基于共軛曲線的羅茨泵轉(zhuǎn)子漸開線型線設(shè)計

薛海燕，陸祖鑫，杜海寧

（甘肅彥皓工程技術(shù)有限公司，蘭州 730000）

0 引言

羅茨真空泵是一種在真空行業(yè)廣泛應(yīng)用的容積式抽空泵，其一對轉(zhuǎn)子相向轉(zhuǎn)動以實現(xiàn)抽氣，因此轉(zhuǎn)子作為核心部件是決定羅茨泵性能的重要因素之一。目前，針對型線的設(shè)計研究較多，有的專注于轉(zhuǎn)子新輪廓探索；有的專注于幾何設(shè)計與分析；有的專注于新的設(shè)計方法等。當(dāng)前，市場上的羅茨泵轉(zhuǎn)子型線主要有圓弧、漸開線、擺線等多種型線，或彼此間組合型線[1-5]。現(xiàn)階段羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計主要采用幾何分析的方法，尤其是對于漸開線轉(zhuǎn)子型線的分析求解[6-10]，設(shè)計分析過程復(fù)雜。羅茨泵轉(zhuǎn)子型線為中心對稱和軸對稱曲線，轉(zhuǎn)子運(yùn)行過程中兩型線始終保持連續(xù)相切接觸。因此可將轉(zhuǎn)子型線視為一對相向轉(zhuǎn)動的共軛曲線，并運(yùn)用共軛曲線的特性求解羅茨泵轉(zhuǎn)子的型線[11-12]。依據(jù)羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的特點，建立轉(zhuǎn)子1/8的漸開線和頂部圓弧，然后求解已知1/8型線的共軛曲線，最后，根據(jù)對稱性設(shè)計獲得整個羅茨泵漸開線轉(zhuǎn)子型線。

1 轉(zhuǎn)子漸開線分析

首先，羅茨泵漸開線型轉(zhuǎn)子型線有2個獨立可變參數(shù)，一般為節(jié)圓半徑為R1及壓力角αmin；據(jù)此，在△FDO中，漸開線基圓的半徑OD=R0=R1cos αmin，此時節(jié)圓的方程為

圖1 羅茨泵轉(zhuǎn)子型線

1.1 漸開線設(shè)計

圖2 漸開線型線分析圖

圖3 漸開線方程求解

過點M作基圓的切線，切點為I，連接OI，則在△MIO中OM長度的計算公式為

直線MI與節(jié)圓相交于點J，MI是漸開線發(fā)生線，也是其法線，因此M點逆時針旋轉(zhuǎn)φ時與其共軛曲線相切，φ=αmin-ψ-∠FOG，由前面分析可知∠FOG=αmin-π/4，因此可得

據(jù)此，由式（2）～式（5）就可以確定羅茨泵轉(zhuǎn)子漸開線的范圍及其方程。

式中，自變量γ角度取值范圍為（αmin，π/2）。

由式（7）和式（8）便可確定羅茨泵漸開線轉(zhuǎn)子型線的1/8部分，然后由共軛曲線特性求解出其對應(yīng)的1/8轉(zhuǎn)子型線，便可根據(jù)轉(zhuǎn)子型線的對稱性獲得整個轉(zhuǎn)子型線。

1.2 共軛曲線部分

共軛曲線可以描述為給定運(yùn)動規(guī)律的一對光滑曲線在運(yùn)動過程中沿給定接觸方法始終保持連續(xù)相切接觸[11]。對于給定的運(yùn)動過程中的兩條共軛曲線，滿足如下條件：1）曲線是光滑的規(guī)則曲線；2）在每一時刻，曲線作點接觸，即沿著接觸點相切；3）兩條曲線在一個周期內(nèi)，均在唯一的時刻進(jìn)入接觸；4）兩條曲線互為共軛曲線。

