聯合載荷下改進的角接觸球軸承擬靜力學分析模型

王延忠，鄂世元，賈彥蓉，馬新忠，謝斌

(1.北京航空航天大學，北京 100191；2.洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039；3.高性能軸承數字化設計國家國際科技合作基地，河南 洛陽 471039；4.河南省高性能軸承技術重點實驗室，河南 洛陽 471039)

滾動軸承是機械領域廣泛應用的基礎零部件，角接觸球軸承能同時承受徑向、軸向載荷，且剛性及高速性能優越，在各類精密機械上廣泛應用，其性能將直接影響主機的性能[1]。

國內外學者均采用擬靜力學分析軸承的變形及載荷分布等[2-6]：文獻[7]最先提出球軸承擬靜力學模型，將溝道控制理論作為球運動的邊界條件，使軸承運動非線性方程組存在唯一解，但模型求解速度慢，且計算結果存在一定的誤差；文獻[8]基于經驗拖動力計算公式取代溝道控制理論改進擬靜力學模型，計算結果誤差較小，但模型求解速度慢。擬靜力學模型多采用牛頓-拉弗森迭代法求解，迭代初值選取不當易導致計算結果收斂困難。隨計算機技術的發展，文獻[9]基于迭代變量之間的幾何約束關系，由程序計算出合理的迭代初值，避免了迭代初值選取的盲目性；文獻[10]提出了一種牛頓-拉弗森迭代法的改進算法，引入中間變量，減少了未知量數目，提高了計算速度；但上述模型均未考慮軸承內圈偏移對其受力平衡的影響。

針對上述模型的不足，考慮軸承內圈偏移對其受力平衡的影響，建立角接觸球軸承擬靜力學模型，在傳統牛頓-拉弗森迭代求解的基礎上引入對迭代初值的幾何約束，并與傳統算法對比驗證優化算法的正確性。

1 角接觸球軸承擬靜力學模型

傳統角接觸球軸承擬靜力學分析方法是在軸承靜力學基礎上，考慮球的離心效應、陀螺力矩和接觸變形，計算得到某一瞬時軸承內部載荷分布、球轉速、內圈位移等。由于軸承運動狀態復雜，為簡化計算，建立擬靜力學分析模型時通常做以下假設：1)球軸承符合剛性套圈假設；2)可以采用溝道控制理論建立球與內、外圈之間的運動關系；3)忽略球沿運動方向的作用力以及內圈、球與保持架之間的相互作用；4)不考慮球與內、外圈之間的潤滑。

軸向載荷一般通過套圈或與軸承相連的軸的軸肩周向施加，理論計算中將其等效為軸向載荷Fa、徑向載荷Fr(通過軸傳遞給內圈的徑向載荷)以及傾覆力矩M(軸向載荷施加過程中可能存在的偏心現象而產生的力矩)，如圖1所示。

1.1 單個球的幾何變形協調方程

Δij=Dw(fi-0.5)+δij，

(1)

Δej=Dw(fe-0.5)+δej，

(2)

式中：fi，fe分別為內、外圈溝曲率半徑系數；Dw為球直徑；δij，δej分別為球與內、外圈的接觸變形量；ri，re分別為內、外圈溝道半徑。

內、外圈溝曲率中心的軸向、徑向距離分別為

A1j=Asinα0+δa+risinθcosφj，

(3)

A2j=Acosα0+δrcosφj-Ri(1-cosθ)cosφj，

(4)

A=ri-re-Dw，

α0=arccos(1-Gr/2A)，

Gr=Di-De-2Dw，

φj=2π(j-1)/Z，

式中：A為內、外圈溝曲率中心距；α0為初始接觸角；δa，δr，θ分別為內圈的軸向位移、徑向位移和傾角；Gr為徑向游隙；Di，De分別為內、外圈溝底直徑；φj為第j個球方位角；Z為球數。

