聚焦新高考“創新性”研究 培養命題創新意識
——第二屆命題征集活動優質創新試題選登

江西 江蘇 陜西 謝小平 王成功 焦戰武

得，a1+a2=1,a2+a3=0,a3+a4=-9,a4+a5=0,…,

即a4k+1+a4k+2=(4k+1)2,a4k+2+a4k+3=0,a4k+3+a4k+4=-(4k+3)2,a4k+4+a4k+5=0,…,

從而有a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=(4k+1)2-(4k+3)2=-16k-8，

且a4k+2+a4k+3=a4k+4+a4k+5=0?a2k+a2k+1=0，

從而有a2+a3+a4+…+a38+a39=0，

【試題亮點】本題由三角函數的周期性可知，是四項并成一項轉化為等差數列進行求和，聯系所求與題干便能充分調動學生思考，考查學生的化歸與轉化思想，三角函數的參與恰到好處.

【原創試題2】在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E,F分別是棱CC1，BC的中點，P在正方體ABCD-A1B1C1D1內及其表面上運動，若點P滿足A1P∥平面AEF，則點P的運動軌跡所構成的平面圖形的面積為________.

【解題思路】如圖，延長CC1至E1，使得C1E1=CE，則有A1E1∥AE,

取B1C1的中點M，連接A1M，則有A1M∥AF，

連接E1M并延長交BB1于點N，則點N為BB1的中點.

因為A1E1∥AE，A1E1?平面AEF，AE?平面AEF,所以A1E1∥平面AEF.

同理可得A1M∥平面AEF.

又A1E1，A1M在平面A1E1N內，且相交于點A1，

所以平面A1E1N∥平面AEF，

故點P在△A1MN上運動時，A1P∥平面AEF，

【創新點分析】試題原創靈感來自教材研究性學習——正方體的截面問題，試題立足空間幾何體的基本圖形正方體，考查過三點的截面，空間中的位置關系等，同時融入截面形狀，幾何圖形面積以及正方體截面的性質為一體.

【試題亮點】本題考查空間幾何體截面問題，考查學生的直觀想象、數學抽象、邏輯推理以及數學運算核心素養，全面落實《中國高考評價體系》中的“四基”“四翼”.

【原創試題3】如圖，小明同學先把一根直尺固定在畫板上，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細繩，它的長度與另一直角邊相等，讓細繩的一端固定在三角板的頂點A處，另一端固定在畫板上點F處，用鉛筆尖扣緊繩子，讓細繩緊貼住三角板的直角邊，然后將三角板沿著直尺上下滑動，這時筆尖在平面上留下了軌跡C.已知細繩長度為3 cm.經測量，當筆尖運動到點P處時，∠FAP=30°，∠AFP=90°.設直尺邊沿所在直線為a，以過F垂直于直尺的直線為x軸，以過F垂直于a的垂線段的中垂線為y軸，以1 cm為單位長度，建立平面直角坐標系.

(1)求C的方程；

Δ=(6k+3)2-36k2=36k+9>0，

【創新點分析】本題屬于回歸教材類題型，是以人教A版選擇性必修第一冊教材第130頁“拋物線的畫法”為基礎，考查拋物線定義、斜率、直線與拋物線位置關系、解不等式等多種知識，體現了回歸教材、重概念、考通法的命題思想.本題第(1)問先要利用拋物線定義定型，再利用P點的坐標求方程；第(2)問設直線l方程，代入第一問求出的拋物線方程，用韋達定理求解，思維量、計算量較大，可以有效區分學生的思維能力、運算求解能力、數學建模能力、推理論證能力，落實對數學建模、邏輯推理、數學運算等數學核心素養的考查.