“函數與導數”專題易錯分析與練習

新疆 師 斌

【易錯點名稱】函數零點問題應用不清致誤

(1)當a=0時，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)恰有一個零點，求a的取值范圍．

當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)在(0，1)上單調遞增；當x∈(1,+∞)時，f′(x)<0，f(x)在(1，+∞)上單調遞減；所以f(x)max=f(1)=-1.

(易錯：忽視對參數a的分類討論，應用零點存在性定理時，數形結合不充分、不恰當)

當a≤0時，ax-1<0，所以當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)在(0，1)上單調遞增；

當x∈(1,+∞)時，f′(x)<0，f(x)在(1，+∞)上單調遞減；

所以f(x)max=f(1)=a-1<0，此時函數無零點，不符合題意；

(易錯：忽視當x趨近正無窮大時函數值符號的判斷)

所以f(x)在(0，+∞)上單調遞增，

又f(1)=a-1=0，所以f(x)有唯一零點，符合題意；

(易錯：忽視當x趨近零時函數值符號的判斷)

綜上，a的取值范圍是(0,+∞).

【易錯分析】在解決含參數的函數零點問題時，通常需要轉化為圖象問題，而化歸與轉化、數形結合、分類與討論思想對學生的能力要求較高，容易失誤.

【易錯數據】本次共統計了39名學生的易錯數據，其中有5名優良分數段的學生做錯，15名及格分數段的學生做錯，16名不及格分數線的學生做錯，只有3名學生做對，可以發現該題普遍得分率不高，錯誤的人數較多，幾乎全軍覆沒，屬于典型易錯題.

【答案】C

【解題思路】當x≤0時，f(x)=x+3x在(-∞,0]上單調遞增，

所以f(x)在(-∞,0]內存在唯一零點;

(易錯：當x≤0時，利用作圖或零點存在性定理得出零點個數的基本功不扎實)

f′(x)=x2-4，令f′(x)>0，則x>2或x<-2(舍去),

所以f(x)在(0,2]上單調遞減，在(2,+∞)上單調遞增，

(易錯：當x>0時，數形結合不到位，沒有把問題簡化為極小值f(2)>0．)

故選C．

【答案】D

(易錯：把函數零點問題轉化為兩函數圖象交點個數問題時，沒有變形出一次函數，增加了難度)

由式(4)第1式、式(11)、式(12)、以及圖1的△OA1B1、△OA2B2知，當φ為φ1、φ2時，φ為0、180，δ為δmax、δmin，α為α1、α2，注意到式(13)即知φ1、φ2是αmax可能出現位置。

當k>0時，如圖，當y=kx-2與y=x2相切時，聯立方程得x2-kx+2=0，

(易錯：數形結合與分類討論時遺漏情況)

【答案】C

【解題思路】依題意可得ω>0，

要使函數在區間(0,π)上恰有三個極值點、兩個零點，

(易錯：沒有熟練掌握三角函數圖象特征)

【答案】3

解得ω=3+9k,k∈Z，

因為ω>0，所以當k=0時ωmin=3,故答案為3.

(易錯：沒有列出滿足零點的等式并變形出ω的表達式)

5．(2022·江西師大附中三模)定義在R上的函數f(x)滿足f(-x)+f(x)=0,f(x)=f(2-x)，且當x∈[0,1]時，f(x)=x2,則函數y=7f(x)-x+2的所有零點之和為( )

A．7 B．14 C．21 D．28

【答案】B

【解題思路】依題意，f(x)是奇函數.

又由f(x)=f(2-x)知，f(x)的圖象關于x=1對稱.

f(x+4)=f(1+(x+3))=f(1-(x+3))=f(-2-x)=-f(2+x)=-f(2-(-x))=-f(-x)=f(x)，

所以f(x)是周期為4的周期函數.

f(2+x)=f(1+(1+x))=f(1-(1+x))=f(-x)=-f(x)=-f(2-x)，

所以f(x)關于點(2,0)對稱.

(易錯：不會分析函數的周期性和對稱性)

(易錯：零點之和與圖象、對稱性沒有很好地結合，導致失誤)

6．(2022·江蘇二模)設函數f(x)=aex+sinx-3x-2，e為自然對數的底數，a∈R.

(1)若a≤0，證明：函數f(x)有唯一的零點；

(2)若函數f(x)有唯一的零點，求a的取值范圍.

【解題思路】

(1)證明：當a≤0時，f′(x)=aex+cosx-3<0恒成立，所以f(x)在(-∞，+∞)上單調遞減，

又f(0)=a-2<0，

(易錯：零點所在區間找端點不恰當)

(2)由(1)可知，當a≤0時，f(x)有唯一零點，

(易錯：構造函數不恰當)

設h(x)=cosx-sinx+3x-1，

則h′(x)=-cosx-sinx+3>0，

所以h(x)在(-∞，+∞)上單調遞增，

又h(0)=0，可知，g(x)在(-∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增，

即g(x)min=g(0)=a-2，

當a>2時，g(x)>0恒成立，無零點，即a>2不符題意，

當a=2時，g(x)min=g(0)=0，即g(x)僅有一個零點x=0，即a=2符合題意，

當0

因為g(-1)=(1-sin1)e+a>0，即f(-1)>0,

(易錯：分類討論、數形結合遺漏情況；零點所在區間找端點不恰當)