一道IMO42不等式試題的探討

馮光文 (云南省昭通市第一中學(xué) 657000)

本文從一道IMO42不等式試題說起，談?wù)勅绾芜\(yùn)用多種方法進(jìn)行證明，并通過遷移和變通解決新問題，看清問題的源與流．

評注證法1兩次運(yùn)用柯西不等式，通過不等式的放縮進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用差值比較法以及n元均值不等式實(shí)現(xiàn)證明．

還有其他的變形方法，留給讀者思考．

與問題2如出一轍，可用問題2的方法對其進(jìn)行證明．文[3]中對②式用了五種方法證明，其本質(zhì)上還是待定系數(shù)、去分母轉(zhuǎn)化等．有些資料中有如下的問題：

問題3(2007年臺灣地區(qū)競賽題)設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，證明：

分析 與問題1對比發(fā)現(xiàn)，其結(jié)構(gòu)一樣，只不過分母根號內(nèi)的系數(shù)由8變?yōu)?，這導(dǎo)致了兩個(gè)不等式的下界不同．問題1有多種思考策略，本題亦如此，當(dāng)然可以利用權(quán)方和不等式來證．

不難發(fā)現(xiàn)與問題1不同的是增設(shè)了一個(gè)條件a2+b2+c2=1，其他是一樣的，可沿用問題1的方法解決，留給讀者思考．我們還可以將上面的問題推廣到下面的問題4．

問題5(2004年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)a,b,c,d是正實(shí)數(shù)，證明：

分析 顯然該不等式是對上面所討論不等式的拓展，其結(jié)構(gòu)與問題1～4類似，在文[1]中還是利用待定系數(shù)法對其進(jìn)行證明．我們?nèi)杂脵?quán)方和不等式進(jìn)行證明．

問題1～5探討了同源問題的來龍去脈，利用權(quán)方和不等式統(tǒng)一證明了這一系列的問題，同時(shí)還對其進(jìn)行推廣，獲得了相應(yīng)的結(jié)論．?dāng)?shù)學(xué)解題的核心素養(yǎng)就在于學(xué)會(huì)“觀、思、變、論、推、創(chuàng)”，這樣才學(xué)得靈活，學(xué)得透徹，學(xué)得富有新意．