抓住特征巧解方程

鄭學(xué)敏

【摘要】 一元四次方程沒有特定的解法，一些結(jié)構(gòu)比較特殊的一元四次方程，如果打破常規(guī)思路，抓住其本質(zhì)特征另辟蹊徑去求解，會(huì)收到很好的解題效果.

【關(guān)鍵詞】 一元四次方程;增元降次;函數(shù)圖象

有些結(jié)構(gòu)較為特殊的一元四次方程，按照一般思路去思考，往往很難求解，如果仔細(xì)分析方程的結(jié)構(gòu)特征，抓住其結(jié)構(gòu)特征巧妙地增（換）元降次，從而會(huì)使問題輕松獲得解決，茲舉例予以說明.

例1 解方程：

（x2-6）2=6+x.

分析 這個(gè)方程的形式看似非常簡潔，而實(shí)際上它是一個(gè)難解的一元四次方程，要想順利求出其解，關(guān)鍵在于如何處理左邊二次二項(xiàng)式的平方，如果直接將左邊的平方式展開，得到的一元四次方程自然是非常的難解，我們不妨將x2-6看作一個(gè)整體，引進(jìn)新元建立二元二次方程組進(jìn)行求解.

解 設(shè)y =x2-6，則有

y2=6+x，①

又由y=x2-6，得 x2=6+y，②

①-②，得y2-x2=x-y，

進(jìn)而有（y+x+1）（y-x）=0，

因此有y+x+1=0，或y-x=0.

若y+x+1=0，則有y=-x-1，

此時(shí)有-x-1=x2-6，

即x2+x-5=0，

解此方程，得

x1=-1+212，

x2=-1-212；

若y-x=0，則有y=x，

由此可得x=x2-6，

即x2-x-6=0，

解此方程，得 x3=3，x4=-2.

綜上，原方程的解為

-1-212，-2，-1+212，3.

讀者不妨照此練習(xí)一下解方程：

y=（y2-2）2-2.

例2 解方程：

4-x2-3=x2+2x.

分析 要想順利求此方程的解，關(guān)鍵是如何處理好左邊的二次根式. 如果通過移項(xiàng)、兩邊平方，化簡為普通的一元四次方程就很難或無法解答下去了. 注意到函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，這里不妨將方程左邊的二次根式視為整體，引進(jìn)新元利用函數(shù)觀點(diǎn)分析求解.

解 設(shè)y=4-x2，①

則有y=x2+2x+3，②

在此基礎(chǔ)上給出兩種解法求解.

解法1 根據(jù)函數(shù)自變量及函數(shù)值的范圍求解.

由①，知-2≤x≤2，0≤y≤2，

由②，得y=（x+1）2+2，

因?yàn)?2≤x≤2，

所以2≤y≤11，

綜合兩個(gè)函數(shù)值的取值范圍可得y=2.

將y=2代入①，求得x=0；

將y=2代入②，解得x=-1.

不難看出，兩個(gè)函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)，有唯一相同的函數(shù)值2，而函數(shù)值都是2時(shí)，自變量的取值卻又不同，這表明原方程無實(shí)數(shù)解.

解法2 根據(jù)函數(shù)圖象求解.

由①，得x2+y2=4，此式的幾何意義是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離為2，圖1即點(diǎn)P（x，y）在圓心在原點(diǎn)、半徑為2 的圓上，又因?yàn)?2≤x≤2，0≤y≤2，所以函數(shù)y=4-x2的圖象是圓心在原點(diǎn)、半徑為2且位于橫軸及其上方的一個(gè)半圓；函數(shù)y=x2+2x+3的圖象是相應(yīng)拋物線的一部分，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖1所示.

從所作圖1可以清晰地看出，由于兩個(gè)函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，所以原方程無實(shí)數(shù)解.

由以上例題的解答過程不難看出，遇到難題不要急忙考慮去求解，而應(yīng)分析問題的本質(zhì)，抓住題目的本質(zhì)特征另辟蹊徑求解，所謂“磨刀不誤砍柴工”正是如此. 例1保留二次二項(xiàng)式的平方不變，引進(jìn)新元替代平方式中的二次二項(xiàng)式，進(jìn)而將一元四次方程轉(zhuǎn)化為二元二次方程組求解，從而使難題變得容易了.

例2將一個(gè)可化為一元四次方程的方程，通過引進(jìn)新元替代方程中的二次根式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解，而利用函數(shù)圖象求方程（組）的解，方法可行，答案可靠.