問題引發思考 培養創新意識

北京市順義區教育研究考試中心 張秋爽

創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程中。學生自己發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括、形成猜想和總結規律，并加以驗證，是創新的重要方法。創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終。

一、在關鍵處提問題，凸顯數學核心概念

數學學習就是要滿足學生的好奇心，使其不僅知道是什么，還要知道為什么。課堂上要給學生發現問題、提出問題的時間，這樣做的目的：一是解決學生心中的疑惑，滿足他們的需求；二是凸顯數學的核心概念，讓學生感悟數學的本質，為后續學習打好基礎。

“11~20各數的認識”一課，講述了古人用大石頭、小石頭表示11~20各數的故事，教師可以引導學生用直觀的學具——小棒進行表示，認識10個1就是1個10。接下來，教師還可以為學生介紹計數器，但是，怎么介紹好呢？

我們班學生有一半已經認識了計數器，他們會告訴你“左邊放一顆珠子代表10，右邊放一顆珠子代表1”對于這部分知識，怎樣讓每個學生都能知其然又知其所以然呢？

師：剛才我們欣賞了聰明的古人用1個大石頭和1個小石頭表示出11，也能用1捆和1根小棒表示11。你還能用什么表示11呢？

師：咱們的學具袋中有很多珠子，有顏色不相同、大小相同的珠子；有顏色相同、大小不相同的珠子；也有顏色相同、大小也相同的珠子。請同學們從中挑兩顆珠子表示11，試試看。

（學生獨立思考，嘗試后進行交流）

生1：（邊說邊撥）我拿一個珠子放在計數器的十位上表示1個10 ，拿一個珠子放在個位上表示1個1，這就是11。

生2：為什么長得一樣，一個表示10，一個表示1呢？

生3：為什么大小一樣、顏色也一樣的兩個珠子能表示11，不是2個珠子表示2嗎？

師：好問題，真會發現問題和提出問題。不著急，讓我們再來聽聽其他同學的想法，相信大家的問題就能解決了。

生1：我拿一個大珠子表示1個10，拿一個小珠子表示1個1。

生2：我拿一個大珠子表示1個10 ，放在上邊，拿一個小珠子表示1個1，放下邊。

師：大珠子、小珠子就像大石頭、小石頭一樣，放上邊、下邊可以，放左邊、右邊也可以，和位置沒有關系。

生1：我拿兩個大小一樣的珠子，藍色代表1個10，綠色代表1個1。

生2：我也是拿兩個大小一樣的珠子，綠色代表1個10，藍色代表1個1。

生3：我拿的是紅色和黃色的珠子，黃色的代表1個10，紅色的代表1個1；反過來也行。

師：同樣大小的兩顆珠子，選擇兩種不同的顏色，只要事先約定，就可以表示出11。那你們有拿形狀相同、顏色也相同的兩顆珠子表示11的嗎？能表示嗎？

生：我覺得兩顆一模一樣的小珠子只能表示2，它就是兩個，不能表示11。

師：是呀，我也是這么想的。

生1：我覺得可以把1個小珠子看成10，另一個小珠子看成1。

生2：可是這兩顆小珠子長得一模一樣，又不是一個大一個小，難以分辨。

師：是呀，同樣大小的珠子你怎么能讓所有人都知道到底誰是10誰是1呀？

生：在一顆珠子上寫個10，在另一顆珠子上寫個1不就行了。

師：其實，剛才他的想法和我們數學家的想法特別像，數學家為我們制作了計數的工具，快來看（出示計數器），認識嗎？

師：既然兩顆小珠子長得一模一樣，我們就用位置來區分。請看計數器，從右邊起第一位是個位，個位上有幾顆珠子表示幾個一；從右邊起第二位是十位，十位上有幾顆珠子就表示幾個十。所以兩顆一模一樣的珠子一個放在個位，一個放在十位，就表示11。

