基于“數(shù)感”培養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究

奚硯居

(江蘇省豐縣東關(guān)小學(xué) 江蘇 豐縣 221700)

數(shù)感，是人對數(shù)及數(shù)量關(guān)系的感覺與體悟，是一種看似源于感性認(rèn)知，實則基于高階思維能力與深層理性思考的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、形成數(shù)學(xué)能力、開展數(shù)學(xué)實踐的重要前提與基礎(chǔ)。鑒于數(shù)感的重要性，本文從小學(xué)生的認(rèn)知特點與小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)特點出發(fā)，在剖析小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)感的內(nèi)涵及意義、培養(yǎng)的原則及特點的基礎(chǔ)上，嘗試從“在估算練習(xí)中建立數(shù)的直覺”、“在生活情境中理解數(shù)的意義”、“在數(shù)形結(jié)合中厘清數(shù)的概念”、“在多維思考中把握數(shù)的關(guān)系”、“在建模訓(xùn)練中理清數(shù)的邏輯”、“在生活實踐中深化數(shù)的體驗”等幾個方面，針對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)感的方法與途徑展開研究與探索。希望通過本文的論述，能夠推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)新，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

1.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)感的內(nèi)涵及意義

對于處于不同認(rèn)知階段和學(xué)習(xí)階段的學(xué)生來說，數(shù)感的內(nèi)涵可能不盡相同。下面，筆者針對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)感的內(nèi)涵及意義進(jìn)行敘述：

1.1 數(shù)感是學(xué)生對數(shù)量意義的理解。在小學(xué)階段，數(shù)量是最基礎(chǔ)、也最重要的數(shù)學(xué)概念，代表數(shù)學(xué)符號的特定意義。教師通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，能夠使學(xué)生對于數(shù)量的意義及內(nèi)涵有深刻而透徹的理解，這對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與實踐有著重要意義。

1.2 數(shù)感是學(xué)生對運算規(guī)則的理解。運算，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容和基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題的前提。而數(shù)感，指的是學(xué)生對于數(shù)與數(shù)之間的運算規(guī)則與規(guī)律的理解與感知。教師通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，能夠促進(jìn)學(xué)生運算能力的形成與發(fā)展。

1.3 數(shù)感是學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，無論是定理的闡述還是公式的運用，亦或是實際問題的解決，都是建立在對于數(shù)量關(guān)系的挖掘與利用的基礎(chǔ)上的。而數(shù)感，指的是學(xué)生對于數(shù)量關(guān)系的理解與運用。由此可見，教師通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，能夠幫助學(xué)生建立并理清數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，使學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題和解決問題。

1.4 數(shù)感是學(xué)生對數(shù)學(xué)思維的直覺。相比于“數(shù)感”，人們對于“語感”這個概念更為熟悉和重視。眾所周知，“語感”是一種建立在經(jīng)驗上的能力，是人們長期練習(xí)與積累之后形成的一種語言思維上的直覺；同理，“數(shù)感”也是一種建立在經(jīng)驗上的能力，是人們經(jīng)過長期練習(xí)與積累之后形成的一種數(shù)學(xué)思維上的直覺。因此，教師培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的過程，事實上也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過程。

2.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)感培養(yǎng)的原則與特點

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的時候應(yīng)該遵循以下原則，突顯以下特點：

2.1 長期性。“數(shù)感”是一種建立在經(jīng)驗之上的能力，是長期的感性認(rèn)知與理性思考相結(jié)合之下的產(chǎn)物。換言之，數(shù)感的形成絕非一蹴而就的過程，而是日積月累的結(jié)果。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該秉持長期性的原則，將數(shù)感的培養(yǎng)貫穿教學(xué)的全程。

2.2 滲透性。數(shù)感既是一種能力，也是一種感覺，是在潛移默化中逐漸形成的。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能急功近利，妄圖通過專項訓(xùn)練或?qū)倌K完成對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，而是應(yīng)該秉持滲透性原則，將數(shù)感培養(yǎng)融入到知識教學(xué)、習(xí)題演練、小組討論、課后實踐等各個教學(xué)環(huán)節(jié)當(dāng)中，以“潤物無聲”的方式，促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的形成與發(fā)展。

2.3 主體性。數(shù)感是學(xué)生的一種主觀感受與自我認(rèn)知，是在參與與體驗中逐漸形成的。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該秉持主體性原則，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)與合作探究中培養(yǎng)數(shù)感。

