2021年福建中考數學壓軸題的解法探究

束浩東

【摘要】2021年福建省初中學業水平考試數學試卷的壓軸題綜合考查了一次函數、二次函數以及三角形的面積等知識，尤其是最后一問，蘊含豐富的高中數學思想，對思維能力以及運算能力要求較高，針對該問的求解在這里和大家共同作一番探討.

【關鍵詞】中考數學；壓軸題；二次函數；勾股定理

原題再現

已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個公共點.

（1）若拋物線過點P（0，1），求a+b的最小值；

（2）已知點P1（-2，1），P2（2，-1），P3（2，1）中恰好有兩點在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設直線l：y=kx+1與拋物線交于M，N兩點，點A在直線y=-1上，且∠MAN=90°，過點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和l于點B，C.

求證：△MAB與△MBC的面積相等.

分析第一題根據題干拋物線與x軸僅有一個交點，需要我們發掘出隱藏條件判別式為0，利用Δ=b2-4ac=0，即b2=4ac；又拋物線經過點P（0，1），所以c=1；從而b2=4a，a=b24，即

a+b=b24+b=14（b+2）2-1.

因此當b=-2時，a+b的最小值為-1.

第二題第一小問需要我們從二次函數圖象與性質等知識出發，準確理解圖象上點的特征，最終明確“拋物線上的點只能位于x軸的同側”.

由于拋物線與x軸只有一個交點，因此拋物線上的點全部位于x軸的同一側，所以只能是P1（-2，1），P3（2，1）兩點在拋物線的圖象上，代入關系式可以求得y=14x2.

前兩問不作過多探討，這里我們主要研究最后一問.

該問的常規思路是把M，N兩點的坐標表示出來，利用已知條件作相應轉化來求解點A的橫坐標.根據題設條件我們可以作出相應的圖象，如圖1所示.

圖1

不妨設點A的橫坐標為m，則有A（m，-1），B（m，14m2），C（m，km+1）.我們的目標是證明S△MAB=S△MBC，由圖1我們可以直觀看出△MAB與△MBC的底邊AB，BC位于同一條直線上，因此兩三角形底邊上的高相等，所以我們只需證明底邊AB=BC即可.又因為A，B，C三點共線，所以它們的橫坐標相等，因而線段AB的長度等于B，A兩點的縱坐標之差，即AB=14m2-（-1）=14m2+1；同理BC=km+1-14m2.要證明線段AB，BC相等，很顯然我們需要在k（可以視為已知量）和未知量m之間尋找聯系.

根據上述分析，我們的求解目標進一步明確，接下來需要解決的就是通過一系列運算將引入的未知量m用k來表示.

解由題意可設M（x1，y1），N（x2，y2），

則y1=kx1+1，y2=kx2+1，

聯立方程組y=kx+1，y=14x2，得

14x2-kx-1=0，（*）

因為點M，N是直線l：y=kx+1與拋物線y=14x2的交點，

所以兩點的橫坐標即為一元二次方程（*）的兩根，

利用韋達定理我們可以得到

x1+x2=4k，x1x2=-4.

方法1構造“K”字型，利用線段比例解題

分別過點M，N作直線y=-1的垂線，垂足分別為點D，E，如圖2所示.

因為∠MAN=90°，

所以∠MAD+∠NAE=90°，

所以∠MAD=∠ANE，

所以△MAD∽△ANE，

故MDAE=ADNE.

圖2

根據前面所設各點的坐標，我們可以表示出相應線段的長度：

MD=kx1+2，

AE=x2-m，

AD=m-x1，

NE=kx2+2，

即kx1+2x2-m=m-x1kx2+2，

所以（kx1+2）（kx2+2）

=（x2-m）（m-x1）.（**）

化簡得（m-2k）2=0，

所以m=2k.

因此B，C兩點的縱坐標分別為

yB=14·（2k）2=k2，yC=2k2+1，

所以AB=yB-yA=k2-（-1）=k2+1，

BC=yC-yB=2k2+1-k2=k2+1，

所以AB=BC，

即S△MAB=S△MBC.

另解由方法1可知∠MAD=∠ANE，

所以在Rt△MDA和Rt△AEN中有

tan∠MAD=tan∠ANE，

即MDAD=AENE.

后續過程同方法1，不再贅述.

