課程思政融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐
——以“曲面的面積”為例

譚曉玉，李同興

（泰山學(xué)院，山東 泰安 271000）

0 引言

2016年12月8日，習(xí)近平主席在全國(guó)高校政治思想工作會(huì)議上指出：“要堅(jiān)持把立德樹(shù)人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過(guò)程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人”“要用好課堂教學(xué)這個(gè)主渠道，思想政治理論課要堅(jiān)持在改進(jìn)中加強(qiáng)，提升思想政治教育親和力和針對(duì)性，滿(mǎn)足學(xué)生成長(zhǎng)發(fā)展需求和期待，其他各門(mén)課都要守好一段渠、種好責(zé)任田，使各類(lèi)課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)。”“教育強(qiáng)則國(guó)家強(qiáng)。高等教育發(fā)展水平是一個(gè)國(guó)家發(fā)展水平和發(fā)展?jié)摿Φ闹匾獦?biāo)志，實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，就是要提高我國(guó)高等教育發(fā)展水平，增強(qiáng)國(guó)家核心競(jìng)爭(zhēng)力。”

高校的本質(zhì)職能是人才培養(yǎng)，立身之本是立德樹(shù)人。高等數(shù)學(xué)是高校理工科本科生的一門(mén)非常重要的必修課。特點(diǎn)是課時(shí)多、時(shí)間跨度長(zhǎng)、重要性強(qiáng)，內(nèi)容具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和復(fù)雜的計(jì)算性，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣不強(qiáng)。因此將課程思政元素融入高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，可以在提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、提升教學(xué)效果的同時(shí)，做到德育和知識(shí)教學(xué)自然地融于一體，使德育達(dá)到更理想的效果，從而幫助大學(xué)生樹(shù)立正確人生觀、價(jià)值觀和世界觀。

高等數(shù)學(xué)承載著培養(yǎng)大學(xué)生科學(xué)與人文素質(zhì)的雙重重任，在教學(xué)中，不僅要“教書(shū)”還要“育人”，把知識(shí)教學(xué)和德育結(jié)合起來(lái)。本文在課程思政的大背景下，總結(jié)和結(jié)合自身“教書(shū)育人”的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和對(duì)學(xué)情的分析，以高等數(shù)學(xué)中“曲面的面積”為例，對(duì)課程思政融入高等數(shù)學(xué)課程進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。

1 教學(xué)分析

1.1 學(xué)情分析

（1）學(xué)生數(shù)學(xué)能力分析：該課程面對(duì)的是我校理工科本科學(xué)生，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)良莠不齊，相對(duì)較差。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)，抽象知識(shí)的理解力較弱，邏輯思維能力較弱，但是形式運(yùn)演能力普遍不足。

（2）學(xué)生學(xué)習(xí)方法分析：進(jìn)入大學(xué)之后，沒(méi)有了老師全方位的帶領(lǐng)、監(jiān)督和督促，學(xué)生沒(méi)有很好地適應(yīng)和總結(jié)出系統(tǒng)、科學(xué)、適合自身的學(xué)習(xí)方法。課前不預(yù)習(xí)，學(xué)到的知識(shí)課后不及時(shí)復(fù)習(xí)和應(yīng)用，作業(yè)存在著敷衍和抄襲的情況。在后續(xù)的專(zhuān)業(yè)課學(xué)習(xí)中學(xué)生不會(huì)將數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備作為解決專(zhuān)業(yè)應(yīng)用的方法，缺乏數(shù)學(xué)的思維和眼界。

（3）學(xué)生思想和情感分析：相較于其他一些課程，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)相對(duì)枯燥，尤其是在手機(jī)和網(wǎng)絡(luò)發(fā)達(dá)的今天，抖音、快手等APP中短視頻的短思維很大程度上影響了學(xué)生，學(xué)生更加傾向于喜歡簡(jiǎn)單、直觀的東西，而對(duì)學(xué)校學(xué)習(xí)的知識(shí)和內(nèi)容提不起興趣，甚至排斥。另外學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)有實(shí)用性學(xué)習(xí)的心理，大部分學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)未來(lái)的生活、工作和學(xué)習(xí)沒(méi)有助益，因此對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)只停留在應(yīng)付期末考試上，不重視。

