淺談解題教學的“過程”教學

湖南 歐陽才學

“解題教學”，就是通過典型數學題的學習，去探究數學問題解決的基本規律，使學生會像數學家那樣“數學地思維”.“解題教學”是數學教學的重要組成部分，數學教學離不開“解題教學”.通過“解題教學”，不僅可以使學生加深對所學知識的理解，而且有利于促進學生數學核心素養的形成和發展.

數學“解題教學”不應是“結果”的教學，而應是“過程”的教學，在“解題教學”過程中，教師不能只告訴學生每一步如何做，而是要把為什么這么做,把所思、所想的“思路歷程”展現給學生，讓學生經歷一次探索、解決問題的過程，教會學生如何通過自己的分析獲得解題思路.

那么，如何體現解題教學的“過程”呢？本文通過以下兩個案例來說明.

【案例1】如圖1，已知在圓錐SO中，底面半徑r=1，母線長l=4，M為母線SA上的一個點，且SM=x，從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側面轉到點A.

(1)求繩子的最短長度的平方f(x)；

(2)求繩子的最短長度的最小值和最大值.

答案：(1)f(x)=x2+16(0≤x≤4);(2)最小值為16，最大值為32.

思路探索:

①題目給出的是已知底面半徑、母線長的圓錐，需要求的是圓錐側面上兩點A,M間所拉繩子的最短長度(兩點間的最短距離)，如何來求最短長度？在圓錐側面上“繞來繞去”恐怕很難確定何時長度最短.如圖2，沿母線SA將圓錐的側面展開，“化曲為直”，連接AM即為繩子的最短長度.

②繩子的最短長度AM“找到”了，可如何用x表示它的平方呢？

由圖2可以看出，只好“交給”△ASM了.在△ASM中，已經知道SA=l=4，SM=x,

那么，現在的關鍵就是去求側面展開圖——扇形的圓心角∠ASA′了.怎樣求出∠ASA′？這可能是許多同學“為難”的地方.下面我們一起解決掉這一難點.

我們知道，扇形是圓的一部分，圓周角是360°，只要知道扇形占所在圓的“份額”，扇形的圓心角就能夠求出來了.

這里，扇形所在的圓以圓錐母線的長SA=l=4為半徑，則扇形所在圓的周長C=2πl=8π；而扇形的弧長即圓錐底面圓的周長C′=2πr=2π.

③求出∠ASA′=90°，在△ASM中利用勾股定理就可以用x表示出繩子的最短長度AM的平方f(x).由于M為母線SA上的一點，且SM=x，所以0≤x≤4.

④根據f(x)和x的取值范圍，利用函數知識求出f(x)的最小值和最大值，進而求出繩子的最短長度的最小值和最大值.

通過上述的思路探索，請同學們完整地寫出解題步驟.

這樣設計本題的講解，能讓學生感悟知識生成、發展與變化的過程，訓練學生真正理解和掌握數學知識與技能、數學思想與方法，獲得廣泛的數學經驗.

分析：觀察所求函數式的特點，先通過取倒數拼湊，再用均值不等式求解.

對于如此的“解題教學”，我們肯定會有疑問：分析中所說的“特點”是什么？“取倒數拼湊”出什么？“均值不等式”在哪？解題中，怎么想到“x→3x”的呢？不知道學生聽完后會不會暈，筆者的感覺是如此高超的解題技巧令人嘆服，只是不知道這樣的方式在課堂上講解會不會讓學生對數學望而生畏？如果筆者是學生的話，多半會感覺數學難度很高，很難想到這種解法！這樣的講法讓不少學生遠離數學，嚇跑學生是遲早會發生的事！

筆者認為，“解題教學”有個原則：從學生思維的最近發展區入手，展示教師的“思維過程”，行使教師的“傳道授業解惑”職責，因此，從大多數學生的想法也就是平時所說的通性通法來考慮也許會更好！

思路探索:

也就是說利用我們熟悉的“二次方程根的存在性與分布問題”已經解決了這個問題：

拓展：一般地，求分母為二次式的分式函數的最值時，可以將待求的函數值先看成常數，并把分式函數轉化成二次方程，利用判別式法解決.

探究：我們處理分子、分母都在變的分式函數，常規想法是把分子(或分母)變成常數來處理，這樣可以把分母改用1+x表示，并上下同除以(1+x)2，其過程：

分子、分母同時除以(1+x)2，

小結：方法2是化歸與轉化思想的具體體現，其實質依然是二次函數的最值問題.