3.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)感培養(yǎng)的途徑與策略

3.1 在估算練習(xí)中建立數(shù)的直覺。所謂“數(shù)感”，很大程度上指的是學(xué)生對于數(shù)的敏感度。對于小學(xué)生來說，他們對于數(shù)的大小或多少往往沒有精確的認(rèn)識和敏銳的感知，這就是數(shù)感差的表現(xiàn)。為了扭轉(zhuǎn)這種現(xiàn)象，教師可以組織學(xué)生開展估算練習(xí)，使學(xué)生通過估算練習(xí)，對于數(shù)的大小、多少做到心中有數(shù)。這個過程看似是直覺養(yǎng)成的過程，實則是理性思考的過程，是數(shù)感逐漸養(yǎng)成的過程。

例如，在學(xué)習(xí)蘇教版一年級下冊《100以內(nèi)的加法和減法(二)》中“兩位數(shù)加兩位數(shù)(進(jìn)位)”這部分內(nèi)容的時候，教師可以為學(xué)生設(shè)計以下兩道估算題目：35+27=；47+52=。面對第一道題，學(xué)生知道：5+7的和超過10，需要進(jìn)位，而十位上3+2=5，進(jìn)位以后，十位數(shù)為5+1=6，所以，得數(shù)必然是六十幾；面對第二道題，學(xué)生知道：7+2=9，個位不向十位進(jìn)位，那么只需要直接計算十位數(shù)的數(shù)值。十位數(shù)上4+5=9,所以，得數(shù)必然是九十幾。當(dāng)然，還有思路更為活躍的同學(xué)，找到了更為簡便、更為準(zhǔn)確的估算方法：在第一道題中，35跟40接近，27跟30接近，40+30=70，則得數(shù)必然不大于70，不小于60；在第二題中，47跟50接近，52跟50接近，50+50=100，則得數(shù)跟100接近，且略小于100。在經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練之后，當(dāng)學(xué)生再看到“兩位數(shù)加兩位數(shù)(進(jìn)位)”的計算題的時候，雖然不能第一時間計算出得數(shù)，但是已經(jīng)能夠迅速估算出得數(shù)的大概區(qū)間，產(chǎn)生了對于數(shù)的“直覺”，而這種“直覺”顯然并非是憑空產(chǎn)生的，而是學(xué)生在潛意識里迅速對于算式中的數(shù)值進(jìn)行分析、對比與運算的結(jié)果。可見，這個過程，是思維運轉(zhuǎn)的過程，更是數(shù)感養(yǎng)成的過程。

3.2 在生活情境中理解數(shù)的意義。理解數(shù)的意義，是一項重要的數(shù)學(xué)能力，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)的前提。然而，“數(shù)”是一個抽象的概念，對于小學(xué)生來說，要理解數(shù)的意義并不是一件容易的事。針對這種情況，筆者建議教師在生活情境中向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)、闡釋數(shù)、講解數(shù)，讓學(xué)生依托生活情境，對于數(shù)的內(nèi)涵有正確的理解與認(rèn)知。這樣一來，學(xué)生對于數(shù)的理解能力上升了，數(shù)感也自然而言得到了培養(yǎng)。

例如，在學(xué)習(xí)蘇教版五年級上冊《負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識》中的“認(rèn)識正負(fù)數(shù)”的時候，為了讓學(xué)生理解“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”的概念，教師為學(xué)生舉了一些熟悉的生活案例。比如，教師向?qū)W生展示東北地區(qū)冬天和夏天的氣溫圖，并提出問題：“在冬天，東北的溫度是高于零上還是低于零上？那么，圖片中的-23℃表達(dá)的是什么含義？”再比如，教師向?qū)W生展示山峰和盆地的圖，并提出問題：“山峰和盆地，哪個高于地面，哪個低于地面？如果我們用正數(shù)表示山峰的高度，那么，我們用什么數(shù)表達(dá)盆地的高度？這說明正數(shù)和負(fù)數(shù)分別是什么意思？”教師通過為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生活情境，使學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗，理解了“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”的意義。在此基礎(chǔ)上，教師可以跟學(xué)生開展“正反話”的游戲。教師說：“向左走200米，我是+200。”學(xué)生就接：“向右走200米，我是-200.”教師說：“向上走三層，我是+3。”學(xué)生就接：“向下走三層，我是-3。”通過這種“正反話”游戲，教師使學(xué)生在不斷變換的生活情境中，逐漸加深對于“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”的理解與應(yīng)用能力。這樣一來，學(xué)生即使面對不同的題目條件與語言環(huán)境，也能夠?qū)τ谑褂谩罢龜?shù)”還是“負(fù)數(shù)”做出正確判斷與準(zhǔn)確應(yīng)用，這個過程，就是數(shù)感形成的過程。

