基于冗余陣元優化的雙基地嵌套MIMO雷達目標DOD和DOA聯合估計方法

游致遠, 胡國平, 周 豪

(空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達理論被人提出后[1],因其可以發射特殊的波形信號以及更高的自由度[2-4],受到國內外廣大學者的關注和研究。因為MIMO雷達經過“和聯合”陣列形成的陣列與普通陣列在信號處理方面大致相同,所以在MIMO雷達進行波達方向角(direction of arrival, DOA)估計時,也可以使用很多經典空間譜估計算法。直到現在,大量的空間譜估計算法[5-9]被學者們提出并開展深入研究,這些算法也被學者用來解決二維空間譜峰搜索和角度匹配所形成的算法高復雜度問題,并且解決角度估計精度不理想的問題。為了解決傳統均勻線陣陣列孔徑過小、信源個數不能多于天線陣元個數和自由度性能差等問題,又有學者提出將稀疏陣列引入目標參數聯合估計中,常見的稀疏陣列主要包含互質陣列[10]、嵌套陣列[11]、最小冗余陣列[12]等。

文獻[13]通過二維擴展對基于旋轉不變技術的信號參數估計(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法進行改進,很好地將其應用到雙基地MIMO雷達對目標的收發角估計上,但該算法存在要對收發角進行手動角度配對的問題,算法的復雜度較大。一種適用于雙基地嵌套MIMO雷達的算法在文獻[14]中提出,此算法可以利用目標距離信息解決角度歧義的問題,從而實現目標收發角的自動匹配,同時保證對目標收發角的高精度估計,但該算法在自由度性能方面效果不理想,無法對多個目標進行有效估計。文獻[15]研究了雙基地嵌套MIMO雷達目標估計中的自由度擴展問題,提出了盡可能多地構造連續的“差聯合”結構形式的虛擬陣元,能充分地通過稀疏陣列孔徑擴展來實現目標收發角聯合估計在自由度方面的提升,但是存在估計精度和分辨性能不理想的問題。在文獻[16]中,提出了一種結合張量分解和雙基地嵌套MIMO雷達估計的算法,該算法通過二維空間平滑算法重構了新的協方差矩陣,并從波離方向角(direction of departute,DOD)和DOA維度推廣了三階張量模型,并利用現有的復平行因子(complex parallelism factor, COMFAC)技術進行角度估計,但該算法與文獻[14]所提出的方法相比,在估計精度上仍有不足。本文改進了二維空間平滑算法,通過重建Toeplitz矩陣以及虛擬發射陣列和虛擬接收陣列的空間平滑矩陣的方法,來解決因向量化協方差矩陣導致的單快拍問題和自由度性能不足的問題,并能對多目標收發角進行自動配對,并與文獻[17]提出的傳統雙基地均勻線陣MIMO雷達進行了對比。為了能減小信息損失、提高角度估計精度,本文還針對在傳統算法中沒有充分利用的“差聯合陣列”位置上的冗余陣元,通過充分利用每個位置上的冗余陣元,不斷優化接收信號中的目標參量信息,并與文獻[18]提出的算法進行比較,仿真實驗驗證了該算法在DOD和DOA的估計分辨性能和估計精度方面比雙基地[19-24]嵌套MIMO雷達常規算法效果更理想。

1 雙基地嵌套MIMO雷達模型

雙基地嵌套MIMO雷達模型如圖1所示,發射陣列由兩個發射子陣組成,分別有M1和M2個陣元。同理,接收陣列由兩個接收子陣組成,分別有N1和N2個陣元,陣元間距d=λ/2,λ為信號波長。陣列位置可表示為

圖1 雙基地嵌套MIMO雷達結構圖

St={0,…,(M1-1)d,[(M1+1)-1]d,…,

[M2(M1+1)-1]d}

(1)

Sr={0,…,(N1-1)d,[(N1+1)-1]d,…,[N2(N1+1)-1]d}

(2)

若空域內有K個不相干目標,其中第k個目標的DOD和DOA由φk、θk來表示,k=1,2,…,K。其中,第k個信源的發射角由φk來表示,接收角由θk來表示。信號模型為

x(t)=[at(φ1)?ar(θ1),at(φ2)?ar(θ2),…,at(φK)?ar(θK)]s(t)+n(t)=(At°Ar)s(t)+n(t)=As(t)+n(t)

(3)

式中:s(t)=[s1(t),s2(t), …,sK(t)]T,sK(t)代表第K個目標的發射系數;n(t)表示均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲組成的矩陣; °和?分別表示Khatri-Rao積和Kronecker積。導向向量A可表示為

At=[at(φ1),at(φ2),…,at(φK)]

(4)

Ar=[ar(θ1),ar(θ2),…,ar(θK)]

(5)

