談數(shù)學解題檢驗

孫 康 徐小花 李麗榮

(北京市日壇中學 100020)

檢驗是數(shù)學解題的良好習慣，可以提升解題準確率.在日常教學中，常有教師會有這樣的疑問：“講過的題目類型，為什么學生還是會出現(xiàn)五花八門的錯誤呢？”所謂“五花八門的錯誤”，即在解題過程的各個環(huán)節(jié)都有學生出現(xiàn)錯誤.缺乏檢驗意識是導致出現(xiàn)問題的重要原因.筆者將檢驗拆分為檢查、完善、說理三個層面，談一談數(shù)學檢驗在解題中的重要性.

1 公式、法則墊基石——檢驗即檢查

明晰解題思路對解決一個數(shù)學問題很重要，另外，對解題過程中基本公式法則的掌握也不可忽視.所謂萬丈高樓平地起，公式、法則就好似樓體的鋼筋，是解題過程的重要紐帶.

此題為求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，而此學生在求導函數(shù)的零點時出現(xiàn)了錯誤(圖1)，這就導致接下來的分類討論求單調(diào)性都會因此失分.

圖1

數(shù)學公式、法則、運算看似簡單、基礎(chǔ)、易理解，但是它在解題過程中扮演的角色卻是無法忽視的，所謂千里之堤毀于蟻穴正是如此.這是計算錯誤，類似的錯誤還有公式記錯，比如解決三角函數(shù)問題時輔助角公式記錯、求導時求導法則記錯，等等.上述問題表面看是學生在操作層面上的問題，但本質(zhì)上是學生數(shù)學思維能力不足造成的.公式、法則是思維活動的依據(jù)，在解題過程中一定要反復確認這些環(huán)節(jié)是否準確，以便支撐后續(xù)的步驟.我們教育學生要培養(yǎng)好的學習習慣，實際上，愛思考問題、不死記結(jié)論，用數(shù)學的思維理解問題、解決問題是最應該培養(yǎng)的.

2 前提、轉(zhuǎn)換重等價——檢驗即完善

解題即演繹推理，演繹推理的邏輯形式要求解題者的思維保持嚴密性、一貫性，注重解題的每一步變形嚴謹、等價，這樣才會得到正確的結(jié)論.

例2設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+3]ex.若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行，求a.

多數(shù)學生在解決這個問題時沒有得滿分(圖2)，原因在于只利用“與x軸平行”獲取到切線斜率為0的信息，再利用點斜式求出直線的方程，而沒有考慮到所求直線是否與x軸平行.此錯誤的原因在于“兩直線斜率相等”和“兩直線平行”不是互為充要條件，這就需要檢驗，將其變?yōu)槌湟?，完善解題過程.針對此錯誤，對學生進行隨訪，沒進行檢驗的學生大部分是學習經(jīng)驗缺失，之前解決的數(shù)學問題通常都是等價轉(zhuǎn)換，很少涉及題干條件和使用條件不等價的情況，所以沒有形成檢驗的習慣.

圖2

類似的題目還有諸如函數(shù)極值的逆用問題，已知函數(shù)在某點處取得極值，求參數(shù)的取值.此類題多數(shù)存在多解情況，多數(shù)學生的錯誤在于求解完之后就認為求出來的解即為最終所求.其實無論此題是否多解，最后求解完成都需要再進行檢驗，而且必不可少，原因在于過程中用到了“已知在某點處取得極值，則該點處導數(shù)值為0”，并不是題干條件的等價轉(zhuǎn)換，即非充要條件，因而求解出來的結(jié)果未必準確，必須要檢驗，即使只得到一組解，也需要說明結(jié)果的充要性.通過了解，學生可以理解函數(shù)在某點處取得極值是導數(shù)值在這點處為零的充分不必要條件，但是放在具體問題中就不會靈活運用這個知識點了.

