算有重要意義。

1 雙轉子系統模態正交性

航空發動機雙轉子系統比單轉子系統復雜得多，存在較多特殊結構，包括分叉結構和中介支承等，并且高、低壓轉子轉速不同，轉動方向也可能不同，不能再簡單地等同單轉子系統。因此，需從理論上證明雙轉子系統的模態正交性，并建立模態正交的條件。這是雙轉子系統動力學設計和模態動平衡的基礎。

1.1 雙轉子運動方程與高、低壓轉子激勵下的模態

利用有限元法對雙轉子系統進行離散化后，其穩態運動方程如下

(1)

式中:下標“L”為與低壓轉子相關的量；下標“h”為與高壓轉子相關的量;M,C分別為轉子系統的質量和阻尼矩陣;K為轉子系統剛度矩陣，包含了分叉結構和中介軸承的剛度；ΩL和Ωh分別為低壓轉子和高壓轉子的轉速;q為轉子系統的廣義位移向量;GL為低壓轉子系統陀螺力矩矩陣;Gh為高壓轉子系統陀螺力矩矩陣;Q為作用在轉子上的激振力。忽略阻尼和方程右端激振力項，可以得到如下的齊次方程，用以確定雙轉子系統的模態。

(2)

雙轉子航空發動機轉速有兩種控制模式。一種是，根據給定的高、低壓轉子轉速控制律，在運行過程中，控制高、低壓轉子中一個轉子的轉速，而另一個轉子的轉速沿共同工作線隨動;另一種模式為雙參數控制，即通過調節燃油和尾噴管，依據高、低壓轉子轉速控制律，同時控制高壓轉子與低壓轉子的轉速。正在研制的變循環發動機以及未來的自適應雙轉子航空發動機，高、低壓轉速控制的靈活性和獨立性會大幅增高。高、低壓轉子的轉速不同，因而高、低壓轉子激振頻率也不相同。在雙轉子航空發動機運行過程中，高壓轉子與低壓轉子都能激起整個轉子系統的共振，共振時的轉速都是轉子系統的臨界轉速。當低壓轉子為主激勵源時，低壓轉子正同步進動，即自轉與公轉同步，此時，若高、低壓轉子同轉，則高壓轉子作非同步正進動，若反轉則作非同步反進動。若高壓轉子為主激勵源時，有對應的結果。

因此，雙轉子系統的模態按照主激勵源頻率的不同分為兩種：一種由低壓轉子激振頻率所激起，稱為低壓轉子激勵下的模態(low pressure rotor excitation,LPE)。此時，低壓轉速為公轉轉速；另一種由高壓轉子激振頻率激起，稱為高壓轉子激勵下的模態(high pressure rotor excitation,HPE)。這時，高壓轉速為公轉轉速。當計算雙轉子模態時，需要先設定作為主激勵的轉速，然后根據轉速比，確定另一個轉速，利用方程式(2)所對應的特征方程，求解臨界轉速和振型。最終可以得到雙轉子臨界轉速圖譜。圖1給出了一個雙轉子臨界轉速圖譜示例。其中，線a,b,c,d,e為實際共同工作轉速線，與各階激勵轉速線的交點即為轉子各階臨界轉速，a,b和d為高壓激勵下的臨界轉速(HPE)，c和e為低壓激勵臨界轉速(LPE)，各個交點對應的特征向量子向量即為雙轉子系統的振型向量。