3.3 在數(shù)形結(jié)合中厘清數(shù)的概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有很多十分相近的數(shù)的概念，很多時候，學(xué)生無法準(zhǔn)確區(qū)分這些概念，這導(dǎo)致在他們的腦海中，數(shù)字與數(shù)字之間的形態(tài)和意義都變得模糊不清，難以辨認(rèn)。顯然，在這種情況下，學(xué)生很難形成良好的數(shù)感。針對這種情況，筆者建議教師采用數(shù)形結(jié)合的方式，將抽象的數(shù)字與具象的圖形結(jié)合起來，從而利用圖形來闡述數(shù)字的概念，使學(xué)生能夠理解數(shù)字與數(shù)字之間的關(guān)系，區(qū)分?jǐn)?shù)字與數(shù)字之間的差異，從而建立良好數(shù)感。

例如，在學(xué)習(xí)蘇教版一年級上冊《10以內(nèi)的加法和減法》的時候，學(xué)生經(jīng)常會看到這樣的表述：“小明有5個蘋果，小麗的蘋果比小明的蘋果多3個，請問小麗有多少個蘋果？”或者“本學(xué)期小明得了9朵小紅花，小麗的小紅花比小明的小紅花少4多，請問小麗得了多少朵小紅花？”對于一年級的學(xué)生來說，他們很難將口語中的“多”和“少”跟數(shù)學(xué)中的“加”和“減”建立直接的聯(lián)系，那么，在他們的頭腦中，也很難建立起上述兩種表述中的“3”和“4”兩個數(shù)字的具體概念。針對這種情況，教師不妨讓學(xué)生采用線段圖的方式來呈現(xiàn)這些數(shù)字的概念。比如，學(xué)生畫了一條線段來表示5個蘋果，那么，他就需要在下面畫一條略長于5的線段，并將這個線段分成兩部分：一部分跟上面的線段等長，表示5，另一部分表示多出來的3。這樣一來，學(xué)生就能夠通過圖形，一目了然地認(rèn)清5和3兩個數(shù)字代表的意義以及二者的關(guān)系。可見，數(shù)形結(jié)合能夠幫助學(xué)生厘清數(shù)字的概念，使學(xué)生理解單個數(shù)字代表的意義以及一組數(shù)字之間的關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)感。

3.4 在多維思考中把握數(shù)的關(guān)系。具備對于數(shù)量關(guān)系的理解與表述能力，是形成數(shù)感的重要前提。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要如何培養(yǎng)學(xué)生的這種能力呢？教師不妨引導(dǎo)學(xué)生從不同層面、不同角度進(jìn)行多維思考。這樣一來，學(xué)生的思路能夠變得更加開闊，思維變得更加靈活，能夠更加快捷而準(zhǔn)確的發(fā)現(xiàn)和理順數(shù)量關(guān)系，從而促進(jìn)數(shù)感養(yǎng)成。

例如，在學(xué)習(xí)蘇教版一年級上冊《得數(shù)是10的加法和10減幾》的時候，如果教師直接帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行10以內(nèi)加減法的運算，則等同于直接確定了算式中的數(shù)量關(guān)系，難以引發(fā)學(xué)生的多維思考。相反，如果教師采用“分分合合”的小游戲，讓學(xué)生在數(shù)與數(shù)的“分”與“合”之間，體會不斷變換的數(shù)量關(guān)系，則有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和數(shù)感的形成。下面，我們結(jié)合具體案例進(jìn)行詳細(xì)闡述：在課前，教師分發(fā)給每個學(xué)生10根小木棍。在教學(xué)的第一環(huán)節(jié)，教師要求學(xué)生按照教師的口令，對小木棍進(jìn)行分組。比如，教師說：“把10分成4和6”，則學(xué)生按照指示，將10根木棍分成4個一組和6個一組。然后，教師再說：“把10分成3和7”，則學(xué)生再次按照指示完成操作。在這一過程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，一個看似簡單的數(shù)字10里面，居然蘊(yùn)含如此多變的數(shù)量關(guān)系，這能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生對于數(shù)量關(guān)系的理解能力；到了教學(xué)的第二環(huán)節(jié)，教師提高了游戲的難度，要求學(xué)生按照教師指令給小木棍分組之后，口述分組依據(jù)及結(jié)果。比如，學(xué)生按照教師的要求，把10分成了2和8。此時，學(xué)生口述道：“把10分成2和8，意味著2+8=10。”然后，教師要求學(xué)生將2藏起來。此時，學(xué)生口述道：“10個里面減去2，剩下8，意味著10-2=8。”顯然，在整個游戲過程中，學(xué)生的思維始終圍繞著數(shù)量關(guān)系的變化而不斷運轉(zhuǎn)。這樣一來，學(xué)生對于數(shù)量關(guān)系的理解與闡述能力必然得到鍛煉，數(shù)感也在潛移默化中得以迅速養(yǎng)成。

