金屬橡膠非對稱遲滯回線動力學建模研究

曹鳳利，宋彬，王懷光，劉金華

（陸軍工程大學石家莊校區,石家莊 050003）

0 引言

金屬橡膠是由細金屬絲經過纏繞、編織、成型、熱處理等工藝制備而成的多孔材料。制備成型的金屬橡膠構件可替代傳統的橡膠減震元件，解決其存在的不耐高低溫、真空中易揮發、減震頻帶窄、承載能力低等問題。金屬橡膠適用于國防工業、航空航天、交通運輸、石油化工等多種場合的苛刻環境，是一種應用范圍廣、特性優良的多功能減震材料[1-2]。

金屬橡膠在變形時，其內部勾連交錯在一起的金屬絲會產生變形和滑移，變形形成彈性力，而滑移摩擦形成阻尼力，兩種力相互作用即表現為宏觀上金屬橡膠的彈性恢復力。金屬橡膠恢復力的特性與構件成型工藝、加載方式、金屬絲材質、金屬絲物理參數等因素密切相關[3]。在外激勵的作用下，金屬橡膠恢復力曲線（遲滯回線）與位移變形一般為非對稱關系，工程上為了簡化計算，可將其近似按對稱曲線處理，但在非對稱性較強時，這種近似的對稱處理已不適于金屬橡膠非線性動力學特性的描述[4]。目前，用于描述金屬橡膠對稱遲滯回線的數學模型主要包括雙折線模型、跡法模型和混合阻尼模型等[5]，而非對稱遲滯回線為特殊形態的非線性曲線，數學建模難度大，分析困難，因此相關的研究較少[6]。

本文在參考前期鋼絲繩研究成果的基礎上，探索并提出了一種描述金屬橡膠非對稱遲滯回線的數學模型。該模型較好地反映了遲滯回線的非對稱性，為金屬橡膠非線性動力學特性分析提供了新的方法。

1 金屬橡膠非對稱遲滯模型的建立

1.1 鋼絲繩非對稱遲滯模型

Y. Q. Ni[7]對鋼絲繩的遲滯特性進行了深入研究，提出了非對稱遲滯模型，即：

由于模型（4）中包含結構復雜的非線性微分方程，加大了其分析難度。為此，吳善躍等[7]對該模型進行改進，將時間參數去掉，增加了一個常數項，從而簡化該模型。吳向榮等[8]又進一步將z（t）項由混合阻尼因子代替，簡化為另一種形式的模型。

鑒于金屬橡膠與鋼絲繩在阻尼產生的機理上具有一定相似性，故以吳善躍、吳向榮等的研究成果為基礎，結合金屬橡膠構件的特性對該模型開展進一步的應用研究。

1.2 改進的金屬橡膠非對稱遲滯模型

由于z（t）+F1a（t）項是奇函數，表示關于原點對稱的遲滯曲線，因此該式可用金屬橡膠對稱遲滯模型代替。目前，跡法模型是金屬橡膠對稱遲滯模型中應用較廣的一種[5]，它采用多項式函數擬合金屬橡膠恢復力曲線，并通過參數識別確定各項參數。恢復力曲線分為上下兩支，其上支曲線多項式函數表示為

而下半支曲線由位移的反對稱關系確定為

式中：k1、k3和k5分別為線性、三次和五次剛度系數；c和α分別為阻尼系數和成分因子。

由于遲滯曲線不一定在中心坐標原點，因此引入參數a，由式（10）得

式中，a、b為模型參數。

式（11）即為金屬橡膠非對稱遲滯模型。

2 金屬橡膠非對稱遲滯模型參數的識別

2.1 參數a、b的識別

金屬橡膠典型的非對稱遲滯回線如圖1 所示。由于非對稱模型式（11）中包含指數項，識別難度大，常規參數識別方法存在求解失敗的情況，因此參數a、b的識別采用參數分離識別的方法，具體參見文獻[7]。

圖1 金屬橡膠非對稱遲滯回線

2.2 參數k1、k3和k3的識別

對經分離變換后的數據（xi＇，Fi＇）進行最小二乘五次多項式擬合，得到冪函數多項式：

式中，k0、k1、k2、k3、k4、k5為多項式系數，而奇數項即為彈性恢復力的剛度系數。

2.3 參數c和α的識別

用已識別出的k1、k3、k5及數據xi＇，即可重構非線性彈性恢復力Fk＇（xi＇）為

由式（14）和式（8），采用一般參數識別方法即可識別出系數c和α，識別分解后的遲滯回線如圖2所示。

圖2 遲滯回線的分解

3 金屬橡膠動態試驗及模型驗證

3.1 金屬橡膠試驗系統

測試試驗系統（長春試驗機廠）包括試驗機（PLS-20）和采集系統（DH5936）兩部分，可實現最大載荷為20 kN、最高頻率為40 Hz的動態位移（±50 mm）加載試驗。

試驗金屬橡膠構件為圓盤形，采用奧氏體不銹鋼絲（材質：0Cr18Ni9Ti，直徑：0.3 mm，密度：7.9 g/cm3，彈性模量：198 GPa）制備而成，如圖3（a）所示。

試驗夾具結構形式如圖3（b）所示，主要由托盤（夾具固定端）、墊片、壓板、固定螺栓、螺母、拉桿（振動輸入端）組成。金屬橡膠構件位于托盤和壓板之間，試驗時的動態力由拉桿引入，帶動金屬橡膠構件產生結構變形。

圖3 金屬橡膠構件及夾具

3.2 模型驗證

為了驗證所建模型及參數識別方法的有效性，對圓盤形金屬橡膠構件進行頻率為5 Hz，預載分別為0.1、0.3、0.9、0.6 mm，振幅分別為2.0、4.1、4.8、5.1 mm的動態恒位移正弦加載。

為判定金屬橡膠遲滯回線的非對稱性，引入非對稱因子λ，即

式中，FA、FB為位移幅值時的恢復力。

對不同振幅最大位移處的恢復力值進行計算，根據式（15）得到振幅為2.0、4.1、4.8、5.1 mm時構件的非對稱因子分別為0.0336、0.0527、0.3378 和0.1516，可見上述恢復力曲線均為非對稱曲線。

從試驗中提取采樣信號xi和Fi，利用編制的參數識別程序進行參數識別，結果如表1所示。得到的金屬橡膠遲滯回線的理論預測曲線與試驗曲線的對比如圖4所示。

表1 模型的參數識別結果

通過參數擬合，得到各振幅時金屬橡膠構件的非對稱動力學模型，由圖4可以看出不同非對稱因子下的模型理論預測結果與實驗結果有較好的一致性，基本反映了非對稱遲滯回線的特性，表明本文所提出的理論模型是可靠的，能夠滿足工程應用的要求。

圖4 模型預測與試驗結果對比

4 結論

針對金屬橡膠遲滯回線的非對稱特性，在分析鋼絲繩非對稱遲滯模型的基礎上，結合用來表示對稱遲滯回線的跡法模型，建立了一種新的用于描述金屬橡膠非對稱遲滯回線的數學模型。采用參數分解和最小二乘法對具有不同非對稱因子λ的圓盤形金屬橡膠構件的非對稱遲滯回線進行參數識別，由參數識別結果得到理論模型，將理論曲線與試驗曲線對比，發現兩者吻合較好，反映了遲滯回線的非對稱特性，證實了模型具有一定的可靠性。該模型的提出為金屬橡膠非線性遲滯特性的動力學分析提供了新方法，對指導金屬橡膠的產品設計具有重要的價值。