等價轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學思想，在解題中的作用往往體現(xiàn)在化復雜為簡單、化陌生為熟悉，并且通過等價轉(zhuǎn)化的結(jié)果是不需要檢驗的.但在數(shù)學解題中，有很多情形不易、不宜，甚至是不可能進行等價轉(zhuǎn)化(比如解超越方程、解超越不等式、由遞推式求數(shù)列通項公式等)，這時只有退而求其次，可以考慮用先不等價轉(zhuǎn)化后檢驗的手段來解題，常見的方法有“先必要后充分”和“先充分后必要”[1].例2用的就是先必要后充分.

3 結(jié)果、事實需合情——檢驗即說理

關(guān)注了過程中的公式、法則、運算，也保證了等價轉(zhuǎn)換，就會得出正確的結(jié)論嗎？也不盡然，還有一類問題就隱藏在最后的答案中.

例3已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna，當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積.

此題求三角形面積，最后所得結(jié)果應該是一個正數(shù).很多學生在解決這個題目的時候都出現(xiàn)了這樣的錯誤(圖3)，通過詢問出現(xiàn)錯誤的學生的想法，了解到大部分學生忽略了這是一個實際問題，只想著直線與坐標軸圍成三角形的面積一定與橫、縱坐標有關(guān)，所以求完橫、縱坐標就利用公式求解了，沒再多考慮.

圖3

這個問題的解題失誤在于解答出結(jié)果之后沒有考慮其合理性，圖形面積一定是一個正數(shù)，若算出一個負數(shù)，那么就說明結(jié)果不合理，違背了事實.類似的題目還有諸如立體幾何中的存在性問題，如在某條線段上是否存在一點，使得該點和幾何體某已知點構(gòu)成的動直線與某平面平行，解法并不困難，通常需要引入未知數(shù)λ設(shè)出動點坐標，借助線面平行的判定定理進行求解即可，但有的學生求出的λ超出了[0,1]范圍，也不再處理，那么此解就是不合理的答案，需要檢驗前面過程的細節(jié).故檢驗即說理.

在分析講解試題的課堂中，我們經(jīng)常能夠看到這樣的情形：師生思維活動的邏輯順序是由題目序號所決定的，講完第(1)問，再解第(2)問，缺乏對數(shù)學問題中研究對象的整體性質(zhì)的研究，缺乏對已知的各種條件的邏輯分析，為了讓學生能夠用數(shù)學的思維理解數(shù)學問題，就需要教師在課上引導學生按照數(shù)學的思維方法去理解問題、研究問題、解決問題.

4 結(jié)語

數(shù)學檢驗是數(shù)學學習的一個重要環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)學生數(shù)學思維的載體.學生沒有檢驗習慣的根源在于沒有形成檢驗的意識以及缺乏檢驗的方法、策略.檢驗意識及方法的培養(yǎng)需要潛移默化、持之以恒，需要教師循循善誘和循序漸進.針對上述三個層面導致的數(shù)學檢驗盲區(qū)，我們在教學中要有的放矢地加強檢驗意識的培養(yǎng)及方法的滲透，從解題的腳手架——公式、法則到步步轉(zhuǎn)化的等價性的重視，最后關(guān)注結(jié)果的合理性，三個節(jié)點為數(shù)學解題的準確性提供有力支撐，同時也是數(shù)學教育的目標.數(shù)學教育要落腳到學科核心素養(yǎng)，而核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn)包括要求通過高中數(shù)學課程的學習，學生能夠?qū)W會有邏輯地思考問題，數(shù)學檢驗意識的培養(yǎng)即為有邏輯起點和終點的具體體現(xiàn)，故應倍加重視.

只有當檢驗意識成為學生內(nèi)在的自發(fā)需求時，檢驗才能真正地為數(shù)學學習保駕護航.教師要把檢驗這一環(huán)節(jié)重視起來，并持之以恒地訓練與培養(yǎng)，讓學生養(yǎng)成自覺檢驗的好習慣，既有助于學生養(yǎng)成良好的學習習慣，也有利于學生學習成績的提高，有利于學生的終身發(fā)展.