師：你們還有什么問題嗎？

生：兩顆長得一模一樣的珠子還能代表幾呢？

師：真會提問題！你能順藤摸瓜，從一點出發向多個角度提問，值得大家學習。關于他的問題，同學可以先撥一撥再回答。

生：兩顆珠子還可以表示2，把兩顆都放在個位。（學生們沉默了，沒有了其他答案）

師：兩顆珠子還可以表示20，放在哪兒呢？

生：兩顆珠子放在十位，就表示20。

師：對呀！結合大家的回答，我們就明白了，兩顆珠子都放在個位表示2個1，都放在十位，表示2個十，還可以1顆放個位，1顆放十位，表示11。

生：兩顆珠子可以表示11，12可以用幾顆珠子表示？13呢？

師：同學們，表示12用幾顆珠子？十位放幾顆？個位放幾顆？誰愿意回答？

生：3顆珠子可以表示12，1顆放在十位，2顆放在個位；4顆珠子可以表示13，3顆在個位，1顆在十位。

本節課內容是學生認識數位的開始，也是學生進一步理解數位和計數單位的重要基礎。教師根據學情，從結論出發，抓住學生的困惑，從困惑出發，把靜態的知識設計成動態生成的過程，給學生提供了思考的空間，使其產生疑惑，師生共同發現和提出一連串的問題，在互動交流中解決疑惑，從而碰撞出智慧的火花，幫助學生真正理解“不同數位上的數可以表示不同的數值”。感悟在計數器上用小珠子表示數的價值，拓寬了學生的視野，從結論本身走向知識的形成過程，詮釋了由淺入深的思維層次。

水平1：“大珠子、小珠子”與“大石頭和小石頭”“一梱小棒和一根小棒”具有異曲同工之妙，都分別用來表示10和1，一個大石頭或一梱小棒可以表示10，一個小石頭或一根小棒可以表示1，所以可以表示11。而大珠子、小珠子有大小之分，表示的數分別是10和1，石頭放在哪兒都不影響數的大小，大石頭表示的數總是10，小石頭表示的數總是1，和位置沒有關系，學生容易接受，但呈現在計數器上，大小不一樣的珠子不便于交流。

水平2：形狀相同、顏色不一樣的兩顆珠子也可以表示11，只要事先有約定，不同顏色的珠子放在哪兒都可以，約定后不影響它們代表數的大小，和位置無關，但呈現在計數器上，約定的種類就更豐富了，需要做解釋和說明。

水平3：長得一模一樣的兩顆珠子不好區分，需要在一顆珠子上寫上“10”，在另一顆珠子上寫上“1”，就能表示11。這正是位值制的本質，同樣的數放在不同數位上表示不同的值。

本節課，讓學生在關鍵處提問題，教給他們順著桿接著問，從多角度思考，把握知識的來龍去脈，在這個過程中，學生初步形成了符號意識，也促進了他們的數學理解，為其后續學習大數的認識打下基礎。

二、在對比中提問題，凸顯知識關聯

發展學生發現和提出問題的意愿和能力是學習的重要目標，也是創新的基礎。真正的學習是從學生發現和提出問題開始的，不斷產生疑問，探究知識的奧秘，繼而成為學習的動力。

在學習“2、5、3的倍數的特征”時，學生可以通過舉例，經歷不完全歸納推理的過程，得出2、5的倍數只看個位，而3的倍數要看各個數位上的數字之和是否是3的倍數。學生能把特征記下來，并用它去判斷一個數是不是2的倍數、5的倍數或3的倍數，難道這就是我們學習的目標和價值追求嗎？數學不是記憶，除了獲得這些知識技能外，課堂上還要讓學生收獲些點什么？數學是理解，要從工具性理解到關系性理解。教師在教學過程中，要進行對比和勾連。

