基于馬爾可夫鏈的旅游軌道交通客流分配模型

董 皓 王何斐 雷佳祺

(北京公交有軌電車有限公司，100080，北京∥第一作者，高級工程師)

旅游交通通常定義為以旅游觀光為目的人、物、思想或信息在空間上的移動[1]。景區旅游交通是指游客在觀光游覽過程中產生的一系列交通現象，主要交通方式包括觀光軌道交通、觀光汽車、游覽船、直升機、索道及步行等。旅游交通受制于環境保護、生態保護和文物保護等影響，道路和停車設施往往難以擴容。為滿足景區發展規劃和游客接待量增長，快捷、舒適、大容量、全天候、環境友好的軌道交通逐步成為更優的選擇。

在城市軌道交通網絡客流分配模型和研究方面，可以將理論算法概括為隨機概率分配模型和用戶均衡分配模型兩類[2-3]。隨機概率分配模型是基于隨機效用理論，建立非集計模型計算路徑選擇概率從而實現客流分配[2]，通過建立包括區間、換乘節點、線路和網絡拓撲結構阻抗的綜合阻抗函數，采用Logit模型或Probit模型實現客流在公共交通網絡上的分配。用戶均衡分配模型基于Wardrop用戶均衡原理，目前已形成用戶均衡、隨機用戶均衡和動態用戶均衡客流分配理論[2-3]。文獻[4]提出在公共交通網絡客流擁塞和多重路徑場景下的動態用戶均衡客流分配模型。文獻[5]構建基于用戶和服務均衡理論的結構化網絡公共交通客流分配模型。此外，國內外學者應用馬爾可夫鏈構建客流分配模型，通過矩陣運算實現在城市公共交通網絡上的分配[6-8]。然而，以旅游觀光為目的的出行活動在目的地、出行方式、出行路徑和出行鏈構成等方面與以其他目的的出行存在較大的不同之處[1]，傳統的客流分配方法在旅游軌道交通網絡客流分配中的應用存在明顯的局限性。

對以漫游方式的出行鏈的交通需求預測可以采用概率過程模型或效用理論，前者簡便且適用性強，但在解釋轉移概率和空間選擇等方面存在不足；后者適用性強，可分析景點魅力度的測度[1]。為克服馬爾可夫鏈在軌道交通規劃中客流分配階段的缺陷和不足，本文通過結合旅游阻抗函數和效用理論的方式，實現對旅游軌道交通客流分配的目的。所提模型適用于旅游交通場景，對客流預測和客流精細化管理具有一定的指導意義和實用價值。

1 問題描述

在旅游軌道交通線路規劃時，通常以現狀公交網絡作為分析對象，判定現狀公共交通客運需求和運輸能力匹配情況，識別主要客流走廊和大客流區間，搭建以旅游軌道交通為骨干，常規旅游巴士及其他方式為補充的多層次公共交通網絡。城市通勤出行中，乘客通常提前制定出行計劃，其中包括出發時間、出行路徑和出行方式，同時有出行時間最短、換乘次數最少、出行費用最低等要求。在旅游觀光出行中，游客傾向于選擇漫游遍覽的方式，但這樣的出行方式會增加廣義出行成本。使用傳統城市軌道交通客流分配方法獲得的結果往往與實測結果相去甚遠，這也對旅游軌道交通線路規劃提出新的要求。

旅游觀光出行過程可簡化為游客從出發站點經過多個中間站點到達目的站點，該過程可視為從出發站點按照一定轉移概率選擇經過各中間站點最終到達目的站點。通過對中間站點的選擇判斷路徑選擇，從而實現區間客流分配，而中間站點的選擇則受到景點和旅途中的乘車、換乘、游覽、餐飲、消費和住宿等出行目的選擇的影響。從廣義上講，上述過程滿足馬爾可夫鏈“無后效性”原則，游客在站點間的轉移過程視為狀態轉移，后續站點的選擇條件分布獨立于前序站點的選擇，僅與當前站點的選擇相關，因此游客在出行過程中的路徑選擇行為滿足馬爾可夫鏈條件[6]。