1.2 教學(xué)內(nèi)容

“曲面的面積”這一部分內(nèi)容在第十章重積分的第四節(jié)，屬于二重積分的一個(gè)應(yīng)用。在這之前，通過(guò)“二重積分的概念和性質(zhì)”“二重積分的計(jì)算法”，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了二重積分的定義和計(jì)算。從以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，高等數(shù)學(xué)下冊(cè)尤其是積分這部分對(duì)于部分學(xué)生來(lái)說(shuō)是有一定難度的，學(xué)生普遍存在著難理解和不理解重積分是什么、怎么計(jì)算的情況。

1.3 教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：掌握元素法及其計(jì)算曲面面積，掌握重積分在曲面面積等問(wèn)題的應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：本節(jié)“曲面的面積”作為二重積分的應(yīng)用，難點(diǎn)有如下幾點(diǎn)：一是運(yùn)用元素法和二重積分將曲面面積公式推導(dǎo)出來(lái)，二是將此公式應(yīng)用到實(shí)際案例中，需要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的建模思想。

1.4 教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)目標(biāo)：掌握重積分元素法的使用和重積分在曲面面積等問(wèn)題的應(yīng)用。

（2）能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、自主學(xué)習(xí)能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)能力。

（3）素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的抽象思維能力、邏輯推理能力、自學(xué)能力，具備自我反思能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析和解決問(wèn)題的能力，體會(huì)科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值。

（4）價(jià)值目標(biāo)：使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)大有用武之地，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力、創(chuàng)新能力和大國(guó)工匠精神。增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感，厚植學(xué)學(xué)生的民族責(zé)任感和使命感，弘揚(yáng)愛(ài)國(guó)奮斗精神。培養(yǎng)學(xué)生勇攀科學(xué)高峰的學(xué)習(xí)和科研精神。

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 第一步（2分鐘）

主要任務(wù)：通過(guò)知識(shí)復(fù)習(xí)和回顧、天通一號(hào)03星成功發(fā)射的案例，導(dǎo)入新授內(nèi)容。

教師活動(dòng)：提問(wèn)和知識(shí)回顧──元素法和二重積分的計(jì)算，同時(shí)導(dǎo)入天通一號(hào)03星發(fā)射升空的案例，提出問(wèn)題──天通一號(hào)衛(wèi)星為什么是3顆，即為什么3顆衛(wèi)星就能覆蓋全地球，每顆衛(wèi)星能覆蓋多大面積？引導(dǎo)學(xué)生思考。

學(xué)生活動(dòng)：回顧知識(shí)點(diǎn)，仔細(xì)觀看案例視頻，思考教師提出的問(wèn)題。

目的意圖：知識(shí)回顧一方面為了銜接新課內(nèi)容，另一方面為新授知識(shí)做預(yù)備工作。案例導(dǎo)入可以吸引學(xué)生的注意力，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)興趣，通過(guò)提出問(wèn)題的形式引導(dǎo)學(xué)生思考，引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)達(dá)到思政目標(biāo)。

2.2 第二步（14分鐘）

主要任務(wù)：講授新課──重積分的應(yīng)用之曲面的面積。

教師活動(dòng)：采用板書(shū)和多媒體結(jié)合的教學(xué)方式，通過(guò)“溫故+學(xué)新”的教學(xué)方式和自主合作探究的方式講授新課知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)傳授數(shù)學(xué)建模、歸納類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想。

學(xué)生活動(dòng)：“溫故+學(xué)新”，掌握新授內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)，通過(guò)自主合作探究的方式推導(dǎo)曲面面積的計(jì)算公式，歸納類(lèi)比寫(xiě)出其他兩個(gè)計(jì)算公式。

目的意圖：提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考；講授新課的同時(shí)，利用自主合作探究的方式培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)、數(shù)學(xué)建模思想和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

2.3 第三步（3分鐘）

主要任務(wù)：解決第一步引入案例時(shí)提出的問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)建模方法，利用新授知識(shí)點(diǎn)解決。

教師活動(dòng)：提示和引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，利用新授知識(shí)解決問(wèn)題。

