拋物線的一個結論及應用

萬建光

【摘要】通過探究得到拋物線的多切線問題中的一個優美結論，并用其解決相關問題.

【關鍵詞】拋物線切線；二次函數；中考壓軸

當直線l（l與y軸不平行）與拋物線y=ax2+bx+c只有一個公共點，這時我們說直線l和拋物線相切，直線l叫做拋物線的切線，這個公共點叫做切點.

結論過拋物線y=ax2+bx+c外任一點P作拋物線的切線l1，l2，切點分別為M，N，若點M，N的橫坐標分別為m，n，則點P的坐標為（m+n2，amn+m+n2b+c）.

圖1

證明不妨設a＞0，如圖1，設點

M（m，am2+bm+c），

N（n，an2+bn+c），

直線l1的解析式為

y=px+q，

聯立y=ax2+bx+c，y=px+q，消去y得

ax2+（b-p）x+c-q=0，

因為直線l1是拋物線的切線，

所以Δ=0，

即此方程有兩個相等的實數根，

由根與系數的關系得

2m=p-ba，m2=c-qa，

則p=2am+b，q=c-am2，

則直線l1的解析式為

y=（2am+b）x+c-am2.

同理，直線l2的解析式為

y=（2an+b）x+c-an2.

聯立y=（2am+b）x+c-am2，y=（2an+b）x+c-an2，

解得x=m+n2，y=amn+b（m+n）2+c，

點P的坐標為（m+n2，amn+m+n2b+c）.

此結論簡潔、對稱、和諧，它很好的說明了拋物線的切點和切線交點的坐標之間的關系，特別的，無論切點如何變化，兩切線的交點的橫坐標恒為兩切點橫坐標的平均數.在解拋物線的多切線問題時，利用此結論可以很快地得出解題思路并解決問題，下面舉例說明.

圖2

例1如圖2，直線y=-2上有一動點P，過點P作兩條直線，分別與拋物線y=x2有唯一的公共點E、F（直線PE、PF不與y軸平行），求證：直線EF恒過某一定點．

解設E（t，t2），F（n，n2），

直線EF的解析式為

y=（t+n）x-tn，

由結論可知點P（t+n2，tn），

所以tn=-2，

即EF的解析式為y=（t+n）x+2，

所以直線EF過定點（0，2）．

圖3

例2如圖3，△MNE的頂點M，N在拋物線y=x2上，點M在點N右邊，兩條直線ME，NE與拋物線均有唯一公共點，ME，NE均與y軸不平行．若△MNE的面積為2，設M，N兩點的橫坐標分別為m，n，求m與n的數量關系．

解過點E作EF∥y軸交MN于點F，

由結論知E（m+n2，mn），

直線MN的解析式為

y=（m+n）x-mn.

令x=m+n2，y=m2+n22，

所以F（m+n2，m2+n22），

EF=yF-yE=m2+n22-mn=（m-n）22，

S△MNE=12EF·（m-n）=（m-n）34，

所以（m-n）34=2，

所以（m-n）3=8，m-n=2.

圖4

例3如圖4，拋物線y=x2-32x-1與過點（1，-1）的直線交于M，N兩點，分別過M，N且與拋物線僅有一個公共點的兩條直線交于點G，求OG長的最小值．

解設M（m，m2-32m-1），

N（n，n2-32n-1），

易得直線MN的解析式為

y=m+n-32x-1-mn，

且過點（1，-1），

則mn=m+n-32，

由結論得

G（m+n2，mn-3（m+n）4-1），

則G（m+n2，m+n4-52），

即點G在直線y=12x-52上，

直線y=12x-52與x軸交于點E（5，0），與y軸交于點F（0，-52），

則OE=5，OF=52，EF=552，

過點O作直線y=12x-52的垂線，垂足為點H，

因為12OF·OE=12EF·OH，

所以OH=5，

當點G與點H重合時，OG最小，最小值為5.

圖5

例4拋物線y=x2-1交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），如圖5，F是原點O關于拋物線頂點的對稱點，不平行y軸的直線l分別交線段AF，BF（不含端點）于G，H兩點.若直線l與拋物線只有一個公共點，求證：FG+FH的值是定值．

解由A（-1，0），B（1，0），F（0，-2），

可得直線AF的解析式為

y=-2x-2，

直線BF的解析式為y=2x-2，

聯立y=2x+2，y=x2-1，消去y并整理得

x2-2x+1=0，

因為Δ=0，

得直線AF與拋物線有唯一公共點，

同理，得直線BF與拋物線有唯一公共點.

設直線l與拋物線的唯一公共點為M，

設M（m，m2-1），A（-1，0），B（1，0），

由結論知

xG=m-12，xH=m+12，

GF=-5xG，HF=5xH，

所以FG+FH=5（xH-xG）

=5m+12-m-12=5為常數.