注因為點A在直線y=-1上，且MA⊥MN，所以我們可以分別過點M，N作直線y=-1的垂線，構造出為我們熟悉的“K”字模型（“一線三直角”），進一步利用相似三角形的對應邊比例相等來構造方程，將m用直線斜率k進行表示.參考解答中通過求解方程（*）得到x1=2k-2k2+1，x2=2k+2k2+1，這一做法并不值得提倡，況且求解帶有參數的一元二次方程對于大部分同學而言可能有一定的困難.面對一元二次方程問題時我們更應注重韋達定理的妙用，將x1+x2，x1x2作為整體帶入（**）中化簡，可以大大降低運算難度.

方法2利用勾股定理搭橋

分析由于本題中涉及的線段長度均需借助點的坐標來表示，為了簡化后續解題步驟，在這里我們先向大家介紹一個預備知識——“兩點間的距離公式”.

定義：對于平面中任意兩點A，B，它們的坐標分別記為（a，b）和（c，d），則兩點之間的距離

AB=（c-a）2+（d-b）2.

圖3

證明如圖3所示，分別過點A，B作x軸的垂線AC，BD.過點A作線段BD的垂線AE.

則AE=c-a，

BE=d-b.

由勾股定理可知

AB2=AE2+BE2

=（c-a）2+（d-b）2，

所以AB=（c-a）2+（d-b）2.

說明：兩點間的距離公式闡明了兩點之間的距離與它們坐標的關系，其證明過程也就是套用勾股定理，部分版本的初中數學教材在“勾股定理”章節將它作為一個拓展內容進行介紹.

回歸到原題，利用兩點間的距離公式我們可以得到

MA2=（m-x1）2+（-2-kx1）2

=（k2+1）x21+（4k-2m）x1+m2+4，

NA2=（m-x2）2+（-2-kx2）2

=（k2+1）x22+（4k-2m）x2+m2+4，

而MN2=［（kx2+1）-（kx1+1）］2+（x2-x1）2

=（k2+1）（x2-x1）2，

又因為x1+x2=4k，x1x2=-4，

結合完全平方公式可得

（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1x2

=（4k）2-4×（-4）

=16（k2+1），

所以MN2=（k2+1）（x2-x1）2=16（k2+1）2，

根據勾股定理有MA2+NA2=MN2，

化簡可得8k2+2m2-8km=2（m-2k）2=0，

解得m=2k.

后續過程同方法1.

注根據題設條件∠MAN=90°可知△MAN為直角三角形，因而回歸到勾股定理是我們的一個自然想法.本題的難點在于引入較多未知量，許多同學可能因此產生畏難心理而淺嘗輒止，特別是對拋物線弦長MN的求解時有的同學或許感到一籌莫展，這時如果我們能夠注意整體思想的運用以及借助完全平方公式作相應轉化，那將會在山重水復疑無路之際，收獲柳暗花明又一村的驚喜！

方法3利用輔助圓

解

由于∠MAN=90°，

所以點A在以MN為直徑的圓周上，如圖4所示.

圖4

所以線段MN的中點即為圓心（設為點P），

則P點坐標為

x1+x22，kx1+1+kx2+12，

因為x1+x2=4k，

所以P（2k，2k2+1）.

根據圓的性質可知

PA=PM=PN=12MN，

而MN2=（k2+1）（x2-x1）2

=16（k2+1）2，

PA2=（2k-m）2+（2k+2）2，

由PA2=12MN2，得

（2k-m）2+（2k+2）2=4（k2+1）2，

化簡得（m-2k）2=0，

所以m=2k.

后續過程同方法1.

注當試題中出現直角三角形時，我們應當聯想到“直徑所對的圓周角為直角”這一結論，進而以斜邊為直徑構造三角形的外接圓.根據x1，x2，k之間的關系我們可以表示出圓心的坐標，最后利用圓的性質建立等量關系來消除未知量m.可以發現，方法2無論是在求解思路還是運算量上均要比前兩種來得簡單，這也是輔助圓的魅力所在.

練習

1.已知直線l：y=kx+1經過第一、二、三象限且與拋物線y=14x2交于M，N兩點（點M在點N右側），線段MN的長度為8.

（1）求直線l的解析式；

（2）設點A在直線y=-1上且滿足∠MAN=90°，直線l與y軸的交點為F.判斷線段MN與AF之間滿足什么關系并說明理由.

圖5

2.如圖5，△MNE的頂點M，N在拋物線y=x2上，點M在點N右邊，兩條直線ME，NE與拋物線y=x2均有唯一公共點，ME，NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為2，設M，N兩點的橫坐標分別為m，n，求m與n的數量關系.

答案

（1）y=x+1；

（2）MN⊥AF且MN=AF2.

m-n=2.