2 理論建模

2.1 馬爾可夫鏈

在馬爾可夫鏈中，將網絡中的站點視為馬爾科夫過程中的狀態，網絡中兩相鄰車站間的客流移動視為馬爾可夫過程中的狀態轉移。根據馬爾科夫性，游客在從出發站點到達目的站點的過程中重復完成狀態轉移，狀態轉移概率之和為1。

將網絡定義為由n個站點組成，其中出發站點為g個，目的站點為h個。將目的站點與其他站點間的客流轉移概率用馬爾可夫狀態轉移矩陣表示，則有：

(1)

式中：

S——非目的站點到目的站點的轉移概率矩陣；

Q——非目的站點間的轉移概率矩陣。

若站點間不存在直接有效路徑連接，則轉移概率為0，將非目的站點間的轉移概率矩陣定義為：

(2)

式中：

Q1——出發站點到中間站點的轉移概率矩陣；

Q2——中間站點間的轉移概率矩陣。

根據馬爾可夫鏈性質，從出發站點i(i=1,2,…,n)經過n次轉移到達站點j(j=1,2,…,n)的概率為矩陣Qn的元素(i,j)。游客從出發站點到其他各站點需要經歷多次狀態轉移，因此，將游客從出發站點到達網絡上各站點的概率定義為I+Q1+Q2+…(I為單位矩陣)，假設矩陣Q滿足Hawkins-Simon條件[8]且各階矩陣之和收斂，則滿足下列條件：

(3)

式中：

2.2 旅游阻抗函數

將游客出行行為選擇集定義為乘車、換乘、游覽、餐飲、消費、住宿，將目的站點對應的行為選擇指標定義為站間距、車站500 m半徑景點覆蓋率、周邊景點游客接待量、餐飲用地面積、零售用地面積、酒店和民宿床位數。考慮到上述指標量綱不同，因此將上述指標做歸一化處理。站點選擇旅游阻抗指標如表1所示，其中：xkij為站點i至站點j的旅游阻抗指標k(k=1,2,…,6)歸一化前的指標。

表1 站點選擇旅游阻抗指標Tab.1 Tourist impedance index of station selection

(4)

式中：

zkij——站點i至站點j的旅游阻抗指標k歸一化后的指標。

基于隨機效用理論，使用上述指標定義站點i至站點j的旅游阻抗函數aij(aij≥0)為：

(5)

式中：

θk——指標k的待定參數；

σ——隨機誤差項。

建立站點i至站點j旅游阻抗函數aij與站點i至站點j第r條路徑的廣義出行成本crgh的關系：

(6)

式中：

δrgh,ij——出發站點g與目的站點h之間兩相鄰中間站點i和j存在路徑r，則取值為1；否則為0。

2.3 狀態轉移概率

根據站點旅游阻抗函數的定義描述相鄰站點間的狀態轉移情況[8]，定義矩陣Vn×n的元素(i,j)如下：

(7)

式中：

λ——分散度系數。

則矩陣Vn×n的元素(i,j)平方運算滿足下列條件：

(8)

式中：

vid——站點i至中間站點d的狀態轉移量；

vdj——中間站點d至站點j的狀態轉移量；

aid——站點i至中間站點d的旅游阻抗函數；

adj——中間站點d至站點j的旅游阻抗函數；

c2ij——站點i與站點j之間第2條路徑的廣義出行成本。

因此，矩陣Vn×n的元素(i,j)的y次方滿足下列條件：

(9)

將矩陣Vn×n各次方求和，根據式(3)可得：

W=V+V2+V3+…=(I-V)-1-I

(10)

矩陣Wn×n的元素(i,j)表達式為：

(11)

式中：

cr，ij——站點i與站點j之間第r條路徑的廣義出行成本。

參考基于隨機效用理論的行為選擇模型，將狀態轉移概率(條件概率)與站點i對站點j的旅游阻抗函數aij、站點j至目的站點h的廣義出行成本cjh、站點i至目的站點h的廣義出行成本cih的關系定義如下：