如圖4所示，建立共軛曲線的3個坐標(biāo)系，分別為x1O1y1、x2O2y2、xOy，簡稱坐標(biāo)系S1、S2和S。平面中任意點M在3個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2）、（x，y），其中S1與S2為動坐標(biāo)系，S1與轉(zhuǎn)子1固定，S2與轉(zhuǎn)子2固定，S為固定坐標(biāo)系。各坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系分析如下[11-12]。

圖4 共軛曲線中的3個坐標(biāo)系

假設(shè)某一時刻，羅茨泵2個轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)至圖5所示位置，其中轉(zhuǎn)子1逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子2順時針旋轉(zhuǎn)，此時坐標(biāo)系S與S1之間的關(guān)系可以表示為：

圖5 共軛曲線中坐標(biāo)系的變換

式中：φ1為坐標(biāo)系S1在某一時刻旋轉(zhuǎn)的角度；d1為O點至O1點的距離。

同理求得坐標(biāo)系S與S2之間的變化關(guān)系：

式中：φ2為坐標(biāo)系S2在某一時刻旋轉(zhuǎn)的角度；d2為O點至O2點的距離。

由式（9）和式（10）可知坐標(biāo)系S1到S2的關(guān)系為：

式中：d為坐標(biāo)系S1和S2原點間的距離。對于羅茨泵，2個轉(zhuǎn)子相向轉(zhuǎn)動，尺寸大小一致、轉(zhuǎn)速相同，因此方程中φ1=φ2，式（11）可簡化為：

綜上，羅茨泵漸開線型線的設(shè)計流程如圖6所示。

圖6 羅茨泵漸開線轉(zhuǎn)子型線設(shè)計流程

2 漸開線型線設(shè)計

按照上述分析步驟，假設(shè)某型羅茨泵轉(zhuǎn)子節(jié)圓半徑為R1=80mm，壓力角αmin=3π/10，則漸開線、共軛曲線、頂部和腰部的銷齒圓弧方程如下。

1）轉(zhuǎn)子型線漸開線部分方程為：

式中，自變量α角度取值范圍為（0.942，1.138）。

2）共軛曲線部分。共軛曲線部分由式（12）確定，其自變量φ的由式（6）確定。共軛曲線位于坐標(biāo)系S2中，需要將其移動至坐標(biāo)S1中，并瞬時針旋轉(zhuǎn)π/2。

3）頂部銷齒圓弧部分方程為：

式中，自變量γ角度取值范圍為（0.942，1.571）。

4）腰部銷齒圓弧部分方程為：

式中，自變量γ角度取值范圍為（2.199，3.142）。

根據(jù)式（12）～式（15）求解獲得1/4羅茨泵轉(zhuǎn)子曲線，如圖7所示。將其沿x軸和y軸分別作對稱圖形，得到羅茨泵轉(zhuǎn)子漸開線型線，如圖8所示。

圖7 1/4漸開線轉(zhuǎn)子型線

圖8 漸開線轉(zhuǎn)子設(shè)計型線

3 結(jié)論

綜上根據(jù)漸開線和共軛曲線特性分析求解羅茨泵轉(zhuǎn)子型線過程可獲得以下結(jié)論：1）羅茨泵轉(zhuǎn)子漸開線型線的設(shè)計可分為漸開線設(shè)計、共軛曲線設(shè)計及頂部和腰部圓弧設(shè)計3個部分；2）漸開線部分的設(shè)計中主要確定漸開線的發(fā)生線及其旋轉(zhuǎn)角，同時發(fā)生線又為漸開線的法線，其與節(jié)圓的交點旋轉(zhuǎn)至兩節(jié)圓相切點時，該點進(jìn)入嚙合；3）共軛曲線法設(shè)計過程中建立3個坐標(biāo)系及其轉(zhuǎn)換關(guān)系，其中兩個動坐標(biāo)系S1和S2與轉(zhuǎn)子固定且旋轉(zhuǎn)，固定坐標(biāo)系S位于兩個轉(zhuǎn)子中間。