基于收獲函數的Logistic 模型改進及預測應用研究＊

商镕麒，余欣宇，雷昌旺

（華中科技大學數學與統計學院，湖北 武漢 430074）

經濟學者普遍認為，發達國家經濟發展水平主要是由人口、技術等因素決定的。中國是人口大國，在國際市場上占據一定競爭優勢，但無法真正解決勞動力需求與供給不平衡問題。而在二孩、三孩政策放開后，中國勞動力供給需求會在一定程度得以緩解，且在高素質教育時代背景下，高素質勞動力將會在一定程度上得到補充；三孩政策后，每個家庭中有效勞動力增加，在很大程度上承擔了贍養老人的責任，不僅減輕了每個家庭中原始意義上的負擔，同時也為社會減輕了撫養壓力[1]。

根據相關測算，中國在2050 年老齡化率將會達到34.5%，在全面放開二孩政策后，2050 年老齡化率將會下降到29%左右，三孩政策的放開則有望進一步改善中國老齡化現象；而在二孩、三孩政策后，由于嬰幼兒的數量增加，帶動了其他產業的消費，如與孩子聯系最為緊密的母嬰行業、教育行業等，中國一部分市場消費被拉動[2]。

相關數據顯示，在放開二孩政策后，中國市場每年的消費額度較以往增加了1 000 億～1 600 億元。在拉動了經濟轉型的同時，也在很大程度上促進了中國國民儲蓄轉化為消費，促進了社會經濟的發展[3]。因此，三孩政策的放開對中國高素質勞動力的補充有一定促進作用，可減輕社會撫養壓力，在一定程度上帶動經濟的增長。

本文利用改進后的Logistic 模型，對施行三孩政策后中國2035 年人口增長變化情況以及青年、中年和老年人分布情況進行了預測研究和分析，以期為政府部門提供一定的決策參考。

1 預測模型的建立與改進

1.1 預測模型的引用

為了研究人口數量的變化規律，研究人員提出了許多數學模型，常見的是指數增長模型和阻滯增長模型（Logistic 增長模型）[4]。

式（1）（2）中：x（t）為t時刻人口的數量；r為人口的固有增長率（即出生率減去死亡率）；C為環境承載力（即環境所能容納的最大人口數量）。

為提高Logistic 增長模型在預測種群數量方面的準確性與實用性，從實際需求出發對Logistic 增長模型進行了改進，并將其推廣到具有收獲函數的形式。LAHAM 曾在Logistic 增長模型中引入過收獲函數，將經典的Logistic 增長模型改為[5]：

式（3）中：H（t）為引入的收獲函數。

將該模型用于制定魚的捕獲策略中，當H（t）為常值函數時，說明在某一時刻捕獲固定數量的魚類；當H（t）為周期函數時，保證任意時刻魚類都不會瀕于滅絕。ALFRED 研究了魚養殖的捕獲策略，討論了收獲函數是常值函數時的收獲增長模型[6]，即：

該模型表示在給定時間間隔內捕獲一定數量的魚，估計了保護魚種群免于滅絕的最佳捕獲量，為制定漁業捕撈策略提供了依據。

1.2 預測模型的改進

隨著研究的深入，一些學者認為種群的增長率也會隨著自然環境的改變而變化。為更好地體現種群在復雜環境中的變化狀況，需要將增長率r表示為一個關于時間t的函數r（t），且收獲函數H（t）應與增長率r（t）相關[7]。

這里，假設H（t）與r（t）存在一定線性關系，即存在一個常數k使得H（t）=kr（t），于是得到一個改進的Logistic 增長模型，即：

針對改進模型，可以通過如下方式求出模型的解。

令x（t）=y（t）+δ，則模型可轉化為：

分離變量并整理可得：

當H（t）為非零常值函數時，此時r（t）也是一個非零常值函數，指數增長模型精確解可表示為：

2 預測模型的驗證與分析

將改進后的Logistic 增長模型應用到預測中國人口變化時，進行如下假設：①人口的生存環境為一般常態的自然和社會環境，人口只受中國國內的出生率、死亡率和遷移因素影響，不考慮國家之間的移民；②國內社會環境基本穩定，沒有影響人口發展的重大軍事事件、嚴重流行疾病和自然災害；③數據檢索發現，近年來死亡率基本恒定，為便于計算，假定至2035年死亡率均為定值；④因青年人、中年人死亡率較低，為簡化模型，忽略至2035 年青年人、中年人的死亡。

模型中參數估計的準確性直接影響人口預測的準確性，考慮當r（t）和H（t）都是非零常值函數時求得的解，對它進行參數估計。采用最小二乘法原理，利用Matlab 中Lsqcurvefit 函數對參數進行估計與反復修正，建立相對合理的預測模型。最小二乘法的原理就是讓觀測值與實際值之間的殘差平方和最小，殘差平方和越小，說明模型預測值與實際值間差異越小，模型更實用，即：

