證據學習：讓學生數學學習深度發生

張 琴

（泰興市黃橋小學教育集團十橋校區，江蘇 泰州 225400）

所謂“證據”，是指一種事物對于另一種事物的證明關系。小學數學教學要培養學生的證據意識，發展學生的論證能力，提升學生的論證品質。在實施證據學習的過程中要注重證據的獲取、證據的應用、證據的分享及證據的反思。通過證據學習，能讓學生的數學學習能力獲得較大的提升。

一、經歷：在尋獲證據的過程中提升學習參與度

學生的數學學習首先是一種經歷，經歷是一個積累活動經驗、尋獲證據的過程。在證據學習的過程中，學生能深度思考和探究。如果學生在數學學習中只是蜻蜓點水、浮光掠影地一帶而過，沒有獲得數學學習的感受和體驗，那么知識和技能就不能被有效地內化。試想，如果沒有深入地參與學習，學生思考問題如何能做到全面、深刻？因此，教師要想辦法提升學生學習數學的參與度，進而讓學生沉浸于學習中。在數學教學中，教師要引導學生主動地提出問題、分析問題和解決問題，從而有效地尋獲證據。總之，經歷學習過程是達成數學學習目標的先決條件。

尋獲證據是需要時間和精力的。沒有思維含量的、被動參與的、膚淺的，甚至虛假的數學學習對學生是沒有幫助的，只有深入數學學習中，學生對證據才能獲得真正的認知。

比如，在教學“解決問題的策略——列舉”時，筆者設置了前置性的學習任務，賦予學生充分的獨立思考空間。結果發現，無論何種思維水平的學生都能從題目中找尋到關鍵性的證據，即“22根1米長的木條圍成1個長方形花圃”。與此同時，筆者也發現不同思維水平的學生對于這樣一個關鍵性證據的理解卻存在著較大的差異：有的學生思維比較模糊，有的學生思維清晰卻不簡約，有的學生思維簡約卻無序，有的學生思維清晰、簡約且有序。據此，筆者在教學中重點呈現數學思考、探究的過程，引導學生從長方形花圃示意圖入手，讓他們感知22根1米長的木條拼在一起的長度就是長方形的周長。通過這樣的學習經歷，學生會獲得更深刻的探究體驗。

與傳統的“經驗主導型”教學不同，基于證據的數學教學不再一味地依憑經驗，而是更加強調證據的重要性。在數學教學中，教師要引導學生養成“證據意識”——閱讀要收集證據，思考要依憑證據，表達要出示證據。證據學習既能讓學生的數學思維呈現一種原質狀態，又能將教師的數學思維敞亮于學生眼前。

二、研討：在分享證據中的過程提升學習清晰度

著名教育家斯托利亞爾指出，數學教學是數學活動（思維過程）的教學。思維活動不僅包括學生個體的思維活動，還包括學生群體的思維活動。學生個體的思維活動是一種思考與探究，學生群體的思維活動是一種交流與研討。學生個體的學習活動需要尋獲證據，學生群體的學習活動需要分享證據。通過證據的分享，學生可以調整證據、修正證據、完善證據。而研討交流能讓學生在分享證據的過程中提升數學學習的清晰度。

證據不僅讓學生的個體學習留下了痕跡，還讓學生群體的學習留下了痕跡。在數學教學中，教師可以先引導學生通過“寫一寫”“畫一畫”“說一說”“做一做”等方式呈現學習過程，然后通過傾聽、觀察、收集學生的證據，對學生的學情作出較為科學的研判。

比如，在教學“簡單的統計”這部分內容時，為了讓學生經歷收集數據、整理數據的過程，筆者播放了一段在校門外拍攝的視頻錄像，讓學生統計家長接送孩子的交通工具使用情況及各種交通工具在兩分鐘內的流量數據。結果發現學生統計方法的不同之處：有的學生單槍匹馬，看錄像看得頭暈目眩，因而統計數據雜亂無章，出現了許多錯誤；有的學生分工明確，統計的數據非常精準。

基于此，筆者引導學生對搜集證據的方法進行深度交流：“為什么有的同學忙得不亦樂乎，卻沒有收集到正確的數據？為什么有的同學輕輕松松就能收集到準確的數據？通過對搜集證據過程的研討，學生認識到了小組分工的重要性。在交流的過程中，學生充分表達了想法。通過傾聽、觀察，學生對收集數據的方法有了新的認識。證據研討促進了學生對證據的理解。

數學教學就是要引導學生學會用證據說話、用證據學習。證據的形式是多樣的，有真實的、有力的、關鍵的證據，也有虛假的、無力的、蒼白的證據；有直接證據，也有間接證據。教師要引導學生研討證據、分享證據，讓學生感受、體驗到證據的重要性及搜集證據所用方法的重要性。通過證據研討，讓學生進行有層次的交流，以此促進每個學生的發展。

三、反思：在修正、充實、完善證據的過程中提升知識融合度

眾所周知，數學教學真正的目的除要讓學生“學會”以外，更為重要的是讓學生“會學”。有人說，沒有反思就沒有真正的數學學習。在數學教學中，證據不一定是科學的、有效的。證據是否合理、是否科學、是否有效，需要教師引導學生在積極反思、評價中作出判斷。只有不斷地反思證據，學生才能修正證據、補充證據、完善證據。

反思不是對學習的簡單回顧或者重復，反思是要求學生回溯在證據推理過程中所運用的知識、方法、思路、策略是否科學、合理。

比如，在教學“平行四邊形的面積”時，有學生猜想平行四邊形的面積等于“底乘以高”，也有學生猜想平行四邊形的面積等于“底乘以斜邊”。筆者追問學生，產生這一猜想的證據是什么。有學生說，因為平行四邊形可以推拉成長方形，長方形的長相當于平行四邊形的底，長方形的寬相當于平行四邊形的斜邊，而長方形的面積是“長乘以寬”，所以平行四邊形的面積等于“底乘斜邊”；還有的學生認為，因為平行四邊形可以剪拼成長方形，長方形的長相當于平行四邊形的底，長方形的寬相當于平行四邊形的高，所以平行四邊形的面積等于“底乘以高”。顯然，學生所謂的“證據”夾雜著他們的模糊概念、錯誤推測。為了提高學生的認知，筆者引導學生比較證據、反思證據、研討證據。通過對證據的深度交流，學生認識到：將平行四邊形轉化成長方形不能采用推拉的方法，而要采用剪拼的方法。因為在推拉平行四邊形的過程中面積發生了變化，而在剪拼平行四邊形的過程中面積沒有發生變化。反思證據讓學生對知識點的認知從模糊走向清晰、從膚淺走向深刻、從零碎走向整體。

反思證據要求教師持續地跟蹤學生的學習情況。只有持續跟蹤才能把握學生的論證過程，從而讓學生的論證不偏離方向。反思證據、豐富證據、完善證據能讓學生把握證據之間的鏈接點，幫助他們進行有效的證據推理。基于證據的學習是一種真實的學習，只有真實的學習才能實現學生核心素養的提升。