P(j∣i)=exp[-λ(aij+bjh-bih)]=

(12)

式中：

bjh——站點j至目的站點h的阻抗；

bih——站點i至目的站點h的阻抗；

wjh——站點j至目的站點h的狀態轉移概率；

wih——站點i至目的站點h的狀態轉移概率。

(13)

式中：

cr,jh——站點j至目的站點h第r條路徑的廣義出行成本;

cr，ih——站點i至目的站點h第r條路徑的廣義出行成本。

(14)

通過式(1)求得狀態轉移概率為正，且滿足以下條件：

路徑選擇概率滿足以下條件：

exp(-λcrgh)exp[-λ(bhh-bgh)]=

(16)

式中：

bhh——目的站點h與目的站點h的阻抗，取值為0；

bgh——出發站點g與目的站點h的阻抗。

2.4 站點選擇概率

2.5 單OD點對區間客流分配

由式(16)可以看出，基于馬爾可夫鏈的單OD點對客流分配方法與Logit客流分配模型表達式形式類似，將各OD點對在路徑r上的分配客流量累加計算可獲得路徑r的客流量。對于特定OD點的客流分配，計算求得站點選擇概率P(i)gh與狀態轉移概率P(j|i)gh，兩者的乘積為相鄰站點i至站點j的區間選擇概率P(ij)gh，則有：

P(ij)gh=P(i)ghP(j∣i)gh

(17)

特定OD點對在站點i和站點j的區間分配客流量fij,u為OD量ugh與區間選擇概率P(ij)gh的乘積，站點i和站點j的區間分配客流量fij為所有相關OD點對在區間ij上的分配客流量累加，則有：

(18)

2.6 算法邏輯

輸入站點選擇旅游阻抗指標，經過9個步驟可以實現區間客流分配量的輸出，算法邏輯如圖1所示。

圖1 算法流程圖Fig.1 Flow chart of algorithm

3 算例分析

選取五臺山風景名勝區作為案例。該景區通過規劃旅游軌道交通疏解當前道路通行能力不足、停車能力不足和交通治理混亂等問題。在軌道交通線網規劃中的線路布設階段，通過將現狀OD數據加載至公交網絡識別大客流走廊和區間，為旅游軌道交通規劃中的線路路由、線路布設、敷設方式和制式選型提供依據。

所截取的局部道路公交網絡如圖2所示。將出發站點設為黛螺頂站，目的站點設為菩薩頂站，共有6路、7路、202路、204路4條道路公交線路和7條路徑可供選擇。

圖2 局部道路公交網絡示意圖Fig.2 Diagram of local road public transport network

3.1 參數估計與檢驗

根據式(4)和式(5)計算五臺山風景名勝區內所有車站旅游阻抗指標，根據式(6)以及OD矩陣測算相鄰站點的轉移概率，共獲得40組觀測樣本。然后通過多元非線性回歸實現各指標待定參數估計。模型回歸結果和模型參數估計結果分別如表2和表3所示。其中：F值為F檢驗的指標，通過F檢驗則至少一個自變量和應變量存在顯著影響關系；t值為t檢驗的過程值，表征自變量和應變量之間影響關系的顯著性；模型1為第1次回歸分析結果；模型2為第2次回歸分析結果。由表2和表3可以看出，指標z5ij的顯著性=0.487>0.05，因此作為非顯著性評價指標將其剔除后，進行第2次回歸分析；第2次回歸分析的所有指標顯著性均小于0.01，證明各指標非常顯著，模型2調整后的決定系數=0.684，擬合效果較好。指標z1ij系數為正值，證明其與旅游阻抗函數呈顯著正相關關系，指標z2ij、z3ij、z4ij和z6ij為負值，證明上述4個指標與旅游阻抗函數呈顯著負相關關系。