3.5 在建模訓(xùn)練中理清數(shù)的邏輯。所謂建模訓(xùn)練，指的是教師引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)邏輯在頭腦中建立直觀的數(shù)學(xué)模型，從而迅速理順數(shù)量關(guān)系的過程。通過建模訓(xùn)練，教師能夠幫助學(xué)生把握數(shù)的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，掌握數(shù)的邏輯。顯然，這個過程是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過程，也是數(shù)感形成的過程。因此，基于“數(shù)感”培養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該為建模訓(xùn)練創(chuàng)造機(jī)會，使學(xué)生在建模中強(qiáng)化學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)感。

例如，在學(xué)習(xí)蘇教版五年級下冊《簡易方程》的時候，教師可以借助“天平”來引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。比如，面對x+6=8這個方程，教師可以利用電子白板模擬天平平衡與傾斜的過程：首先，教師將x+6放在天平的左托盤上，這時，右邊的托盤是空的，因此，左托盤降了下來，右托盤升了上去；然后，教師將8放在右托盤上，此時，左右托盤重量相等，天平保持平衡。然后，教師從左邊托盤拿走6，讓學(xué)生想象一下，此時天平的狀態(tài)。經(jīng)過剛才的演示，學(xué)生已然了解到：當(dāng)天平一邊輕、一邊重的時候，天平就會向重的一邊傾斜。由于從左邊拿走了6，左邊變輕了，因此，天平要向右邊傾斜。此時，教師再向?qū)W生提出問題：“我們想什么辦法能讓天平再次達(dá)到平衡呢？”學(xué)生很快想出了答案：“左邊拿走了6，右邊也拿走6，兩邊就平衡了。”于是，隨著白板模擬演示的結(jié)束，學(xué)生也得出了x+6=8這個方程的結(jié)果。同時，理解了方程的求解邏輯和數(shù)量關(guān)系。可見，教師可以通過建模訓(xùn)練，幫助學(xué)生把握數(shù)的邏輯，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)感形成與發(fā)展。

3.6 在生活實踐中深化數(shù)的體驗。數(shù)學(xué)是一門實踐性很強(qiáng)的學(xué)科，如果學(xué)生始終學(xué)習(xí)教材中“制式化”的知識，解答書本上“理想化”的習(xí)題，則很難產(chǎn)生深刻的體驗，也很難真正形成清晰的思維邏輯和綜合的實踐能力，養(yǎng)成數(shù)感。因此，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識開展生活實踐，使學(xué)生在實踐中學(xué)會理解數(shù)的內(nèi)涵、理順數(shù)的關(guān)系、闡釋數(shù)的邏輯，從而形成數(shù)感。

例如，在學(xué)習(xí)蘇教版四年級上冊《“四舍五入”試商》的時候，很多學(xué)生習(xí)慣了“理想化”的解題環(huán)境，逢四則舍，逢五則入，完全缺乏從現(xiàn)實角度進(jìn)行辯證思考與綜合權(quán)衡的能力。針對這種情況，教師結(jié)合班級實際情況，向?qū)W生提出了下面的問題：班級要選購一批雜志。為了節(jié)約成本，避免浪費，教師決定以4人為一個閱讀小組，大家輪流傳閱，分享共讀。已知班級有33人，請問我們需要訂多少本雜志？剛開始看到這個問題，學(xué)生想當(dāng)然地采用了“四舍五入”的方式，認(rèn)定購買8本雜志就可以了。不過，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)，如果只買8本雜志，則有一個學(xué)生沒書可讀。顯然，當(dāng)把抽象的數(shù)學(xué)問題放置于現(xiàn)實生活中的時候，學(xué)生對于數(shù)的感知變得更加敏感與靈活，這對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感是十分有利的。可見，基于“數(shù)感”培養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生在生活實踐中展開數(shù)學(xué)思考，深化數(shù)學(xué)體驗，使學(xué)生在思考與體驗中鍛煉思維，形成數(shù)感。

綜上所述，數(shù)感是一種潛在的數(shù)學(xué)能力，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與運用有著巨大助益。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該在剖析小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)感的內(nèi)涵及意義、培養(yǎng)的原則及特點的基礎(chǔ)上，通過“在估算練習(xí)中建立數(shù)的直覺”、“在生活情境中理解數(shù)的意義”、“在數(shù)形結(jié)合中厘清數(shù)的概念”、“在多維思考中把握數(shù)的關(guān)系”、“在建模訓(xùn)練中理清數(shù)的邏輯”、“在生活實踐中深化數(shù)的體驗”等途徑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，并以此為契機(jī)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。