式中:at(φk)和ar(θk)分別代表發射陣列和接收陣列的第k個目標的導向向量,其結構可表示為

at(φk)=[1,e-jπ sin φk,…,e-j(M2(M1+1)-1)π sin φk]T

(6)

ar(θk)=[1,e-jπ sin θk,…,e-j(N2(N1+1)-1)π sin θk]T

(7)

由式(3)可得到接收信號的協方差矩陣為

(8)

(9)

(10)

2 基于冗余虛擬陣元優化的二維空間平滑算法

2.1 冗余虛擬陣元優化利用

通常在進行協方差矩陣向量化時,傳統算法都是將冗余的虛擬陣元刪除后重新排序,這種做法沒有利用冗余虛擬陣元所帶有的目標參量信息,角度估計的性能不理想。所以本文提出了一種基于冗余虛擬陣元再利用的二維空間平滑算法,該算法充分利用了虛擬接收信號冗余的虛擬陣元,使得算法分辨性能上優于常規算法。

(11)

ac(φK,θK)=[at(φK)?ar(θK)]*?[at(φK)?ar(θK)]

(12)

所以根據新形成的虛擬陣列,可以得到和差陣列為

(13)

(14)

(15)

(16)

式中:x表示虛擬陣列中同一位置上冗余陣元個數;Rp(i)表示在虛擬陣列p位置上的第i個協方差數值;Rp′表示在重新賦值后虛擬陣列p位置上的協方差數值。

現將新的協方差矩陣向量化,可以獲得一個新的等效虛擬信號,即

(17)

上述操作雖然會增加算法的時間復雜度,但是增加的運算量全部來自于未利用到的協方差矩陣數據,將協方差矩陣中的冗余虛擬陣元信息利用后,目標的DOD和DOA聯合估計性能將得到提高。

2.2 重建Toeplitz矩陣的二維空間平滑算法

通常對傳統均勻線陣雙基地MIMO雷達進行角度聯合估計使用二維多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法或ESPRIT算法,但是向量化樣本協方差矩陣引起的單快拍問題依舊沒有解決,而且針對多目標聯合估計,通常都會存在陣列自由度問題。為此,先定義兩個選擇矩陣,一個選擇矩陣選擇平滑虛擬發射陣列,另一個選擇矩陣選擇平滑虛擬接收陣列,在虛擬發射陣列和虛擬接收陣列中構建空間平滑子陣并且重新構建Toeplitz矩陣,根據新的Toeplitz矩陣再次構建全新的協方差矩陣,最后利用常規子空間類算法對虛擬接收信號進行空間譜估計得到目標的發射角和接收角。

通過將冗余陣元再利用后,得到具有連續虛擬陣元的等效虛擬信號向量,即

(18)

(19)

(20)

式中:M0=M2(M1+1),N0=N2(N1+1)。

(21)

(22)

(23)

重新構建的Toeplitz矩陣為

(24)

根據式(23),每個子陣的協方差矩陣為

(25)

(26)

(27)

(28)

式中:En代表協方差矩陣的信號子空間。

(29)

因此,式(28)可以表示為

(30)

再定義式(30)中的一個分式為

(31)

所以,式(28)還可以表示為

(32)

則第k個目標的DOA可表示為

(33)

式中:e1=[1,0,…,0]T。

具體步驟如算法1所示。

算法 1 重建Toeplitz矩陣的二維空間平滑算法輸入 x(t)=As(t)+ν(t),t=1,2,…,L;輸出 {φ^k,θ^k},k=1,2,…,K;步驟 1 推導經過匹配濾波后的虛擬接收信號R,并對其近似表示為R^;步驟 2 將冗余虛擬陣元充分利用,得到新的協方差矩陣R^-,對其向量化得到觀測向量r-;步驟 3 對觀測向量r-引入兩個選擇矩陣分別對應虛擬發射陣列和虛擬接收陣列,通過選擇矩陣,重新構建Toeplitz矩陣Rc;步驟 4 利用Toeplitz矩陣重構的二維空間平滑方法,得到了虛擬陣列的協方差矩陣R-c;步驟 5 通過降維MUSIC算法實現DOD和DOA自動匹配,并得到{θ^k,φ^k}。

3 仿真實驗和結果分析

3.1 場景設定

假設本文中的的發射子天線陣元數為M1=2,M2=3;接收子天線陣元數為N1=2,N2=3,即M=N=5。設定本次實驗次數為200次,均方根誤差(root mean squared error, RMSE)的計算表達式為

(34)

