利用數學運算解決一類函數的對稱性問題*

林心如 (福建師范大學附屬福清德旺中學高一(1)班 350319) 指導教師 周 寧

函數的對稱性問題在教材中沒有直接作為授課內容呈現，而是以課后習題形式出現，并且是通過轉化為函數的奇偶性加以解決．那么，是否還有其他的方式進行求解？本文進行了以下的探究．

1 試題與分析

問題我們知道，函數y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數．

(1)求函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心；

(2)類比上述推廣結論，寫出“函數y=f(x)的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為偶函數”的一個推廣結論．

分析 這道題是人教A版必修第一冊第87頁“拓廣探索”欄目的最后一題，有一定的難度，主要體現在對背景知識的理解和代數運算．根據題意，要將題目的對稱性轉化為函數的奇偶性．不妨設y=f(x)圖象的對稱中心為(a,b)，則問題等價于y=f(x+a)-b為奇函數，利用奇函數的函數關系式可得，f(-x+a)-b+f(x+a)-b=0，再將f(x)=x3-3x2代入求解．為了減少計算量，可以考慮先取特殊值(比如x=0，x= -1)求解出對稱中心的坐標，再驗證一般性成立．通過上述的分析可知，本題主要考查對函數奇偶性的理解以及知識的轉化遷移能力，對邏輯推理、數學運算等數學核心素養要求較高．

2 反思提升

無論是解法1和解法2，在求解時都需要用到立方和差公式，運算較為麻煩．有沒有更為簡便的方法呢？在函數奇偶性的學習過程中，我們知道，在定義域滿足關于原點對稱的前提下，可以通過數學運算判斷函數的奇偶性，如f(x)+g(x)的定義域關于原點對稱，其中f(x),g(x)均為奇函數，則f(x)+g(x)為奇函數．那么函數的對稱中心是否也可以通過運算來判斷和計算呢？

·探究1 通過運算探究函數的對稱中心

問題1提出猜想：若f(x),g(x)圖象的對稱中心都是(a,b)，則M(x)=f(x)+g(x)圖象的對稱中心也是(a,b)．

解析 因為f(x),g(x)圖象的對稱中心都是(a,b)，則f(x)+f(2a-x)=2b，g(x)+g(2a-x)=2b．兩式相加得f(x)+g(x)+f(2a-x)+g(2a-x)=4b，即M(x)+M(2a-x)=4b，故猜想不正確．

事實上，M(x)=f(x)+g(x)圖象的對稱中心為(a,2b)，即

結論1若f(x),g(x)圖象的對稱中心都是(a,b)，則M(x)=f(x)+g(x)圖象的對稱中心為(a,2b)．

問題2若f(x),g(x)圖象都有對稱中心，但是對稱中心橫坐標相同，縱坐標不同，那么M(x)=f(x)+g(x)圖象有對稱中心嗎？

解析 若f(x),g(x)圖象的對稱中心分別為(a,b),(a,c)，則f(x)+f(2a-x)=2b，g(x)+g(2a-x)=2c．兩式相加得f(x)+g(x)+f(2a-x)+g(2a-x)=2b+2c，即M(x)+M(2a-x)=2b+2c．故M(x)=f(x)+g(x)圖象也有對稱中心，坐標為(a,b+c)．

于是有

結論2若f(x),g(x)圖象的對稱中心分別為(a,b),(a,c)，則M(x)=f(x)+g(x)圖象的對稱中心坐標為(a,b+c)．

同理，我們可以得到以下結論：

結論3若f(x),g(x)圖象的對稱中心橫坐標不同，那么M(x)=f(x)+g(x)圖象不是中心對稱圖形．

結論4若f(x),g(x)圖象關于點成中心對稱，那么N(x)=f(x)g(x)圖象不是中心對稱圖形．

因此，我們可以給出試題的第3種解法：

解法3f(x)=x3-3x2=(x-1)3-3x+1可以看作函數u(x)=(x-1)3與v(x)= -3x+1的和，其中u(x)圖象的對稱中心為(1,0)，v(x)圖象為直線，而直線上任意一點都是它的對稱中心，那么取橫坐標為1的點，即取對稱中心為(1,-2)，故由結論2可知，f(x)的對稱中心為(1,0+(-2)),即(1,-2)．下同解法2．

仿照解法3，我們可以推廣到一般的三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖象具有對稱中心．

·探究2 通過運算探究函數的對稱軸

結論5若f(x),g(x)圖象的對稱軸為x=a，則m(x)=f(x)+g(x)圖象的對稱軸也是x=a．

解析f(x)=f(2a-x)，g(x)=g(2a-x)，兩式相加得，f(x)+g(x)=f(2a-x)+g(2a-x)，即m(x)=m(2a-x)，故m(x)=f(x)+g(x)圖象的對稱軸也是x=a．

結論6若f(x),g(x)圖象的對稱軸分別為x=a,x=b，則m(x)=f(x)+g(x)圖象不是軸對稱圖形．

結論7若f(x),g(x)圖象關于直線成軸對稱圖形，則n(x)=f(x)g(x)圖象不是軸對稱圖形．

3 學以致用

練習2 函數f(x)=x2-4x+2x-2+22-x的對稱軸是．(答案：x=2)

4 結語

對于數學的學習，一定要理解知識的基本結構，從知識的整體性去認知，這樣才能用聯系的觀點建立知識間內在的邏輯關系，架構起知識的學習方法，促進自主學習．函數的對稱性其實不是新的內容，奇偶性就是特殊的對稱性，因此可以通過遷移奇偶性的學習內容和方法解決對稱性的相關問題，達成知識方法的內化，從而實現數學能力的提升和核心素養的提高．