圖1 雙轉子臨界轉速圖譜Fig.1 Map of critical speed for dual-rotor system

為進一步揭示雙轉子系統的動力學特性，需要證明：

(1) 高壓轉子激勵的模態之間是否是正交的。例如圖1中，a,b和d高壓激勵下的臨界轉速所對應的振型相互是否正交。

(2) 低壓轉子激勵的模態之間是否也是正交的。例如圖1中，c和e低壓激勵下的臨界轉速所對應的振型相互是否也正交。

(3) 高壓轉子激勵的模態與低壓轉子激勵的模態之間是否正交。即a,b和d點所對應的振型與c和e所對應的振型是否正交。

(4) 雙轉子系統的不平衡響應是否可按照模態分解和展開。

如果得到正交條件，一是可建立雙轉子不平衡響應的模態分解方法;二是可建立雙轉子模態動平衡方法。因此，揭示雙轉子系統模態正交性意義重大。

1.2 航空發動機雙轉子系統矩陣的共軛對稱性

為證明航空發動機轉子系統模態的正交性，須先討論如方程式(2)所含的轉子系統矩陣的共軛對稱性。

對于雙轉子系統中的低壓轉子和高壓轉子的主干結構，其質量矩陣、陀螺效應矩陣和剛度矩陣均是共軛對稱的。但需要特別證明的是雙轉子系統中兩種特殊結構參數矩陣的共軛對稱性：一是分叉結構；二是中介支承。

1.2.1 分叉結構

分叉結構在航空發動機雙轉子系統中比較常見，與傳統直線的鏈式結構不同，圖2表示了典型的分叉結構簡圖，(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)表示3個軸段，a,b,c,o表示4個節點。o點為3個軸段的交點，即分叉點。

圖2 典型的分叉結構Fig.2 Typical furcated structure

根據分叉結構的位移協調條件和力平衡條件，可以推導出分叉結構的運動方程如下

(3)

式中,下標“br”為分叉結構單元；

利用有限元法進行轉子的動力學分析時，分叉結構的運動方程不變，只需要在組裝系統質量、陀螺、剛度矩陣時，按照方程式(2)各矩陣的組合形式進行組裝即可。由式(3)可見，分叉結構的質量矩陣、陀螺效應矩陣和剛度矩陣均為共軛對稱矩陣。

1.2.2 中介支承

為提高推重比，在雙轉子發動機中，常將高壓轉子的后支點設計成中介支承。假設中介支承具有線性剛度，其運動方程為

-Kinqin=Qin_ex

(4)

式中:下標“in”為中介支承元素；Kin為中介支承總剛度矩陣；Qin_ex為中介支承處所受外力。

雙轉子中介支承耦合結構的受力如圖3所示。

圖3 雙轉子中介支承耦合受力分析Fig.3 Inter-shaft bearing coupling force analysis of dual-rotor

圖3中:(1)為低壓轉子;(2)為高壓轉子，i和k分別為中介軸承在低壓轉子和高壓轉子上的節點編號。在組成系統運動方程時，低、高壓轉子在中介軸承處所受左、右兩端剪力Qi,L,Qi,R和Qk,L,Qk,R與相鄰軸段的剪力相平衡;sin為中介軸承的剛度矩陣，Qi_ex和Qk_ex為高壓轉子和低壓轉子之間的相互作用力，它們滿足Qi_ex+Qk_ex=0。由于在建立系統運動方程時，高、低壓轉子在中介軸承處的節點不相鄰，故不能相互抵消，而應該分別按外力計算。Qi_ex可表示為

(5)

其中

由此可以得到

(6)

由于高、低壓轉子在中介軸承處的節點不相鄰，將式(6)代入式(4)可以得到中介軸承總剛度矩陣Kin為

2i-1 2i2k-1 2k

(7)

式中，2i-1,2i,2k-1,2k均為Kin在轉子系統剛度矩陣K中的位置。

由式(7)可以看出，考慮中介支承后轉子系統剛度矩陣仍然為共軛對稱矩陣。

1.3 雙轉子系統模態的正交性推導

根據1.1節的討論，雙轉子系統在特定轉速比(a=Ωh/ΩL，a≠0)下，轉子系統存在來自高、低壓轉子不同激勵的臨界轉速和振型。下面針對不同的激勵方式，討論雙轉子系統的模態正交性。在此，首先引入模態廣義正交性的概念。所謂模態廣義正交性是指，模態之間的正交性與轉子轉速無關。對于雙轉子系統，模態廣義正交性是指，模態之間的正交性與轉子轉速以及轉速比無關。

