題小乾坤大，多法妙解之

王靜

【摘要】比較大小是初中習(xí)題中常見(jiàn)的題型，本文探究了反比例函數(shù)背景下的比較大小，不僅用代數(shù)推理的方法從多角度比較大小，更借助圖形比較大小．通過(guò)對(duì)本題多角度的探究，有利于培養(yǎng)我們代數(shù)推理的能力以及靈活運(yùn)用以形助數(shù)方法解決問(wèn)題的能力．

【關(guān)鍵詞】 比較大小;代數(shù)推理;以形助數(shù)

例 已知反比例函數(shù)y=3x（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，y1），（m＋1，y2），（m＋2，y3），下列關(guān)于y1＋y3與y2的大小關(guān)系中，正確的是（? ）

（A）y1＋y3＞2y2. （B）y1＋y3＝2y2.

（C）y1＋y3＜2y2.（D）不能確定.

2 解法探究

解法1 特殊值法

分析 特殊值法是選擇、填空題常用的方法，由于題目中反比例函數(shù)的表達(dá)式已經(jīng)確定，所以可以將橫坐標(biāo)取特殊值代入表達(dá)式，求出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而比較y1＋y3與y2的大小．

當(dāng)m＝1時(shí)，則m＋1＝2，m+2＝3，

所以y1＝3，y2＝32，y3＝1，

所以y1＋y3＝3＋1＝4，

2y2＝2×32＝3，

所以y1＋y3＞2y2，

選（A）．

解法2 放縮法

分析 把選項(xiàng)看作不等式，利用放縮法證明不等式是常用的方法，可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個(gè)中間量，從而得證．

因?yàn)?y2＝6m+1，

y1＋y3＝3m+3m+2＝3（m+2）m（m+2）+3mm（m+2）

＝3（m+2）+3mm（m+2）＝6（m+1）m（m+2）

＞6（m+1）m2+2m+1＝6（m+1）（m+1）2

＝6m+1＝2y2，

所以y1＋y3＞2y2，

選（A）．

解法3 作差法

分析 作差法是比較兩式大小常用的方法．作差法的原理是：若a－b＞0，則a＞b；若a－b＜0，則a＜b；若a－b=0，則a＝b．這樣我們只要判斷差的結(jié)果，就可以知道比較a，b的大小關(guān)系．

由解法2得2y2＝6m+1，

y1＋y3＝6（m+1）m（m+2），

所以y1＋y3－2y2＝6（m+1）m（m+2）－6m+1

＝6（m+1）2m（m+2）（m+1）-6m（m+2）m（m+2）（m+1）

＝6m（m+2）（m+1）.

因?yàn)?＞0，

又m＞0，m＋1＞0，m+2＞0，

所以m（m＋2）（m＋1）＞0，

所以y1＋y3－2y2＞0，

所以y1＋y3＞2y2，

選（A）．

解法4 作商法

分析 作商法也是比較兩式大小常用的方法，且本題2y2，y1＋y3所得結(jié)果均為分式，容易聯(lián)想到作商法比較大小．作商法的原理是：

（1）當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)

①若ab＞1，則a＞b；

②若ab＜1，則a＜b；

③若ab＝1，則a＝b．

（2）當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，

①若ab＞1，則a＜b；

②若ab＜1，則a＞b；

③若ab＝1，則a＝b．

由解法1得

2y2＝6m+1，y1＋y3＝6（m+1）m（m+2），

所以y1+y32y2＝6（m+1）m（m+2）÷6m+1

＝6（m+1）m（m+2）×m+16

＝（m+1）2m（m+2）

＝m2+2m+1m2+2m＞1，

因?yàn)閙＞0，

所以m2＋2m＞0，

m2＋2m＋1＞0，

所以y1+y32y2＞1，

所以y1＋y3＞2y2，

選（A）．

解法5 倒數(shù)法

分析 因?yàn)?y2，y1＋y3所得結(jié)果均為值大于0的分式，又分子都有共同的因數(shù)6，分子比分母的代數(shù)式更簡(jiǎn)潔，故聯(lián)想到倒數(shù)法．倒數(shù)法的原理是：如果1a＞1b且ab＞0，那么a<b；如果1a＜1b且ab＞0，那么a＞b．

由解法1得

2y2＝6m+1，y1＋y3＝6（m+1）m（m+2），

1y1+y3＝m（m+2）6（m+1）＝m2+2m6（m+1），

12y2＝m+16＝（m+1）26（m+1）＝m2+2m+16（m+1），

所以1y1+y3＜12y2，

又m＞0，

1y1+y3＝m2+2m6（m+1）＞0，

12y2＝m2+2m16（m+1）＞0，

所以y1＋y3＞2y2，

選（A）．

解法6 構(gòu)造法

分析 由橫坐標(biāo)相差1的關(guān)系，得出對(duì)應(yīng)的相等線段，進(jìn)而構(gòu)造三角形中位線，利用三角形中位線定理，得出相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系．

圖1

如圖1，作AB⊥x軸，作CG⊥x軸，作EF⊥x軸，依次交雙曲線為點(diǎn)B，G，F(xiàn)，連接BF，延長(zhǎng)CG交BF于點(diǎn)D，連接AD，延長(zhǎng)EF交AD于點(diǎn)M，則A（m，0），C（m＋1，0），E（m＋2，0），可得B（m，y1），G（m＋1，y2），F(xiàn)（m＋2，y3），可得AC＝CE＝1，所以C為AE中點(diǎn)，可證AB∥CD∥EF，由平行線性質(zhì)定理可得D為BF的中點(diǎn)，可證△ABD ≌△GFD，

可得AB＝GF，

由三角形中位線定理可得

DC＝12GE，

所以DC＝12（GF＋EF）＝12（AB＋EF），

即y1+y32＝DC，

又DC＞y2，

所以y1+y32＞y2，

所以y1＋y3＞2y2，

選（A）.