3.2 目標DOD和DOA估計的自由度性能和分辨性能

本文通過對比基于本文改進算法的雙基地嵌套MIMO雷達與文獻[17]的傳統雙基地均勻線陣MIMO雷達的歸一化空間譜等高線圖,驗證了本文提出的重建Toeplitz矩陣的二維空間平滑算法得到的自由度M0N0大于傳統雙基地均勻線陣MIMO雷達的自由度MN,同時能保證其能對多個目標進行角度估計;然后通過對比文獻[18]提出的雙基地嵌套MIMO雷達的常規算法與本文提出改進算法的歸一化空間譜峰圖,可以說明本文提出的利用冗余虛擬陣元算法在分辨性能上比常規算法效果更優。

若實驗的信噪比(signal to noise ratio,SNR)大小為10 dB,快拍次數為500,目標的收發角在0°至30°范圍內分布,DOD估計值為1°∶2°∶3°∶9°∶12°∶14°∶25°∶26°∶28°,DOA估計值為5°∶15°∶28°∶2°∶13°∶24°∶4°∶14°∶27°,估計目標數目為9。圖2(a)給出了傳統雙基地均勻線陣MIMO雷達的空間譜等高線圖,圖2(b)給出了基于改進算法的雙基地嵌套MIMO雷達的空間譜等高線圖。從圖2可以看出,傳統MIMO雷達在估計目標數目為6,譜峰數小于目標數,目標分辨性能弱,不能較好地測得目標數量和目標方向。而改進算法的嵌套MIMO雷達可以準確分辨9個目標的方位,并且等高線無重疊現象出現,在相同物理陣元的情況下,基于本文改進算法的雙基地嵌套陣MIMO雷達在自由度方面優于傳統均勻線陣雙基地MIMO雷達。

圖2 兩種MIMO雷達空間譜等高線圖

在同樣假設的情況下,對文獻[14]提出的基于常規算法的雙基地嵌套MIMO雷達和基于本文改進算法的雙基地嵌套MIMO雷達的空間譜峰圖進行對比分析。圖3(a)表示基于常規算法的雙基地嵌套MIMO雷達的空間譜峰圖,圖3(b)表示基于改進算法的雙基地嵌套MIMO雷達的空間譜峰圖。從圖3可以看出,改進算法相較于常規算法充分利用了虛擬冗余陣元,極大減小了虛擬陣列信號的信息損失,明顯提升了對目標角度估計的分辨性能。

圖3 基于兩種算法嵌套MIMO雷達空間譜峰圖

3.3 目標DOD和DOA估計的RMSE

假設空間中目標數目為3個,其角度信息為(φ1,θ1)=(11°,19°),(φ2,θ2)=(15°,17°),(φ3,θ3)=(22°,27°),對目標方位角度的搜索步長為0.1°。圖4(a)表示傳統雙基地均勻線陣MIMO雷達、基于常規算法的雙基地嵌套MIMO雷達和基于改進算法的雙基地嵌套MIMO雷達的角度RMSE隨SNR變化圖, SNR的變化范圍為-10 dB至10 dB,其間隔為2 dB。為凸顯變化程度，縱軸采用對數坐標。圖4(b)表示傳統雙基地均勻線陣MIMO雷達、基于常規算法的雙基地嵌套MIMO雷達和基于改進算法的雙基地嵌套MIMO雷達的角度RMSE隨快拍數變化圖,SNR設置為10 dB,快拍數設置為從100次到500次,間隔50次。從圖4可知,在相同物理陣元的情況下,嵌套陣結構MIMO雷達在估計精度方面優于傳統均勻線陣結構的MIMO雷達。在算法不同的情況下,由于本文的改進算法利用了冗余的虛擬陣元,目標角度信息都已充分利用,因此算法性能優于常規算法。

圖4 RMSE隨SNR和快拍數的變化關系

3.4 目標DOD和DOA估計的算法復雜度

根據前文可知,本文提出的基于冗余陣元優化利用的二維空間平滑算法在自由度性能和估計精度方面分別優于文獻[17]的雙基地均勻線陣MIMO雷達傳統算法和文獻[14]提出的雙基地嵌套陣MIMO雷達常規算法,但本文提出的算法仍有不足。圖5表示幾種算法的時間復雜度對比圖,在算法復雜度方面,本文提出的算法復雜度略高。

圖5 算法復雜度對比圖

4 結束語

本文提出了一種基于冗余虛擬陣元再利用的二維空間平滑算法,該算法充分地利用冗余虛擬陣元,有效地減小了虛擬陣列信號的信息損失,明顯提升了對目標角度估計的分辨性能。針對多目標問題,本文選擇了一種重建Toeplitz矩陣的空間平滑算法,不僅很好地擴展了虛擬陣列提升了自由度,并且利用降維MUSIC算法解決了DOD和DOA自動配對的問題。然而,本文提出的算法也仍存在不足,雖然算法估計精度較高,但是其時間復雜度也高。而且,此算法雖然有較高的自由度,但是自由度性能并不能到達理論推導的效果,在目標數目估計上仍存在一定自由度損失的情況，這將成為下一步研究的重點。