1.3.1 低壓激勵下雙轉子系統模態的正交性

(1) 轉速比a=Ωh/ΩL恒定

低壓轉子為主激勵源時，轉子公轉轉速為低壓轉子轉速，ΩL=ωL，Ωh=aωL。把第Li階模態對應的解ωLi和qLi代入式(2)，約去時間項后得到

(8)

對于第Lk階模態(ωLi≠ωLk)對應的解，同樣有

(9)

(10)

(11)

由1.2節知，雙轉子系統慣量矩陣和剛度矩陣皆為共軛對稱陣，則以下兩式成立

(12)

式中，上標“H”為復共軛轉置運算。對式(11)兩邊進行復共軛轉置運算，并考慮式(12)的關系，可得

(13)

將式(13)與式(10)相減，可得

(14)

其中

(15)

式(15)為雙轉子系統低壓轉子主激勵時的模態正交條件。由于存在陀螺力矩效應，振型向量為復向量。因此，不同階的振型向量關于慣量矩陣和剛度矩陣復共軛廣義正交。

特別值得注意的是，慣量矩陣中包含轉速比a。a發生變化，模態也隨之改變。在上述的推導中，假設a為常數。在這種情況下，所有低壓轉子激勵的模態相互之間都是廣義正交的，即對于振型向量qi和qk(i=1,2,…,N;k=1,2,…,N)，式(15)均成立。對于對轉雙轉子，轉速比a取負值，式(15)仍然成立。

當Li=Lk時，式(15)為

(16)

MLi為低壓轉子激勵下的第Li階模態質量。

(17)

KLi為低壓轉子激勵下的第Li階模態剛度。

低壓轉子激勵下的第Li階臨界轉速為

(18)

(2) 轉速比a=Ωh/ΩL變化

當轉速比a變化時，式(15)不再對所有低壓轉子激勵的模態都成立。不妨取表1所列的轉速和轉速比，aLi和aLk(i=1,2,…,N；k=1,2,…,N)。

表1 低壓轉子激勵下不同模態所對應的轉速和轉速比Tab.1 Critical speed and ratio of different modes under low pressure rotor excitation

第Li階模態方程為

(19)

式中，參數和變量的定義與式(8)相同。對應低壓轉子激勵下的第Li階模態，轉速比a=aLi。

對于第Lk階模態(ωLi≠ωLk)，同樣有

(20)

式中，對應低壓轉子激勵下的第Lk階模態，轉速比a=aLk。

(21)

(22)

同樣由于慣量矩陣和剛度矩陣的共軛對稱性，有以下兩式成立

(23)

對式(22)兩邊進行復共軛轉置運算，并考慮式(23)的關系，得到

(24)

將式(24)與式(21)相減，可得

(25)

顯見，當轉速比aLi=aLk=a時，式(22)與式(15)相同。在式(25)中，當轉速比a變化時，慣量矩陣中包含了臨界轉速ωLi和ωLk，以及對應的轉速比aLi和aLk。這表明，式(25)僅對第Li階模態和第Lk階模態成立。除此之外的任一階模態，例如，第Lh階模態，與第Li階模態，或與第Lk階模態，則不會關于相同的慣量矩陣廣義正交。由此可見，當轉速比a變化時，低壓轉子激勵下的模態之間不存在廣義正交性。

1.3.2 高壓激勵下雙轉子系統模態的正交性

在高壓轉子主激勵時，轉子公轉轉速為高壓轉子轉速，Ωh=ωh，ΩL=ωh/a(a≠0)。表2列出高壓轉子激勵下不同模態所對應的轉速和轉速比ahi和ahk(i=1,2,…,N；k=1,2,…,N)。

表2 高壓轉子激勵下不同模態所對應的轉速和轉速比Tab.2 Critical speed and ratio of different modes under high pressure rotor excitation

同式(8)和式(9)類似，第hi階和第hk階模態須分別滿足如下的方程

(26)

(27)

(28)

(29)

同樣，根據雙轉子系統慣量矩陣和剛度矩陣的共軛對稱性，最后得到

(30)