表2 模型回歸結果Tab.2 Model regression result

根據參數估計結果，待定參數θ1、θ2、θ3、θ4和θ6取值分別為4.173、-3.790、-2.850、-4.678和-4.223，隨機誤差項σ取值為5.741。根據式(6)和式(17)計算區間客流分配量，對分散度系數λ進行敏感性分析，檢驗λ在不同取值情況下的MCA(基于馬爾可夫鏈的旅游軌道交通客流分配)模型客流分配結果，如圖3所示。由圖3可知，即便λ取值存在差異，各區間客流分配結果與實測值相對較為相符，當λ=0.15時，分配結果最接近實測值，從而驗證了MCA模型在路徑選擇應用中的科學性和有效性。

表3 模型參數估計結果Tab.3 Estimation result of model parameters

圖3 分散度系數靈敏性分析Fig.3 Sensitivity analysis of dispersion coefficient

3.2 模型預測結果對比

為進一步驗證不同模型在旅游出行路徑選擇場景下的應用效果，通過交通仿真軟件分別使用MCA(λ=0.15)、全有全無(AON)、用戶均衡(UE)和隨機用戶均衡(SUE)客流分配模型計算6個區間的客流分配量。

4種模型在各區間的客流分配量計算結果與實測值相對誤差的中心和散布情況如圖4所示。由圖4可知，從宏觀來看，MCA和UE的相對誤差中位數和四分位間距顯著小于AON和SUE,然而，UE在黛螺頂站—普壽寺站區間的分配結果與實測值的相對誤差為異常值，由此可以判斷，MCA分配精度更高且更可靠。

圖4 區間客流分配量相對誤差箱線圖

為進一步驗證4種分配方法的計算精度，分別計算4種方法在m個區間上的客流分配結果與實測值的平均相對誤差RME和均方根誤差RMSE，則有：

(19)

(20)

式中：

fm——分配客流量模型；

f′m——實際客流量。

4種區間客流分配量模型的計算結果及實測客流量如表4所示。平均相對誤差和均方根誤差計算結果如表5所示。

表4 不同區間的實測客流量和各模型的計算客流量Tab.4 Field-measured passenger flow and calculated passenger flow in each model of different intervals

表5 不同客流分配量模型的指標計算結果

根據平均相對誤差和均方根誤差計算結果可知，在本算例場景下，各模型的平均相對誤差計算結果排序為MCA(6.07%)

由此可見，本文所提出的基于馬爾可夫鏈的旅游軌道交通客流分配模型的精確度和計算效率均較高。城市軌道交通和道路公交具備共性特征，以往諸多研究將道路公交客流分配方法應用在軌道交通客流分配實踐中[7]，本模型同樣適用于軌道交通規劃中的客流分配及運營管理中的客流精細化分析。

4 結語

1) 提出基于馬爾可夫鏈的旅游軌道交通客流分配模型，使用與乘車、換乘、游覽、餐飲、消費和住宿等選擇行為相關的6項指標量化相鄰兩站的旅游阻抗，通過站點轉移矩陣和站點選擇矩陣運算求得路徑選擇概率，從而實現單OD點對在區間上的分配。

2) 以五臺山風景名勝區實際案例為研究背景，使用實際數據通過多元線性回歸對旅游阻抗函數進行參數估計，旅游阻抗指標零售用地面積為非顯著變量被剔除，除站間距為正相關顯著變量外，其他4項指標均為負相關顯著變量，計算出調整后的決定系數值為0.684，擬合效果較好，分散度系數λ的近似解為0.15。旅游阻抗函數的構造和參數估計有助于篩選出影響游客出行選擇的顯著變量，同時影響客流分配結果的合理性和準確性。

3) 對比4種區間客流分配量模型與實測結果的相對誤差中心和散布情況，發現MCA相對誤差中位數和四分位間距最小，且不存在顯著異常值。

4) 通過計算與實測數據的平均相對誤差和均方根誤差，對比4種模型的計算精度排序為MCA>UE>SUE>AON，計算時間排序為AON

本文提出的基于馬爾可夫鏈的旅游軌道交通客流分配模型更適用于旅游交通場景，對客流預測和客流精細化管理具有一定的指導意義和實用價值。