多思維切入 妙角度拓展
——以一道零點(diǎn)問題的探究為例

江蘇 韓文美

函數(shù)零點(diǎn)問題是函數(shù)與方程中的基本知識(shí)和重要內(nèi)容，一直是歷年高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)問題之一．此類問題內(nèi)容豐富、融合度高、交匯性強(qiáng)、創(chuàng)新度高，同時(shí)又能合理滲透高中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法，有機(jī)融入函數(shù)與方程思想、“動(dòng)”與“靜”之間的合理轉(zhuǎn)化等辯證思維，是充分體現(xiàn)與考查數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)能力的一個(gè)好場(chǎng)所，備受各方關(guān)注．

1．問題呈現(xiàn)

【問題】(2022·浙江省溫州市普通高中高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題(溫州二模)·17)已知a>0，函數(shù)f(x)=x4+x3+ax+a2有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．

此題以含參的四次函數(shù)為問題背景，結(jié)合參數(shù)的取值限制，利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況來確定參數(shù)的取值范圍，難度較大．具體解決問題時(shí)，可以通過函數(shù)的圖象思維、方程思維、解析幾何思維以及不等式思維等不同的思維方式來切入，結(jié)合零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況進(jìn)行綜合分析與判斷，實(shí)現(xiàn)參數(shù)的取值范圍的確定．

2．問題破解

思維視角一：圖象思維

方法1(圖象轉(zhuǎn)化法1)：

解析：由f(x)=0，可得x4+x3=-a(x+a)，

結(jié)合函數(shù)f(x)=x4+x3+ax+a2有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可知函數(shù)g(x)=x4+x3與直線y=-a(x+a)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

又g(-1)=g(0)=0，可得函數(shù)g(x)的大致圖象，如圖所示，過點(diǎn)A(-1，0)，O(0，0)，

由a>0，可得直線y=-a(x+a)與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B(-a，0)，

結(jié)合圖象可得，函數(shù)g(x)的圖象與直線y=-a(x+a)相切時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，易得切點(diǎn)為A(-1，0)，此時(shí)B(-1，0)，

所以當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g(x)的圖象與直線y=-a(x+a)相切，結(jié)合直線y=-a(x+a)的斜率與零點(diǎn)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)01時(shí)，函數(shù)g(x)的圖象與直線y=-a(x+a)沒有交點(diǎn)，所以a的取值范圍是(0，1)．

解后反思：根據(jù)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程，結(jié)合零點(diǎn)情況拆分為一個(gè)函數(shù)與一條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而利用函數(shù)圖象的單調(diào)性與直線的位置關(guān)系來直觀分析，數(shù)形結(jié)合，巧妙轉(zhuǎn)化，是解決此類高次函數(shù)零點(diǎn)問題中比較常用的解題技巧．正確的拆分與轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵所在，動(dòng)直線是其中一個(gè)比較常見的問題．

方法2(圖象轉(zhuǎn)化法2)：

解析：由于a>0，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x4+x3+ax+a2≥a2>0，

根據(jù)題目條件，可知函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)不同的負(fù)零點(diǎn)，

由f(x)=0，可得x4+x3+ax+a2=0(x≠0)，

又g(-a)=0，可得函數(shù)g(x)的大致圖象，如圖所示，同時(shí)在同一平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=-(x2+x)的圖象.

數(shù)形結(jié)合可知，只需-1<-a<0，即0

解后反思:根據(jù)分離函數(shù)法，將函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)問題，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合直觀地求出參數(shù)的取值范圍．這里分離函數(shù)中將求復(fù)合函數(shù)參數(shù)的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)含參的復(fù)合函數(shù)以及一個(gè)常見的二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)變化與個(gè)數(shù)確定問題，從而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題．

思維視角二：方程思維

方法3(換元法)：

解析：由f(x)=0，可得x4+x3+ax+a2=0(x≠0)，

解后反思：根據(jù)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程，通過恒等變換處理，利用換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)方程，結(jié)合二次函數(shù)求根公式，通過根的性質(zhì)以及函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式，通過求解不等式來確定參數(shù)的取值范圍．合理的利用恒等變換方法進(jìn)行處理為問題的進(jìn)一步分析與解決提供一定的思維依據(jù)，變換的過程往往是朝著熟知的知識(shí)方向進(jìn)行．