式(30)即為雙轉子系統高壓轉子激勵下的模態正交條件。與低壓轉子激勵下的模態正交條件式(25)相比，系統慣量矩陣發生了變化。低壓轉子主激勵時，轉速比a的影響出現在高壓轉子慣量矩陣中；而高壓轉子主激勵時，轉速比a的影響出現在低壓轉子慣量矩陣中。這體現出雙轉子系統的慣性耦合特征。

式(30)表明，雙轉子系統高壓激勵模態的正交性同樣與臨界轉速ωhi和ωhk，以及對應的轉速比ahi和ahk有關。當轉速比變化時，雙轉子系統的振型和臨界轉速會發生變化。第hi階模態和第hk階模態關于式(30)中的慣量矩陣正交，但除此之外的任一階模態，例如，第hn階模態，與第hi階模態，或與第hk階模態，則不會關于相同的慣量矩陣廣義正交，即高壓轉子激勵下的所有模態不會全部相互廣義正交。

當轉速比恒定時，即ahi=ahk=a時，式(30)中的慣量矩陣為常數，高壓轉子激勵下的所有模態全部相互廣義正交。

當hi=hk時，得到如下的模態參數

(31)

Mhi為高壓轉子激勵下的第hi階模態質量。

(32)

Khi為高壓轉子激勵下的第hi階模態剛度。

高壓轉子激勵下的第hi階臨界轉速則為

(33)

1.3.3 不同激勵下雙轉子系統模態的正交性

本節將分析低壓轉子激勵下的模態與高壓轉子激勵下的模態之間的正交性。表3列出了所取的模態階數、轉速和轉速比。

表3 高壓轉子和低壓轉子激勵下不同模態所對應的轉速和轉速比Tab.3 Critical speed and ratio of different modes under different pressure rotor excitation

低壓轉子激勵的第Li階和高壓轉子激勵的第hk階模態分別滿足如下的方程

(34)

(35)

采用1.3.1節與1.3.2節中的推導方法，最后得到如下的正交條件

(36)

式(36)就是不同激勵下雙轉子系統模態正交的條件。由此可以看出，兩階振型關于慣量矩陣正交的條件與此時的轉速比和兩階臨界轉速有關。特別地，當轉速比為1時，即高、低壓轉子轉速相同時，慣量矩陣為常數，轉子所有模態關于慣量矩陣都是廣義正交的。

一般情況下，由于高壓轉子轉速與低壓轉子轉速存在轉速差，因此轉速比不會為1。不論是轉速比恒定時，即ahk=aLi=a，或變化時，式(36)的慣量矩陣中總包含臨界轉速ωhk和ωLi，因此，低壓轉子激勵的模態與高壓轉子激勵的模態只是在式(36)給出的條件下正交，不存在廣義正交性。

2 雙轉子系統的不平衡響應

在轉子系統模態正交特性的基礎上，分析雙轉子系統的不平衡響應，建立不平衡響應的模態分解方法，得到轉子達到臨界峰值的條件，以及消除某階模態響應的條件。分別假設只有低壓轉子存在不平衡和只有高壓轉子存在不平衡時，推導出轉子的響應表達式，最后得到描述雙轉子不平衡響應的統一表達式，為建立雙轉子系統模態不平衡方法奠定基礎。

2.1 低壓轉子單獨存在質量不平衡

假設轉速比aL為常數。不考慮初始斜度，取不平衡分布為{UL,0,0,0}T(UL為低壓轉子不平衡質量矩的分布)，并假設轉子系統為經典阻尼系統，即阻尼矩陣關于振型向量廣義正交。代入方程式(1)，可得

(37)

將轉子不平衡響應用振型向量展開，即

(38)

式中：qL為低壓轉子不平衡所激起的振動；qLi為低壓轉子激勵下的第i階振型向量；αLi為轉子系統在低壓轉子不平衡作用下的響應中，第i階振型所占的比例。

將式(38)代入式(37)，化簡后可得

(39)

(40)

由式(16)和式(17)知，低壓轉子激勵下的第i階模態質量和模態剛度如下

(41)