根據幾何關系可知，第j個球與內、外圈的接觸角可表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：X1j，X2j分別為球與外圈溝曲率中心的軸向距離和徑向距離。

由(1)～(8)式可得單個球的幾何變形協調方程為

(9)

(A1j-X1j)2+(A2j-X2j)2-

[Dw(fi-0.5)+δij]2=0。

(10)

1.2 球受力平衡方程

根據溝道控制理論，當軸承高速運轉時，球受離心力作用會與內圈分離，陀螺力矩完全由球與外圈的摩擦力平衡。球受力示意圖如圖4所示，受力平衡方程為

(11)

式中：Qij，Qej分別為球與內、外圈的接觸載荷；Mg j為球所受陀螺力矩；Fcj為球所受離心力；λij，λej為修正系數，隨載荷變化，且λij+λej=2；ωm為球公轉角速度；ωR為球自轉角速度；ω為內圈角速度；Dpw為球組節圓直徑；J為球轉動慣量；m為球質量；β為球姿態角。

1.3 內圈受力平衡方程

xwj=X1j-Dw(fe-0.5)sinα0，

(12)

(13)

考慮內圈質心從(0，0)移動至(δa，δrcosφj)，球與內圈接觸點的坐標為

(14)

(15)

第j個球對內圈的作用力矩對應的力臂hj為

(xij-δa)tanαijsinαij,

(16)

內圈受力平衡方程組為

(17)

2 牛頓-拉弗森迭代法的初值約束

上述模型通常采用牛頓-拉弗森(N-L)迭代法求解，但易因迭代初值選取不當導致計算結果收斂困難，在此基于軸承幾何關系約束初值[10]。該算法迭代包括δa，δr，θ和球心與外圈溝曲率中心的位置關系X1j，X2j。由圖2幾何關系可知，球與內、外圈的接觸變形量δij，δej均為正值，以此約束X1j，X2j初值，X1j，X2j初值應滿足Δij>Dw(fi-0.5)，Δej>Dw(fe-0.5)，即球心位于以外圈溝曲率中心為圓心，半徑為Dw(fe-0.5)的圓和以內圈溝曲率中心(A1j，A2j)為圓心，半徑為Dw(fi-0.5)的圓之外，如圖6所示。

以(0.5A1j，0.5A2j)為初始點，上述兩圓會出現相交的情況，將初始點沿與內、外圈溝曲率中心連線的垂直方向向上平移，得到新的初始點，判斷其是否在兩圓內，并循環直至得到合適的初始點。軸承擬靜力學分析模型算法流程圖如圖7所示。

3 實例分析

以NSK 7016A5角接觸球軸承為例進行分析，其主要結構參數見表1。軸向載荷為3 500 N,徑向載荷為88.5 N[11]。

表1 7016A5角接觸球軸承主要結構參數

當轉速為8 000 r/min時，收斂精度相同的情況下，優化前、后的算法計算結果見表2，優化后的算法迭代次數少，且規避了因初值選取不當而導致算法收斂困難的問題，使角接觸球軸承非線性方程組的求解速度進一步加快。

表2 優化前、后的算法對比

在Fa=3 500 N，Fr=88.5 N的聯合載荷下，不同方位角的球與溝道的接觸角、接觸載荷隨轉速的變化分別如圖8、圖9所示：1)隨轉速升高，內圈接觸角增大，外圈接觸角減小；2)不同方位角的球與套圈的接觸載荷不同，方位角為0°的球與套圈的接觸載荷最大；3)隨轉速升高，內圈接觸載荷減小，外圈接觸載荷增大。

4 結束語

針對傳統角接觸球軸承擬靜力學分析模型的不足，考慮軸承內圈偏移對其力學平衡的影響，建立軸承擬靜力學分析模型，在牛頓-拉弗森迭代法求解的基礎上引入了對迭代初值的幾何約束，選取合適的初值，解決了因初值不當導致算法收斂困難的問題，并提高了計算速度。文中方法可為該類軸承的設計和分析提供參考。