小明是怎么判斷的

文／陳 平

小明在探究中遇到了這樣一個問題：

制作某產品有兩種用料方案。方案一：用4張A型鋼板，8張B型鋼板；方案二：用3張A型鋼板，9 張B型鋼板。A型鋼板的面積比B型鋼板大，從省料角度考慮，應選哪種方案？

小明很快就給出了正確答案，選擇方案二。你知道小明是如何判斷的嗎？

小明是這樣解釋的：設A型鋼板的面積為x，B型鋼板的面積為y，則方案一所需鋼板的面積為4x+8y，方案二所需鋼板的面積為3x+9y。作差，得4x+8y-（3x+9y）=x-y。由A型鋼板的面積比B型鋼板大，可知x＞y，則x-y＞0，所以4x+8y＞3x+9y，故選擇方案二。小明通過“作差法”做出了判斷。

對于任意兩個數a、b的大小比較，利用不等式的性質可以得到：當a-b＞0 時，一定有a＞b；當a-b=0 時，一定有a=b；當a-b＜0時，一定有a＜b。反過來也成立。我們把這種比較兩個數大小的方法叫作“作差法”。

我們用小明的方法——作差法，做幾道題試試：

1.若x=2a2+3b，y=a2+3b-1，試比較x、y的大小。

要比較x、y的大小，可以比較x-y與0 的大小關系。由于x-y=2a2+3b-（a2+3b-1）=a2+1＞0，即x-y＞0，所以x＞y。這是“作差法”的一個直接運用，只需要按部就班即可。我們要注意，本題中x、y表示的是兩個多項式，利用“作差法”時，要將多項式加括號，否則會出錯。

2.已知：A=2x2y+8y，B=8xy，且A＞B，試判斷y的符號。

由A＞B，可知A-B＞0，即2x2y+8y-8xy=2y（x2-4x+4）=2y（x-2）2＞0。因為（x-2）2≥0，由不等式的性質可知y＞0。這是“作差法”的一個間接運用，由A＞B得到A-B＞0，將2x2y+8y-8xy因式分解成2y（x-2）2是解題的關鍵。

3.已知：a、b、c為三角形的三邊，試比較a2+c2-b2和2ac的大小。

此題依舊可以采用“作差法”。兩式相減后，寫成積的形式：a2+c2-b2-2ac=（a-c）2-b2=（a-c-b）（a-c+b）。因為a、b、c為三角形的三邊，所以a＜c+b，a+b＞c，所以a-c-b＜0，a-c+b＞0，所以原式小于0，即a2+c2-b2＜2ac。