學(xué)生活動(dòng)：結(jié)合教師的提示和引導(dǎo)，思考解決問(wèn)題的方法。

目的意圖：鞏固知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生思維能力和利用重積分解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用能力。

2.4 第四步（1分鐘）

主要任務(wù)：知識(shí)總結(jié)。

教師活動(dòng)：結(jié)合板書(shū)和PPT課件總結(jié)本次課程的主要內(nèi)容和重難點(diǎn)，介紹涉及的參考文獻(xiàn)資料。

學(xué)生活動(dòng)：隨教師總結(jié)，再次快速消化與理解，把握重難點(diǎn)。

目的意圖：全面總結(jié)復(fù)習(xí)，為下次課做準(zhǔn)備；參考文獻(xiàn)資料的介紹方便學(xué)生更深層次的、進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。

3 教學(xué)過(guò)程

3.1 復(fù)習(xí)導(dǎo)入和案例導(dǎo)入

首先，正式開(kāi)始新課講授之前，帶領(lǐng)學(xué)生將前面的內(nèi)容復(fù)習(xí)一遍。一方面作為銜接引入新課的內(nèi)容，如上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二重積分的計(jì)算及其在曲頂柱體體積和平面薄片質(zhì)量上的應(yīng)用，那二重積分還可以應(yīng)用在哪些方面呢？另一方面可以回顧上節(jié)課所講的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)為接下來(lái)新課使用這些知識(shí)點(diǎn)做預(yù)備工作。

然后，觀看天通一號(hào)03星發(fā)射升空的視頻。2021年1月20日零時(shí)25分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭，成功將天通一號(hào)03星發(fā)射升空。天通一號(hào)衛(wèi)星移動(dòng)通信系統(tǒng)是我國(guó)自主研制建設(shè)的衛(wèi)星移動(dòng)通信系統(tǒng)，由空間段、地面段和用戶(hù)終端組成。天通一號(hào)03星發(fā)射入軌后將與地面移動(dòng)通信系統(tǒng)共同構(gòu)成天地一體化移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)，為中國(guó)及周邊、中東、非洲等相關(guān)地區(qū)，以及太平洋、印度洋大部分海域用戶(hù)，提供全天候、全天時(shí)、穩(wěn)定可靠的話(huà)音、短消息和數(shù)據(jù)等移動(dòng)通信服務(wù)。

思政元素：通過(guò)此案例激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，厚植學(xué)學(xué)生的民族責(zé)任感和使命感，弘揚(yáng)愛(ài)國(guó)奮斗精神。培養(yǎng)學(xué)生勇攀科學(xué)高峰的學(xué)習(xí)和科研精神，分享“心存大志、潛心鉆研、科技強(qiáng)國(guó)”的道理。

3.2 提出問(wèn)題，引出學(xué)習(xí)內(nèi)容

引導(dǎo)學(xué)生思考天通一號(hào)衛(wèi)星為什么是3顆，即為什么3顆衛(wèi)星就能覆蓋全地球，每顆衛(wèi)星能覆蓋多大面積？由于地球是球體的形態(tài)，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求曲面的面積，引出本節(jié)的內(nèi)容：曲面的面積。

3.3 知識(shí)學(xué)習(xí)

3.3.1 數(shù)學(xué)建模，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的建模能力

通過(guò)對(duì)衛(wèi)星覆蓋面積問(wèn)題的分析，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)描述。問(wèn)題一般化為曲面的面積的求解，建立數(shù)學(xué)模型：

思政元素：這一過(guò)程可示范數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)的建模過(guò)程，可提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的建模能力。

3.3.2 提示和引導(dǎo)，感受“以平代曲”和“化大為小”思想

如何計(jì)算曲面的面積呢？給學(xué)生展示國(guó)家大劇院和泰安龍曦大酒店的圖片，請(qǐng)學(xué)生仔細(xì)觀察圖片，會(huì)發(fā)現(xiàn)所看到的曲面實(shí)際是由若干平面拼接而成，提示和引導(dǎo)學(xué)生思考，在小的范圍內(nèi)可以用平面近似曲面，此過(guò)程可以感受分割思想、“以平代曲”和“化大為小”思想。

