研究不等關系 發展核心素養
——以2022年不等式問題為例

廣東 彭 紅

《中國高考評價體系》將“引導教學”納入核心功能，有利于理順教考關系，增強“以考促教、以考促學”的主動意識，完善育人體系，著力扭轉教育的功利化傾向.尤其是“雙減”后，教學活動調整教育方法和手段，讓學生主體功能得到充分發揮.高質量地認識問題、分析問題、解決問題的綜合品質得以進一步培養，數學建模、邏輯推理、數學運算、數學抽象、直觀想象、數據分析這六大核心素養得到全面發展.從2020年新高考Ⅰ卷(僅供山東使用)到2022年高考數學全國卷，高考數學充分發揮引導教學功能，同時又以創新性、綜合性、應用性的題目考查了學生的關鍵能力和必備知識.本文歸納常用的不等關系處理策略，研究新高考后不等關系的高考試題，分析題目的命題角度、命題亮點、考查的思想和方法、解題思維與過程.

一、不等關系處理策略

不等關系的處理蘊含著豐富的數學思想，是高考數學的重點考查內容，高中數學也有多種處理方法，下面列舉新教材常用的六種處理策略.

(一)作差法

a-b>0?a>b,a-b<0?a

(二)作商法

(三)函數法

1.判定f(a)與g(a)的大小關系時，可構造函數F(x)=f(x)-g(x)，F(x)的定義域為[m,n],a∈[m,n]；若F(x)在[m,n]上單調遞增，且F(m)=0，則f(a)>g(a)；若F(x)在[m,n]上單調遞增，且F(n)=0，則f(a)g(a).

2.判定f(a)與f(b)的大小關系時，可研究函數f(x)的單調性，設f(x)定義域為[m,n]，af(b).

(四)導函數比較法

判定f(a)與g(a)的大小關系時，若函數f(x)與g(x)在[m,n]有定義，當a∈[m,n]時，f(m)=g(m),則當f′(x)>g′(x)>0時，f(a)>g(a)；當f′(x)

(五)放縮法

判定f(a)與g(a)的大小關系時，若能找到函數h(x)使得f(a)>h(a)>g(a)，則f(a)>g(a)，反之則小于.放縮法對學生的基本功要求較高，屬于《中國高考評價體系》中關鍵能力范疇，需要高中階段對函數部分多研究、多總結，奠定扎實的函數基礎.

(六)中間量法

判定a,b大小關系，若存在常數m，使得a

二、不等關系試題研究

A.a

C.c

【命題亮點】從判定大小關系的角度出發，判定三個看似毫無關系的數值，實則既考查了指數、對數函數的常規變形等必備知識，又考查了數學建模，數學抽象，邏輯推理等數學核心素養.這道題與舊高考的不等關系試題相比，最大的區別在于差值小，用常規的中間量法不易找到合適的中間量.所以這道題目充分體現了《中國高考評價體系》中的創新性、綜合性和應用性.雖然這道題考生入手難，但分析試題后還是能聯想到常用的構造函數法.故構造一個怎樣的函數成為了解題的關鍵，這又對考生的數學建模核心素養提出了要求.

【解析】視角一：作差構造函數

綜上所述，c

視角二：放縮法

故h(x)在(1,+∞)上單調遞減，所以h(x)

再證當x>0時，ex>x+1；

綜上所述，c

綜上所述，c

視角三：導函數比較

視角四：近似值估算

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

【命題亮點】題目以三角函數為背景，比較三個數值的大小，考查了學生的必備知識——三角變換；若用函數法解題，則體現數學建模、數學抽象核心素養；若用放縮法解題，則體現關鍵能力.該題目是單選壓軸題，四個大小關系的選項設置合理，使得該題目沒有應試技巧，需要深入分析，找出聯系，增加了試題的難度和試卷的區分度.這充分發揮高考“服務選才”的核心功能.題目中的三角屬性使得解答題目可從多角度出發，又充分發揮高考“引導教學”的核心功能.引導教學重視知識的發生過程，設計數學建模活動，培養解決問題的思維和方法.教學活動要“揚長”而不是一味的“改短”，鼓勵創新，既要關注結果，又要關注過程.不同解法所需時間必然不同，對整套試卷的解答都會有所影響，這也是高考服務選才功能的體現.

【解析】視角一：作差構造函數

綜上所述，c>b>a，故選A.