對式（10）中的3 個未知參數C、δ、A進行估計，首先求觀測值與實際值之間的最小殘差平方和，即：

式（11）中：xt為t時刻的實際人口數量；x（t）為t時刻的預測人口數量。

再通過Q分別對C、δ、A求導等于0，建立方程組，從而求出C、δ、A的估計值。但求解過程過于復雜，且比較煩瑣，考慮采用數學計算軟件Matlab 中的函數Lsqcurvefit 實現最小二乘非線性擬合，通過迭代求解出模型的待定參數，從而使殘差平方和達到最小，進而完成最優參數估計。

將這個函數代入到已有數據中，可通過1980年、2000 年、2020 年3 個點計算整條曲線的3 個參數，即δ=3.122 7，A=0.057 6，C=18.065 6。圖 1 為改進前后Logistic 方程對1960—2020 年中國人口的擬合曲線。

圖1 改進前后的Logistic 方程對1960—2020 年中國人口的擬合曲線

3 三孩政策后中國人口變化情況預測與分析

將2009 年、2016 年、2020 年的數據代入到改進之后的Logistic 模型中，發現在2016—2020 年的變化趨勢幾乎沒有任何改變。所以，經過分析仍選擇該模型作為預測未來三孩政策后中國未來的人口數量曲線，如圖2 所示。

圖2 三孩政策后中國未來人口數量預測情況

從圖中可以看出，未來中國在實行三孩政策后，對人口總的增幅并不會發生過大的影響，總的預測模型并不會因為三孩政策的實施而發生特別大的變化。所以，仍然可以沿用模型一中所給出的改進后的Logistic 模型曲線作為三孩政策后中國人口預測模型。

4 2035 年中國人口結構情況預測分析

利用模型假設，對人口數量的預測曲線作出判斷。首先，將2035 年的人口結構分成3 個部分來解決問題，分別是青年人占比（TR）、中年人占比（AR）以及老年人占比（OR），對這3 個部分占比之和進行求解，即TR+AR+OR=1。

然后，將青年人占比定義成出生在2019—2035 年每年出生人口的總和，再加上在2020 年正好是0～14歲的人，在2019 年時具體到每個年齡段人數，即有：

式（12）中：BN為2019—2035 年出生總人數；TN為2035 年青年人口總數；SN2035為2035 年人口總數。

由于忽略了青年人的死亡率，所以對應在0～14歲的人最終會在2035 年變成29 歲及以下的人口。計算出生占比時，就會用到之前的假設和計算的人口預測數量曲線，通過遞推方法求出2019—2035 年所有出生人口和死亡人口總數。

計算的思路為，因為第i年的凈增長的總數可以通過2 年的人數差給出，也可以由這2 年間隔出生總人數和死亡總人數給出，即：

式（13）中：CNi為第i年凈出生率；SNi為第i年人口總數；BNi為第i年出生人數；DNi為第i年死亡人數；D0為死亡率。

可以得出在這2 個相鄰年份之間出生的人數，即BNi=SNiD0+SNi-SNi-1=SNi（1+D0）-SNi-1。

通過對2019—2034 年進行累加，可以得出出生人數（BN），同時從國家統計局提供的材料中可以得出，在2019 年時0～14 歲的人數，就是在2035 年時會成為青年人數（TN）的人群。經過官方統計，在2019年時，對應0～19 歲的人數是236 961 601 人。由公式（12）可得TR=0.306 836。

再計算老年人占比，將老年人占比也分成了幾個部分，第1 個部分是現有的在45 歲及以上的人，考慮這些人在將來15 年之后都會變成在2035 年的定義下是60 歲以上的人口再減去在2020—2035 年死去的總數，因假設年輕人在死亡率上的占比可忽略，即：

式（14）中：ON為2035 年老年人人數；DN為2019—2035 年死亡總人數。

但是，死亡人口總數也可以通過預測的人數曲線的不斷迭代計算出來，即：

國家統計局發布的2019 年45 歲以上人數是595 818 730 人，可以得到青年人占比TR=（ON-DN）/SN2035=0.297 193，則中年人占比AR=1-TROR=0.395 944。這樣，就可以大致得到出在2035 年對應的人口年齡結構示意圖，如圖3 所示。

圖3 2019 年與2035 年預測人口年齡結構對比圖

從圖中可以看出，與2019 年相比，2035 年老年人口占比明顯降低，同時青年人口占比明顯提高，而中年人口相對穩定。這也從另一個側面說明三孩政策效果的顯現，使中國未來人口年齡結構有比較明顯改善。

5 結論

通過在Logistic 增長模型中引入收獲函數，建立了新的改進模型，并利用最小二乘法原理對模型中相關未知參數進行了估計，并對曲線擬合進行了對比分析和驗證，將改進模型用于預測與分析中國未來人口變化情況；改進之后的Logistic 模型，對未來中國人口的預測情況較好，計算出三孩政策給人口數量所帶來的變化，十分符合現實中的情況；中國未來實行三孩政策后，對于人口總的增幅變化情況并不會發生過大的改變，總的預測人口并不會因為三孩政策的實施而發生巨大的變化；2035 年相比于2019 年，老年人口占比明顯降低，青年人口占比明顯提高，而中年人口相對穩定，這也從另一個側面說明三孩政策效果的顯現，使中國未來人口年齡結構有比較明顯的改善。