(42)

引入第i階模態阻尼如下

(43)

則式(40)可化簡為

(44)

由式(44)解得

(45)

其中

(46)

利用式(45)求得的αLi，代入式(38)，則轉子的不平衡響應可表示為

(47)

式(47)即為模態基下雙轉子對低壓轉子不平衡的響應。形式上與單轉子的振動表達式相似。其特點在于：

(1) 假設轉速比aL為常數。在實際發動機中，轉速比變化不大，或者轉速控制律為分段線性函數，每段轉速比近似為常數。可按照轉速控制律，分段進行上述的分析和求解。

(2) 在低壓轉子不平衡激勵下，對雙轉子系統不平衡響應的模態分解只需要考慮低壓轉子激勵下的模態，而在計算模態不平衡量時，只計及模態振型中低壓轉子的振型。

(3) 當低壓轉子轉速ΩL≈ωLi，且高壓轉子轉速Ωh≈aLωLi時，雙轉子對低壓轉子不平衡的響應中，第i階模態響應占優，即在第i階臨界轉速處出現“共振”。

2.2 高壓轉子單獨存在質量不平衡

當僅有高壓轉子不平衡激勵時，采取類似的求解方法，同樣可得雙轉子系統對高壓轉子不平衡的響應

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

式中,Uh為高壓轉子不平衡質量矩的分布。

值得注意的是，低壓轉子上的不平衡量不會激起高壓轉子主激勵下的模態振動；反之依然，即高壓轉子上的不平衡量不會激起低壓轉子主激勵下的模態振動。換句話說，高壓轉子激勵的模態與低壓轉子上的不平衡激勵是正交的；低壓轉子激勵的模態與高壓轉子上的不平衡激勵是正交的。

2.3 雙轉子系統不平衡響應的統一表達式

一般情況下，高、低壓轉子均會存在質量不平衡。如2.2節所述，高壓轉子的不平衡只會激起高壓轉子激勵下模態的振動，而不會激起低壓轉子激勵下模態的振動。同樣的規律也適用于低壓轉子不平衡的激勵作用。

在雙轉子系統各階模態正交的情況下，轉子的不平衡響應可以按高、低壓轉子激勵模態展開成如下統一表達式

(53)

如式(36)所示的結果，雖然雙轉子系統低壓轉子主激勵下的模態與高壓轉子主激勵下的模態并不廣義正交，但對于轉子不平衡的響應卻是正交的。可由式(53)看到，低壓轉子上分布的不平衡量只會激起雙轉子系統低壓轉子主激勵下的模態振動。同樣，高壓轉子上分布的不平衡量只會激起雙轉子系統高壓轉子主激勵下的模態振動。

另外，如前面所述，轉子在某一階臨界轉速處發生共振，須同時滿足如下3個條件：

(1) 轉速與該階臨界轉速相同，例如，Ωh≈ωhk；

(2) 轉速比與該階模態對應的轉速比相同，例如，ΩL≈ωhk/ahk；

3 雙轉子系統模態正交性驗證

3.1 雙轉子系統結構

為了驗證第1章中雙轉子系統模態的正交性，選取某型發動機的雙轉子結構為研究對象，如圖4所示。圖4中的雙轉子系統包含了的中介軸承、分叉結構、多級輪盤等發動機常見的典型結構。圖4中:L為轉子系統軸向間距;m,Ip,Id分別為盤的質量、極轉動慣量和直徑轉動慣量;s,d分別為各支點處的支承剛度和阻尼。E為轉子材料的彈性模量，ρ為材料密度，參數數值如表1所示。采用離散有限元與狀態向量相結合的方法，計算轉子系統的模態。

(a) 某型航空發動機雙轉子試驗系統結構圖

(b) 雙轉子系統結構參數示意圖圖4 某型航空發動機雙轉子系統結構圖Fig.4 Structure diagram of a certain type aero-engine dual-rotor system

