對2020年全國新高考Ⅰ卷導數題的再思考*

266700 山東省平度市第九中學 張 杰 姜尚鵬

276000 臨沂大學數學與統計學院 薛 兵

2020年山東省實行了新高考，試卷中的導數題作為倒數第二道大題難住了不少學生，究其原因在于面對這種求參數取值范圍的問題，一旦不能分離參數，或直接求導時找不到分類標準，學生就無從下手.筆者對這道題進行深入研究，發現入手方法多樣.

1 試題分析

(2020全國新高考Ⅰ卷-21) 已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

命題立意分析：本題考查導數幾何意義,利用導數研究不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力、分類討論思想和等價轉化思想，考查邏輯推理、數學運算等核心素養，所占分值為12分.

審題及解題分析：(1)先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，根據點斜式得切線方程，求出與坐標軸交點坐標，最后根據三角形面積公式得出結果.(2)條件給出f(x)≥1，即研究f(x)的最值問題.先討論特殊情況即當01時的取值范圍.

(2)①當0

③當a>1時，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.

綜上所述，a的取值范圍為a≥1.

2 其他解法

因為小問(1)比較簡單，所以只對小問(2)的解法進行探討.

2.1 隱零點法

解法1:①當0

綜上所述，a的取值范圍為a≥1.

評注：官方正解中通過對a的取值范圍進行放縮，轉化成上文討論的情況，這樣的解決方法是較難想到的，借助隱零點的方法解題是大部分普通層次的學生較易想到的方法，這種思路入手容易，通過隱零點滿足的等式代換解決問題即可.

2.2 放縮法

解法2(利用切線放縮法，先不確定a的范圍)：由f(x)≥1得aex-1-lnx+lna≥1.由ex≥x+1,lnx≤x-1，得ex-1≥x,-lnx≥1-x，又a>0，可得aex-1-lnx+lna≥ax+1-x+lna≥1，即(a-1)x+lna≥0恒成立.

①當a=1時，滿足0≥0，所以a=1符合題意.

綜上所述，a的取值范圍為a≥1.

所以a的取值范圍為a≥1.

所以a的取值范圍為a≥1.

評注：放縮法適合水平高一些的學生使用，畢竟放縮到什么程度是放縮法的難點.建議優先考慮最簡單的利用切線放縮，如ex≥x+1,lnx≤x-1，這也是放縮最常用的兩個不等式，本題就可以采用切線放縮.利用a的取值范圍放縮也不容易想到，建議采用更換主元的思想，將其看成關于a的函數進而放縮.

2.3 構造同構式法

所以a的取值范圍為a≥1.

所以a的取值范圍為a≥1.

評注：構造同構式法是少部分高水平學生才能掌握的方法，此方法的難點在于變形構造出結構相同的函數模型，建議學生熟練掌握指數和對數的運算以及基本的函數模型，如ex與x進行四則運算以及lnx與x進行四則運算得到的函數模型.

3 題目溯源

實際上,2018年全國高考Ⅰ卷(文科)第21題就是與上述試題類似的題目.2018年高考題為已知參數的取值范圍，要求證明不等式，題目如下.

(2018全國高考Ⅰ卷文科-21) 已知函數f(x)=aex-lnx-1.

(1)設x=2是f(x)的極值點.求a，并求f(x)的單調區間；

2020年全國新高考Ⅰ卷第21題的小問(2)，實際上是2018年全國高考Ⅰ卷(文科)第21題小問(2)的逆向問題.如果教師在講授時有意識地對2018年試題進行改編，就可以變成2020年的試題.下面展示2018年試題的改編題.

(2018全國高考Ⅰ卷文科-21改編) 已知函數f(x)=aex-lnx-1.

(1)設x=2是f(x)的極值點.求a，并求f(x)的單調區間；

(2)若f(x)≥0，求a的取值范圍.

改編后的2018年試題與2020年試題，兩者給出的函數驚人地相似.所以教師在講解高考題時，應研究得再深入一些，說不定下一道高考題就出自教師之手.同時可以發現，改編后的2018年試題也有三個角度的方法可供三種不同水平的學生選擇，所以2020年全國新高考Ⅰ卷第21題是不可多得的好題，對教師平時的課堂教學具有良好的價值引領作用.因此，教師在高三復習時不能就題論題，而要將這道題蘊含的思想方法講透，讓不同水平的學生都能有所收獲.如果教師一節課只講這一道題的話，建議講解時做如下改編.

(2020全國新高考Ⅰ卷-21改編) 已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積.

(2)證明：當a≥1時，f(x)≥1.

(3)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

這樣改編后，這道題對兩道高考題蘊含的思想方法都進行了考查，同時也通過小問(2)為初次接觸該題目的學生搭建了臺階，以便學生解決小問(3).思維層層遞進，學生的數學素養螺旋上升，試題的育人功能得到提升.課后鞏固時可以采用以下題目，此時不再需要搭建過渡的臺階，讓學生課后的學習不再是簡單的模仿，而是提升一個層級，將學生的學習從課堂延伸到課后，以落實學生課堂的聽課效果.

鞏固練習已知函數f(x)=aexlnx(其中e=2.71828…是自然對數的底數)，g(x)=x2+xlna，a>0.

(1)討論函數f(x)的單調性；

(2)設函數h(x)=g(x)-f(x)，若h(x)>0對任意的x∈(0,1)恒成立，求實數a的取值范圍.