師：看到“2、5、3的倍數的特征”這個課題，你有什么問題？

生1：2的倍數、3的倍數、5的倍數有什么特點？

生2：為什么2、5的倍數的特征只看個位？不看其他的數位呢？

生3：為什么3的倍數的特征看個位不行，要看各數位上的數之和才能判斷呢？

……

如何讓學生能理解這樣的概念呢？教師可以擺一擺、分一分、畫一畫、說一說，然后大家一起交流。

生1：我們學過2的乘法口訣，一二得二、二二得四、二三得六……二九十八，個位上的數是0、2、4、6、8，因此，我認為2的倍數的特征是個位是0、2、4、6、8的數。

生2：你的發言啟發了我，5的乘法口訣，個位不是0就是5，沒有其他的數字，所以個位上是0或5的數，就是5的倍數。

生3：我拿12根小棒，也就是1捆和2根小棒；1捆10根小棒是2的倍數，只需要看2根是否是2的倍數就可以了，所以2的倍數只看個位就可以了。

師：你能把剛才表達操作過程的文字語言轉化成數學語言嗎？也就是用一個算式來說明。

生1：12÷2=（10+2）÷2=10÷2+2÷2，整十部分就不看了，直接看個位數是不是2的倍數就能判斷12是不是2的倍數。

生2：我拿54根小棒，也就是5捆和4根小棒，整捆的表示整十數，整十數肯定是2的倍數，那么只需要看個位有幾根小棒，也就是有幾個一，個位是4，4是2的倍數，所以54就是2的倍數。

生3：我在計數器上撥一個數136，也就是1個百、3個十和6個一，100肯定是2的倍數，30也肯定是2的倍數，所以只看個位，其他位就可以不看了。其實只需要看個位是單數還是雙數，個位是6，是雙數，因為6是2的倍數，所以136就是2的倍數。

生4：以此類推，一個數是不是2的倍數，只需要看個位就可以了，因為所有的整十數、整百數、整千數等都是2的倍數，就不用考慮了。

學生在操作中感悟數的分與合，通過列舉多個例子，進行了合情推理的過程，明白了2的倍數為什么只看個位，個位是0、2、4、6、8的數就是2的倍數的道理，做到了知其然更知其所以然。

同理，在學習5的倍數時，教師也可以讓學生操作，經歷不完全歸納法的過程，明白知識的來龍去脈。在此基礎上，讓學生動手操作小棒，自己尋找3的倍數的特征。

生1：我拿54根小棒，也就是5捆和4根小棒，即5個十和4個一，個位是4，所以不是3的倍數。

生2：僅看個位好像不行，5個十不是3的倍數，4個一也不是3的倍數，無法判斷。

生3：是呀，54是3的18倍，按照經驗看個位不行了。我選擇的數是72，也就是7捆和2根小棒，表示7個十和2個一，單看個位，不是3的倍數，可72是3的24倍。

師：討論到這兒，你們有什么問題或感覺？

生1：我感覺 54根小棒不能按照整捆的和單根的那樣去分了。

生2：那應該把小棒分成兩部分，讓其中一部分就是3的倍數，只看其余的部分就行了？

師：這個辦法好！你是如何考慮的？

生：我們學習2、5的倍數的特征，都是先分出一部分固定不變的，這固定不變的部分一定是2的倍數或5的倍數，然后再看另一部分。

師：你能夠用舊知聯想，進行類比遷移，是一種非常好的辦法。問題是按照我們認數時的分解和組合的方式不合適了，該怎么拆分呢？

生1：我知道3的倍數的特征要看各數位上的數字之和是不是3的倍數，就能判斷。如54，先看5+4的和，和是9，9是3的倍數，54就是3的倍數；82不是3的倍數，因為8+2的和是10，10不是3的倍數。

生2：為什么是這樣的呢？54明明是50+4，怎么能變成5+4呢？

師：你很會提問題，從是什么到為什么，發現問題并提出問題，還把自己心中的困惑清晰地表達出來，大家一起討論。這才是數學學習所追求的，數學是講道理的，弄清楚其中的道理能讓我們體會解決問題的方法和思考的新角度。請大家看我手里的小棒，認真思考，看看還是和原來那樣拆分嗎？