視角二：放縮法

視角三：積分法

綜上所述，c>b>a，故選A.

【例3】(2022·全國甲卷文·12)已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，則( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

【命題亮點】9m=10考查了信息分析、整理能力和指、對數變換的必備知識，a=10m-11，b=8m-9考查了數學抽象核心素養.通過10m-11，8m-9的相似結構容易聯想到函數f(x)=xm-x-1的值，從而找到構造函數的方法.基礎性、創新性、應用性、綜合性的題目既落實了《中國高考評價體系》，又降低了文科卷的試題難度.

【解析】由9m=10得m=log910>1，令f(x)=xm-x-1，x∈(1,+∞)，則f′(x)=mxm-1-1>0,故f(x)在(1,+∞)上單調遞增，所以f(10)>f(9)>f(8)，10m-11>0>8m-9,即a>0>b，故選A.

【評注】題目容易入手，并且m=log910>1降低了導函數的難度.值得注意的是，選項不僅要求比較a與b，還要和0比較，這又是對信息分析能力的考查.其實從題目中我們不難發現比較a與b，是比較f(10)和f(8)，10和8中間隔了一個9，將其帶入函數發現f(9)=0，即得a>0>b.題目的設計與2005年全國卷Ⅲ理科第6題有異曲同工之妙.題目如下：

A.a

C.c

A.c

C.a

【命題亮點】題目以對數比較大小為背景，考查了信息分析和加工能力，對數的變形知識點，體現了考查要求的基礎性，題目難度適中.

A.a

C.b

【命題亮點】該題是一道創新性、綜合性強的題目，發散思維和逆向思維是其重要特征.解題視角多，可從構造函數、放縮、導函數、定積分等視角出發對其解答，通過合理的情境、新穎的試題引導學生在陌生中主動思考，又進一步引導高中數學教學要培養發現新問題、找到新方法、得出新結論的能力.

綜上所述，a>c>b，故選B.

【評注】由于例6是2021年的題目，故文章只給出最常規的構造函數法.與2022年新高考Ⅰ卷第7題和2022年全國卷甲卷理科第12題相比，容易聯想到構造函數法，但選擇哪個常數轉化為變量成為了難點.選擇變量構造函數盡可能使用加法和乘法，有利于簡化運算，降低錯誤率.a=2ln1.01中的1.01是關鍵信息，1.02=1+2×0.01，1.04=1+4×0.01，所以變量可定.作差后構造函數，其一階導數不容易與0比較大小.一方面可求有效二階導數，另一方面可縮小定義域的范圍，這里取定義域為(0，0.1)，二者皆可降低試題難度.題目需要花一定時間思考和解答，整體難度中等偏上，放在單選壓軸合適.

三、高考數學備考建議

1.注重回歸教材，厘清概念原理

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標準》)強調回歸教材，深刻地理解和認識課本的基本概念、定理，通過反思、總結、拓展等方式構建完善的知識機構體系，避免知識碎片化.注重知識的產生過程與方法的基本原理，培養學生的探究精神和創新精神，讓學生成為過程的參與者，而不是結果的獲得者.深化數學基礎、提高教學效果、練習減量提質、加強教考連接.鼓勵學生用數學眼光看世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界.厘清基本概念、基本知識、基本方法，讓學生用自己所學去認識問題、發現問題、分析問題、解決問題，獲得成就感，不斷自我激勵，形成良性循環.

2.鞏固通性通法，落實核心素養

以往的應試技巧在新高考中并不再適用，也不利于人才的培養和選拔，要避免生搬硬套.《課程標準》對人才的培養提出了新要求，從2022年新高考Ⅰ卷的命題設置來看，新高考對學生的數學思維要求明顯增高.教學活動要在數學運算、數學抽象、數學建模、數據分析、邏輯推理、直觀想象這六大核心素養上下功夫.新教材，新課標，新高考是大趨勢，六大核心素養的考查會在以后的高考數學中體現更多.從2020年到2022年新高考的試題變化趨勢來看，高考數學明顯降低了數學解法和技巧的難度，但增加了知識的廣度.在教學活動中，應注重知識的學以致用和靈活變通，培養知識與情境聯系能力，培養學生觀察、分析、聯想、歸納能力.注重一題多解和多題一解，總結方法，培養學生的應變能力.

3.創新設計試題，培養關鍵能力