3.2 雙轉子系統模態計算

如1.1節所述，雙轉子系統為雙源激勵，當轉速比發生變化時，轉子的模態也隨之發生變化。因此，在計算雙轉子模態時需事先確定高壓轉子與低壓轉子的轉速控制律。它分為定轉速比與變轉速比兩種控制律。轉速控制律也稱為高、低壓轉子共同工作線。本文計算雙轉子模態時，采用如圖5所示的轉子轉速控制律。圖中，定轉速比控制律可用式(54)表示，變轉速比控制律則由式(55)表示的分段函數來表達。在雙轉子系統采用圖5中定轉速比控制律時，計算的雙轉子系統在高壓轉子與低壓轉子各自激勵的前三階臨界轉速如表5所示；低壓激勵的前三階模態振型如圖6所示；高壓激勵的前三階模態振型如圖7所示。

圖5 雙轉子系統轉速控制律Fig.5 Speed control law of dual-rotor system

(a) 一階模態振型

(b) 二階模態振型

(c) 三階模態振型圖6 定轉速比下低壓激勵前三階模態振型(轉速比=1.3)Fig.6 The three-order mode shapes of low-voltage excitation at constant speed ratio

(a) 一階模態振型

(b) 二階模態振型

(c) 三階模態振型圖7 定轉速比下高壓激勵前三階模態振型(轉速比=1.3)Fig.7 The three-order mode shapes of high-voltage excitation at constant speed ratio

表4 雙轉子系統的參數Tab.4 Parameters of dual-rotor system

表5 定轉速比下雙轉子系統的臨界轉速Tab.5 Critical speed of dual-rotor system at constant speed ratio

Ωh=1.3ΩL

(54)

(55)

同時，為了驗證第1章所述的關于變轉速比條件下雙轉子系統模態之間的關系，選取圖5中的變轉速控制律，同樣，假設高、低壓轉子反向旋轉。計算雙轉子系統高壓激勵前三階臨界轉速和低壓激勵前三階臨界轉速，如表6所示，模態振型如圖8和圖9所示。

(a) 一階模態振型

(b) 二階模態振型

(c) 三階模態振型圖8 變轉速比下低壓激勵前三階模態振型Fig.8 The three-order mode shapes of low-voltage excitation at different speed ratio

(a) 一階模態振型

(b) 二階模態振型

(c) 三階模態振型圖9 變轉速比下高壓激勵前兩階模態振型Fig.9 The two-order mode shapes of high-voltage excitation at different speed ratio

表6 變轉速比下雙轉子系統的臨界轉速Tab.6 Critical speed of dual rotor system under different speed ratio

3.3 雙轉子系統模態正交性驗證

在獲得雙轉子系統的模態之后，對轉子的振型向量進行無量綱處理，得到無量綱化的振型向量

(56)

式中:qk為轉子系統的第k階模態;H為剛度矩陣或者慣量矩陣。

模態的正交性可用如下的無量綱函數λ來檢驗

(57)

當第i階模態qi與第k階模態qk完全相似時，λ=1；當第i階模態qi與第k階模態qk正交時，λ=0。但在建模和數值計算中存在誤差，qi與qk正交時，λ值會遠小于1；qi與qk完全相似時，λ接近于1。因此，λ值應在[0，1]，值越小，表明正交性越強，值越大表明正交性越差。

當雙轉子系統轉速控制律為定轉速比且反轉運行時，計算的λ值如表7所示。同時，計算了高壓轉子與低壓轉子同轉時轉子的模態，對應的λ值如表8所示。表中，qL1,qL2,qL3為低壓激勵的前三階振型;qh1,qh2,qh3為高壓激勵的前三階振型。

表7 定轉速比反轉時模態正交性檢驗Tab.7 Test of mode orthogonality under the reversed rotating with a constant speed ratio

表8 定轉速比同轉時模態正交性檢驗Tab.8 Test of mode orthogonality under the same rotating with a constant speed ratio

