運用線段雙中點問題類比雙角平分線問題

■高倩

幾何教學是初中數學教學的重點，也是數學課堂教學的重要組成部分。幾何問題中出現最多的就是中點、中線和角平分線，然而初入中學的學生缺乏這些意識，在面對幾何問題時，不能第一時間構造輔助線來解決。在學習雙角平分線時，學生們常常一知半解，應用起來也不夠熟練。為了解決這一問題，教師在平時教學過程中可以采用類比法，讓學生在掌握線段雙中點問題的基礎上類比雙角平分線，通過不斷訓練，培養學生的類比意識，為接下來的應用做好鋪墊。

一、類比學習基本概念

想要學好幾何知識，并將其進行應用，首先要對幾何知識的基本概念進行掌握和內化。當學生在初學新概念時，常常難以理解，這時教師可以結合學生的基本學情，運用舊知識來類比新知識，消除學生的陌生感，促進學生對新知識的理解。這一過程，不僅有利于學生的思維轉化，還有利于學生構建新的知識框架，為接下來的應用鋪平道路。

以“雙角平分線問題”為例，學生知道什么是角平分線——從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫作這個角的角平分線。但是對于什么是雙角平分線，學生很難理解。這時，教師為學生展示線段雙中點問題的概念：已知兩條相鄰線段的中點，求兩個中點之間的距離，叫作線段雙中點問題。筆者再引導學生運用類比法思考和探討雙角平分線問題，最終總結出概念：已知兩個相鄰角的角平分線，那么，求這兩個角平分線組成的角的度數，叫作雙角平分線問題。經過類比，不僅降低了理解的難度，還讓學生對雙角平分線問題有了清晰的認識，同時，也讓學生樹立了類比思想。學生通過已有的知識來類比未知的內容，從而提升了學習能力，為今后的發展奠定基礎。

二、類比掌握判定方法

在掌握了基本的概念后，學生在解答這類題目時，要明確線段雙中點問題和雙角平分線問題的判定，鞏固理解概念。掌握判定方法有利于學生在面對相同問題時，能夠從容解答，完善自身的知識框架。同時，判定方法的類比降低了學生的學習難度，為完善幾何體系提供了一定的保障。

例1若點M在線段AB上，點N在線段BC上，則下列等式中:，能說明點M和點N分別是線段AB和BC中點的有（ ）。

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

在判斷點M和點N是否為AB和BC的中點時，需要結合線段雙中點問題的概念。首先，兩條線段必須是相鄰的線段；其次，點M平分AB，即AM=MB，同樣N點平分BC，即BN=NC；最后，根據分析選擇正確的選項B。學生在得出這一結果后，筆者運用類比的方法引出雙角平分線的判定。

例2若AE為∠BAC內的一條射線，AF為∠CAD內的一條射線，則下列等式中:①∠BAE=∠BAC+∠BAE；④∠FAC=∠CAD-∠DAF，能說明射線AE是∠BAC角平分線，射線AF是∠CAD角平分線的有（ ）。

A.①B.①②③C.①④D.①②③④

在作答例2時，學生同樣可以從雙角平分線問題的概念進行分析：因為射線AE是∠BAC的角平分線，那么同理，射線AF是∠CAD的角平分線，那么∠CAF=∠DAF=∠CAD。得出結論后，再運用逆向思維去選項中找到答案，最后選擇正確的選項C。

通過對比，我們發現線段雙中點和雙角平分線的判定方法類似。首先，我們需要根據概念判斷線段的中點和角的平分線；其次，將相鄰線段的中點和相鄰角的平分線進行融合；最后，從定義上找出線段雙中點和雙角平分線。

三、類比探究相關習題

為了檢驗學生對雙角平分線的理解和掌握，并且培養學生的數學思維，教師在講述線段雙中點題目時，可以運用類比法引出雙角平分線題目，讓學生在作答時對比其中的相似之處，在不斷的探究和分析中，掌握其中的內涵和方法，從而實現知識遷移。最后，通過最簡潔和熟悉的手段將問題解決，提升學生解決問題的能力。這一過程的開展不僅讓學生鞏固了線段雙中點的知識，還優化了學生對雙角平分線的內容的學習，最終將新舊知識進行融合，完善了自身的知識框架和數學體系。

例3已知線段AB=10cm，C為直線AB上一點，M、N分別為AC、BC的中點，若BC=4cm，求MN的長。

經過思考后，學生寫出了解題過程：

①當C點在線段AB中間時，∵AB=10，BC=4，∴AC=AB-BC=6，∵M是AB線段的中點，N是BC線段的中點MN=MC+CN=3+2=5（cm）；

②當C點不在線段AB中間時，AC=AB+BC=

故MN的長為5cm或7cm。

筆者看到學生的解題思路很清晰，解答過程也很順利，于是進行了知識遷移。

例4已知∠AOB=60°，∠BOC=40°，OM、ON分別為∠AOB、∠BOC的角平分線，求∠MON的度數。

在作答例4時，筆者提示學生同樣用類比的方法解題。于是，學生們模仿例3進行了作答，具體過程如下：

①當OC在∠AOB內時，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°-40°=20°，∵OM，ON分別平分∠AOC和∠BOC=20°，∴∠MON=∠MOC+∠NOC=10°+20°=30°；

②當OC不在∠AOB內時，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+40°=100°，∵OM，ON分別平分∠AOC和∠BOC=20°，∴∠MON=30°+20°=50°。

故∠MON=30°或50°。

通過類比例3，學生的思維得到了發展，從而在面對雙角平分線問題時，困難也能夠迎刃而解。為了鞏固學生對雙角平分線的認識，筆者增加了類比訓練：

1.已知線段AB=10cm，點C在線段AB上，BC=6cm，M、N分別為線段AB、BC的中點，求MN的長。

2.已知∠AOB=100°，∠BOC=70°，OM、ON分別平分∠AOB和∠BOC，求MON的度數。

四、教學反思

綜上所述，類比教學在幾何課堂中的應用有利于學生對幾何知識的掌握和內化。因此，在平時的教學過程中，教師要注意結合學生的基本學情和認知規律，讓學生在類比的過程中拓展幾何思維，通過構建新舊知識之間的聯系，最終形成知識框架，為今后的成長和發展奠定基礎。類比思想除了在線段雙中點問題和雙角平分線問題上進行應用外，還可以在其他的幾何知識中應用。所以，教師需要做更深入的研究和探討，為學生構建高效課堂，讓學生真正地喜歡上數學。