（師出示5捆和4根小棒）

師：這是54，剛剛說過5捆不是3的倍數，也就是10不是3的倍數，我們可以把每捆小棒看作是“9+1”，9是3的倍數，拿走9根，1捆剩下1根，5捆就是5個“9+1”，5個9不用考慮了，剩下5個1，所以5捆的50，我們只需要判斷剩下的5和4合起來是否是3的倍數即可。

生：老師，我明白了，您操作小棒的過程可以這樣記錄：54=5×（9＋1）+4=5×9+（5+4），5×9一定是3的倍數，不用考慮了，就看剩下的余數5+4的和9，5+4的和是9，9是3的倍數，所以54就是3的倍數。

師：在操作中感悟，在感悟中質疑，在聯系中理解，在理解的基礎上遷移。同學們的疑問就能解決，你們還有新的發現或問題嗎？

生1：2、5、3的倍數的特征表面上看著沒聯系，難道真的一點聯系都沒有嗎？

生2：為什么只學2、5、3的倍數的特征？其他數的特征就不學了呢？

生3：6、9的倍數的特征和3的倍數的特征有聯系嗎？

生4：4的倍數的特征看個位行嗎？看個位不行的話，看全部行嗎？還是和2的倍數一樣，看某些位就行呢？

生5：2×5=10，2和5的倍數看個位；4×25=100，是不是4的倍數、25的倍數就看后兩位？看個位和十位行嗎？

生6：7的倍數有什么特征呢？

……

這些問題使學生們眼前一亮，也讓他們渴望尋找答案。教師只有給學生發現問題和提出問題的時間和空間，才能激發他們不斷地想、持續地想、關聯地想，也給他們后續的研究提供了素材。最終，每個學生都能始終保持思考的狀態，發現和提出問題，用所學知識和方法解決自己感興趣的問題。

三、在無疑處提問題，拓展學生的思考維度

在學習“長、正方體的認識”時，我們非常強調根據幾何元素去觀察。對于長、正方體來說，它的幾何元素就是面、棱和頂點，其中個數和關系是元素的思考維度。

學生都知道長方體有6個面、12條棱、8個頂點。在單元復習課上，需要教師引領學生思考：

（1）長方體為什么有6個面？你怎么知道的？

（2）長方體有12條棱，這12條棱的長度和位置關系如何？

（3）長方體有8個頂點，每一個頂點和面、棱的關系是什么？

師：你們可以從中選擇一個問題進行獨立思考，然后交流。

生1：長方體有6個面，我是通過實物數出來的，有上、下面，左、右面和前、后面。相對的面都是長方形，也可能有一組面是正方形，面積相等。

生2：我們在三年級學過長方形，長方形有4條邊，4個角。如A4紙就是長方形的，把一張張A4紙擺在一起，就是一個長方體。

生3：受同學的啟發，我想到把一張長方形的紙向上平移，請大家想象，掃過的空間就形成了長方體。原來下面是4條邊、4個角，平移后出現一個上面，也有了4條邊和4個角，此時就是8條邊、8個角，在上、下面之間起支撐作用的還有4條邊，與此同時，在四周又出現了前、后、左、右四個面，所以一共是6個面、12條邊、8個角。

師：角是構成平面圖形的元素，是從一點引出兩條邊組成的圖形。在長方體中的角已經由兩條邊變成了相交于一點的三條邊。為了區分平面圖形和立體圖形，在立體圖形中，邊就變成了棱，角就變成了頂點。

在這里，其他問題的互動交流不再贅述。

張丹教授研究的“問題引領式學習”包括三個要點：（1）學會提問，發展學生發現和提出問題的意愿和能力是學習的重要目標；（2）因問而學，真正的學習從學生發現問題開始，不斷產生問題也成為學習的動力；（3）問學交融，學生一方面在不斷地發現、提出、分析、解決問題中學習、應用和發展所學的知識、方法，另一方面在學習過程中不斷發現和提出問題。所以教師要善于提問，要給予學生質疑的時間和空間，激發學生的好奇心和求知欲，培育學生的核心素養。