思政元素：利用我國(guó)標(biāo)志性建筑和身邊的實(shí)例建筑引入課程教學(xué)內(nèi)容，巧妙傳達(dá)數(shù)學(xué)思想的同時(shí)，滲透美學(xué)教育。

3.3.3 “溫故+學(xué)新”的教學(xué)方式和自主合作探究的方式推導(dǎo)計(jì)算公式

對(duì)于學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)，由于時(shí)間較久或者學(xué)生掌握不牢、不及時(shí)，因此學(xué)習(xí)新知──曲面面積公式時(shí)可以簡(jiǎn)單回顧舊知──元素法，可以更好地進(jìn)行新課的講授和理解。

思政元素：學(xué)習(xí)就像建房子，基礎(chǔ)很關(guān)鍵，生活也是如此。

推導(dǎo)面積公式時(shí)，可以將學(xué)生分組進(jìn)行自主合作探究實(shí)驗(yàn)，從身邊取材：準(zhǔn)備兩張相同的A4紙，其中一張彎曲成一曲面，另一張作為其在某點(diǎn)的切平面，此切平面與桌面成一定角度，切平面的面積記為，切平面在桌面上的投影面積記為，兩者的關(guān)系為

此部分采用自主合作探究的方式讓學(xué)生自主探索面積公式，可以提升學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)以及動(dòng)手能力，然后教師采用傳統(tǒng)的板書(shū)形式，演示推導(dǎo)公式的嚴(yán)謹(jǐn)過(guò)程，可以融入思政點(diǎn)：嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。

3.3.4 歸納類(lèi)比，寫(xiě)出另外兩個(gè)公式

3.4 數(shù)學(xué)建模，解決問(wèn)題

問(wèn)題：為什么3顆衛(wèi)星就能覆蓋全地球，每顆衛(wèi)星能覆蓋多大面積？

建模：天通一號(hào)03星覆蓋地球的一個(gè)曲面，假設(shè)其距離地面高度為36000千米，運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，地球是半徑為6400千米的球體，那么該衛(wèi)星覆蓋地球的面積是多少。

求解：取地心為坐標(biāo)原點(diǎn)，地心到通信衛(wèi)星中心的連線(xiàn)為z軸，建立坐標(biāo)系。

此時(shí)衛(wèi)星覆蓋的地球曲面的方程

求解出來(lái)此衛(wèi)星覆蓋面積與地球表面積之比約為42.5%，即每顆衛(wèi)星覆蓋了全球超過(guò)三分之一的面積，因此使用天通一號(hào)使用三顆衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面。

思政元素：通過(guò)此案例使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)大有用武之地，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力、創(chuàng)新能力和大國(guó)工匠精神。

3.5 思考

（1）太空中飛船運(yùn)行至距離地球45000km時(shí)從此飛船上可以看到的地球表面積是多少？

（2）人類(lèi)可以觀察到的地球表面積的最大值是多少？此時(shí)距離地球多遠(yuǎn)？

4 教學(xué)反思

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是重積分中的一個(gè)章節(jié)──重積分的應(yīng)用的一部分，而重積分對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較難理解的一部分，特別是重積分的應(yīng)用，需要學(xué)生在理解重積分定義、元素法和掌握計(jì)算的基礎(chǔ)上，能結(jié)合實(shí)際問(wèn)題運(yùn)用元素法等多種技巧分析解決實(shí)際問(wèn)題。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)情分析，本次課利用傳統(tǒng)板書(shū)和多媒體多種授課方式結(jié)合，并采取教師啟發(fā)講授、適當(dāng)點(diǎn)撥和學(xué)生探究學(xué)習(xí)的綜合教學(xué)方法。在教學(xué)過(guò)程中由教師啟發(fā)講授，充分發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，結(jié)合我國(guó)時(shí)事新聞熱點(diǎn)“天通一號(hào)03星成功發(fā)射”和教材，讓學(xué)生能夠切實(shí)體會(huì)重積分應(yīng)用的重要性和廣泛性；同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)方法和思想，激發(fā)學(xué)生的興趣，從而形成完整的概念體系并培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力。