方法4(方程轉(zhuǎn)化法)：

解析：由于a>0，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x4+x3+ax+a2≥a2>0，

根據(jù)題目條件，可知函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)不同的負(fù)零點(diǎn)，

由f(x)=0，可得x4+x3+ax+a2=0(x≠0)，

所以a的取值范圍是(0，1)．

解后反思:根據(jù)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程，通過恒等變換，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題來處理，利用二次方程的判別法求得參數(shù)的取值范圍．再利用參數(shù)條件以及函數(shù)的特征確定函數(shù)具有兩個(gè)不同的負(fù)零點(diǎn)，是解決問題的關(guān)鍵所在，為后面進(jìn)一步的方程求根指明方向，回避不必要的分類討論．

思維視角三：解析幾何思維

方法5(距離轉(zhuǎn)化法)：

解析：由于a>0，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x4+x3+ax+a2≥a2>0，

根據(jù)題目條件，可知函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)不同的負(fù)零點(diǎn)，

由f(x)=0，可得x4+x3+ax+a2=0(x≠0)，

所以a的取值范圍是(0，1)．

解后反思：根據(jù)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程，通過恒等變換，合理配方，利用配方后關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離為定值的點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，利用圖形直觀想象，數(shù)形結(jié)合得出參數(shù)的取值范圍．通過距離這一特殊結(jié)構(gòu)特征，合理構(gòu)建，數(shù)形結(jié)合直觀處理，更加簡(jiǎn)潔有效．

思維視角四：不等式思維

方法6(均值不等式法)：

解析：由于a>0，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x4+x3+ax+a2≥a2>0，

根據(jù)題目條件，可知函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)不同的負(fù)零點(diǎn)，

由f(x)=0，可得x4+x3+ax+a2=0(x≠0)，

即x2+2x+a<0，

結(jié)合判別式Δ=4-4a>0，解得a<1，即0

所以a的取值范圍是(0，1)．

解后反思:根據(jù)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程，通過恒等變換，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題來處理，借助均值不等式的轉(zhuǎn)化以及因式分解進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化，得以確定對(duì)應(yīng)的不等式成立，利用方程的判別法構(gòu)建不等式來確定參數(shù)的取值范圍．合理借助均值不等式的放縮與轉(zhuǎn)化，為問題的解決提供更加直接有效的途徑．

3．變式拓展

探究1：保留題目創(chuàng)新情境，改變參數(shù)a的限制條件為一般性條件，由“a>0”拓展為“a∈R”，使得問題的分類與研究更加廣闊，從而得到以下更為一般性的變式問題．

【變式1】已知a∈R，函數(shù)f(x)=x4+x3+ax+a2有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．

解析：當(dāng)a=0時(shí)，由f(x)=x4+x3=x3(x+1)=0，可得x=0或x=-1，函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，由以上問題的方法5，可得a的取值范圍是(0，1)；

探究2：根據(jù)變式1及其解析過程，在一般條件下進(jìn)行全面系統(tǒng)地討論對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而得到以下對(duì)應(yīng)的變式問題．

【變式2】已知a∈R，試討論函數(shù)f(x)=x4+x3+ax+a2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況．

具體解析過程可以參照原問題的解析與變式1中的解析過程，得到以下對(duì)應(yīng)的結(jié)論：

(2)當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

4．教學(xué)啟示

(1)總結(jié)常規(guī)方法，歸納常見思維

解答一些函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)問題時(shí)，最常用的方法就是借助函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合直觀解決，利用合理代數(shù)運(yùn)算與恒等變換，轉(zhuǎn)化為比較熟知的基本初等函數(shù)問題或可以求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性的對(duì)應(yīng)函數(shù)問題等，巧妙分離參數(shù)，合理做到一“靜”一“動(dòng)”或一“直”一“曲”，“動(dòng)”直線，“靜”曲線，巧平移，妙變換．借助函數(shù)的圖象，“直”“曲”分離，數(shù)形結(jié)合，“動(dòng)”“靜”配合，直觀想象．

(2)倡導(dǎo)“一題多解”，實(shí)現(xiàn)“一題多得”