表7和表8中，H=K為檢驗振型關于剛度矩陣的正交性；H=M表示檢驗振型關于質量矩陣的正交性。從表7和表8中的檢驗結果可以看到，當雙轉子系統的轉速比為一恒定值時，轉子系統高壓激勵的三階振型關于剛度矩陣與質量矩陣的正交性檢驗數值都接近于0；低壓激勵的三階振型關于剛度矩陣與質量矩陣的正交性檢驗數值也都接近于0。這表明，在轉速比保持為一恒定值時，雙轉子系統高壓激勵的模態之間是正交的；低壓激勵的模態之間也是正交的。這就驗證了1.3.1節和1.3.2節中的正交性結論。對比表7和表8的模態正交性檢驗數值可見，轉向對定轉速比下的模態正交性無影響。

為了驗證雙轉子系統不同激勵下模態的正交性，計算不同激勵下對轉時模態的正交性檢驗值λ，如表9所示。同轉時，正交性檢驗結果如表10所示。

表9 不同激勵下反轉時模態正交性檢驗Tab.9 Test of mode orthogonality under the reversed rotating with different excitations

表10 不同激勵下同轉時模態正交性檢驗Tab.10 Test of mode orthogonality under the same rotating with different excitations

由表9和表10可見，即使雙轉子系統的轉速比保持為恒定值，不同激勵下的模態之間關于剛度矩陣或者質量矩陣的正交性不成立，即高壓激勵模態與低壓激勵模態不存在正交性。這第1.3.3節中的結論是一致的。

為了檢驗變轉速比控制律下雙轉子系統的模態正交性，選取圖5中的變轉速比控制律，計算轉子模態的正交性檢驗值λ，結果如表11和表12所示。

表11 變轉速比反轉時模態正交性檢驗Tab.11 Test of mode orthogonality under the reversed rotating with a constant speed ratio

表12 變轉速比同轉時模態正交性檢驗Tab.12 Test of mode orthogonality under the same rotating with a constant speed ratio

對比表11與表7、表12與表8可看出，當高、低壓轉子的轉速控制律為變轉速比共同工作線時，雙轉子系統的模態關于剛度矩陣與質量矩陣的正交性檢驗值隨之變大，并且關于質量矩陣的正交性檢驗值增大更明顯。這是由于轉速控制律的變化主要影響雙轉子的慣量耦合。這表明，轉速控制律對雙轉子系統的模態正交性是有影響的，與1.3.1節中的結論一致。

4 結 論

本文對航空發動機雙轉子系統模態的正交性進行了理論分析和證明，利用模態的正交性推導出雙轉子系統不平衡響應的一般性表達式，并以某型航空發動機雙轉子系統為例，對其正交性進行了驗證。本文結論如下：

(1) 轉子系統慣量矩陣和剛度矩陣的復共軛對稱性是轉子系統模態正交的必要條件。慣量矩陣中包括陀螺效應矩陣，而剛度矩陣包括中介支承的影響。

(2) 在高壓轉子與低壓轉子轉速比恒定的情況下，低壓轉子主激勵的模態具有廣義正交性，高壓轉子主激勵下的模態也是廣義正交的。但不論高壓轉子與低壓轉子轉速比是否恒定，低壓轉子主激勵下的模態與高壓轉子主激勵下的模態相互之間都不具有正交性。

(3) 雙轉子系統對低壓轉子或高壓轉子上不平衡的響應均可利用模態正交性進行模態分解。對低壓轉子不平衡響應的分解，只需要低壓轉子主激勵下的模態中低壓轉子的振型向量，對高壓轉子亦然。低壓轉子主激勵下的模態與高壓轉子主激勵下的模態對不平衡的響應具有正交性，即低壓轉子上的不平衡量只會激起低壓轉子主激勵下的模態振動；高壓轉子上的不平衡量只會激起高壓轉子主激勵下的模態振動。

(4) 轉子在某一階臨界轉速處發生“共振”的3個必要條件是：轉速與該階臨界轉速相同；轉速比與該階模態對應的轉速比相同；轉子不平衡量分布與該階模態不正交。

(5) 發動機高壓轉子與低壓轉子的相對轉向對其模態正交性無影響。